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1、概率与统计 第八讲 随机变量函数的分布,主讲教师: 于红香 e-mail:,一、问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,在比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布，,求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等.,设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.,二、离散型随机变量函数的分布,解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的
2、事件，两者具有相同的概率.,故,如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.,一般地，若X是离散型 r.v ，X 的分布律为,则 Y=X2 的分布律为：,三、连续型随机变量函数的分布,解 设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,故,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,EX,从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，关键的一步是设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的X 的不等式 .,这是求r.v的函数的分布的一种常用方法
3、.,下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 .,其中，,x=h (y) 是 y=g (x) 的反函数 .,定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意 x, 恒有 或恒有 ，则Y=g(X)是一 个连续型r.v，它的概率密度为,当 y0 时,注意到 Y=X2 0 ，故当 y 0 时， .,解 设Y 和 X 的分布函数分别为 和 ，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,求导可得,若XfX(x) ，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为,例：
4、设随机变量X服从0，2均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。,解:,已知随机变量X的概率密度为,求：Y=1-X2的概率密度,EX,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明 设 Y 的分布函数是 G(y) ,于是,对 y 1 , G (y) = 1;,对 y 0 , G (y) = 0;,由于,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X) y),=P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数是,求导得Y的密度函数,可见, Y 在0,1上
5、服从的均匀分布.,阶段小结.,阶段练习,一、填空： 1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若 ， 则PY1=,2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为 fY(y)=,3.设随机变量XN（2，2），且P（2X4）=0.3，则P(X0)=,三、某射手对靶射击，单发命中概率都为0.6，现他扔一个均匀的骰子，扔出几点就对靶独立射击几发，求他恰好命中两发的概率。,二. 一工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率为第一台等于0.9, 第二台等于0.8, 第三台等于0.7,求在一小时内需要工人照管的机床台数的概率分布,四.某商店从早上开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间X(分)的分布函数是,求下列事件的概率: 等待时间(1)”至多3分钟”;(2)”3分钟至5分钟之间” (3) “至多3分钟或至少5分钟”; (4)在开始营业3分钟没有顾客的条件下,顾客在以后的3分钟之内到达的概率.,五.设保险公司为10件产品进行寿命保险,每件交纳10元保费，若产品在5年内因质量问题而报废，则可获赔100元，假设该种产品的寿命服从正态分布N(6,0.52),求保险公司赔本的概率.（不考虑利息等其它因素）,作业2-5： 1，2，8,