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1、第二章 平面向量,2.5 从力做的功到向量的数量积,【探究新知】 思考：请同学们回忆物理学中做功的含义? 力做的功：W = |F|s|cos 是F与s的夹角 问对一般的向量a和b，如何定义这种运算？,向量夹角的概念：,范围0180,当 = 0时，两向量同向； 当 = 180时，两向量反向； 当 = 90时，两向量垂直，记作ab,由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见， 我们规定零向量可与任一向量垂直.,思考与交流,1.射影的概念是如何定义的？,定义：|b|cos叫作向量b在a方向上的射影（也叫投影）. 注意：射影也是一个数量，不是向量。 当为锐角时射影为正值； 当为钝角时射影为负值； 当为
2、直角时射影为0； 当 = 0时射影为 |b|； 当 = 180时射影为 |b|.,已知两个向量a和b，它们的夹角为，我们 把|a|b|cos叫作a与b的数量积（或内积）. 记作ab 即ab = |a|b|cos .,思考与交流 2,如何定义向量数量积的几何意义？ 由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的 数量积哪些的性质?,几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上射影 |b|cos的乘积，或b的长度与a在b方向上 射影| a |cos的乘积。,性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位 向量。,两个向量相等时，两向量的数量积有怎么算呢？,向量长度的平方,ea = ae =|a|co
3、s（e 是单位向量） ab ab = 0 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = |a|b|， 特别的aa = |a|2。 cos = ab |a|b| （|a|b|0） |ab|a|b|,巩固深化，发展思维,判断下列各题正确与否：,若a = 0，则对任一向量b，有ab = 0.,（ ）,若a 0，则对任一非零向量b，有ab 0.,( ),若a 0，ab = 0，则b = 0.,( ),若ab = 0，则a 、b至少有一个为零.,( ), 若a 0，ab = ac，则b = c.,( ),若ab = ac，则b = c当且仅当a 0时成立.,( ),对任意向量a、b、c
4、，有(ab) c a (bc).,( ),对任意向量a，有a2 = |a|2.,( ),思考与交流,思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义， 你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律,1.交换律：ab = ba,2.数乘结合律：(a) b = (ab) = a ( b),3.分配律：(a + b) c = ac + bc,一定要熟练掌握并能灵活运用这几个公式哦,例题讲评,例1.已知a，b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b 垂直， a 4b与7a 2b垂直，求a，b的夹角。,解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b2 代入或得：a2 = b2 设a、b的夹角为，,则cos = ab |a|b| = 60,例2.用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。,证明：如图，设菱形的两边分别为a ，b,ABCD为菱形 |a| = |b| a b= (b + a)(b a) = b2 a2 = |b|2 |a|2 = 0 a b 即菱形对角线互相垂直。,