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1、前 言亲爱的同学们:你们好! 我们学校正在开始小学数学思维训练专题的系统学习, 高年级学生有了一定的计算能力和理解能力,是进行数学思维训练的最好阶段,这个阶段学生接受能力很强,正是养成良好学习习惯和学习先进方法的阶段,因此要有针对性地进行一些较复杂的数学思维能力训练,使你们能快速的形成数学思维方法。镇学校小学数学思维训练这本书根据你们的知识结构、年龄特征、兴趣爱好选择了读一读,算一算,想一想,做一做四个板块。你们作为数学学科爱好者,做到 “法”而有“向”,“研”而有“力”,这样才能真正提高学习的效益,才能提高自己的数学素养 ,彰显数学文化的美丽和其独具的魅力。 同时编写数学思维训练的过程中我们
2、注意了几点:1、激发你们对数学学习的兴趣,遵循你们身心发展的特征,以及教育教学规律,要根据不你们的实际情况,努力让你们体验到学习数学的意义和快乐,而不仅仅是解答难题。 2、训练你们良好的数学思维习惯和思维品质。学习数学,是要发展学生的思维水平,在学习过程中培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力。通过数学的学习,让你们会用归纳、演绎和类比进行推理,会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点。3、锻炼你们优良的意志品质。数学思维训练有一定深度和难度,你们在学习过程中可能会遇到一些困难,要经常鼓励和帮助你们拥有一个良好的心态,要培养自己持之以恒的耐心和克服困难的信心,以及战胜难
3、题的勇气,培养你们坚韧不拔的毅力。 4、培养你们扎实的数学基本功,给予你们发挥创新精神和创造力的最大空间。数学教学提倡结合你们日常课内教学的实际,不提倡超前进度,要注重理解,举一反三和灵活运用。5、使你们获得心理上的优势,培养自信,数学是理科的基础,学习数学对于你们进入初中后的学习物理化学都非常有好处。 镇小学小学高年级数学思维训练对学生有着长远的实用价值,能够从根本上培养学生可持续发展的学习能力,一方面紧扣数学课程标准的要求,适应学生升学的需要,针对提高性的数学课外活动的需要,着重从解题方法、解题技巧等方面训练学生的应试能力;另一方面,注重培养学生对数学学习的兴趣、养成良好的数学学习习惯、掌
4、握优秀的学习方法,让学生受益终生。 镇小学小学高年级数学思维训练数学思维的无穷魅力在于:总结出规律,化繁为简、化难为易,再用规律去解决问题。 相信通过对这本书的认真学习,你会收获很多的快乐。第1讲 杰出数学家 华罗庚 在中国现代数学洪荒之地,有一位抱定“战士死在沙场幸甚”的开拓者,他就是华罗庚。华罗庚是中国解析数论、典型论、矩阵几何学、自守函数论与多个复变函数论等很多方面研究的创始人与奠基者,也是我国进入世界著名数学行列最杰出的代表者。他的研究成果被国际数学界命名为“华氏定理”、“布劳威尔加当华定理”、“华王方法”、“华氏算子”、“华氏不等式”等。他一生为我们留下了两百多篇学术论文,10部专著
5、,其中8部被国外翻译出版,有些已列入本世纪经典著作之列。他把数学方法创造性地应用于国民经济领域,筛选出了以改进工艺问题的数学方法为内容的“优选法”和处理生产和组织与管理问题为内容的“统筹法”。他是美国科学院历史上第一个当选为外籍院士的中国学者。他还当选为联邦德国巴伐利亚科学院院士;法国南锡大学、美国伊利诺斯大学与香港中文大学授予他荣誉博士学位。他的名字进入美国华盛顿斯密司宋尼博物馆,被列为芝加哥科学技术博物馆中当今88个数学伟人之一。 第2讲 1、韩信点兵韩信是我国汉代著名的大将,曾经统率过千军万马,他对手下士兵的数目了如指掌。他统计士兵数目有个独特的方法,后人称为“韩信点兵”。他的 方法是这
6、样的,部队集合齐后,他让士兵1、2、31、2、3、4、51、2、3、4、5、6、7地报三次数,然后把每次的余数再报告给他,他便知道部队的实际人数和缺席人数。他的这种计算方法历史上还称为“鬼谷算”,“隔墙算”,“剪管术”, 外国人则叫“中国剩余定理”。有人用一首诗概括了这个问题的解法:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。这意思就是,第一次余数乘以70,第二次余数乘以21,第三次余数乘以15,把这三次运算的结果加起来,再除以105,所得的除不尽的余数便是所求之数(即总数)。例如,如果3个3个地报数余1;5个5个地报数余2,7个7个地报数余3,则总数为52。算式如下:17
7、0221315157157105152下边给同学们出一道题,请用“韩信点兵法”算一算。小红暑假期间帮着张二婶放鸭子,她总也数不清一共有多少只鸭子。她先是3只3只地数,结果剩3只;她又5只5只地数,结果剩4只;她又7个7个地数了一遍,结果剩6只。她算来算去还是算不清一共有多少只鸭子。? 2、爱因斯坦的数学游戏大科学家爱因斯坦小时候就特别聪明,有一次同学们在一起玩,他说:“我们做一个数学游戏怎么样?”同学们说:“怎么做法呢?爱因斯坦说:“你们随便想一个数,然后做一些运算,我就能知道你们一开始想的那个数是多少?”汤姆说:“我不信,但是我可以试一试。”爱因斯坦说:“那么好吧,现在开始。你心里随便想一个
8、数吧。”“我想好了。”汤姆说。“在这个数上加上18。”“再加上136。”“减去27。”“减去你所想的数。”汤姆按照爱因斯坦的要求做了运算。他还没有说出答案,爱因斯坦就说:“最后得数是254。”汤姆惊呆了,爱因斯坦说的一点也不错,可是他是怎么算出来的呢? 第3讲 速算与巧算(一)专题简析:速算与巧算是计算中的一个重要组成部分,掌握一些速算与巧算的方法,有助于提高我们的计算能力和思维能力。这一周我们学习加、减法的巧算方法,这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质,通过对算式适当变形从而使计算简便。在巧算方法里,蕴含着一种重要的解决问题的策略。转化问题法即把所给的算式,根据运算定律和运算性质,或
9、改变它的运算顺序,或减整从而变成一个易于算出结果的算式。例1:计算9+99+999+9999分析与解答:这四个加数分别接近10、100、1000、10000。在计算这类题目时,常使用减整法,例如将99转化为1001。这是小学数学计算中常用的一种技巧。9+99+999+9999=(101)+(1001)+(10001)+(100001)=10+100+1000+100004=11106 人生应该像线段,有始有终;不应象射线,有始无终。名人名言言练 习 一1,计算99999+9999+999+99+92,计算9+98+996+99973,计算1999+2998+396+4974,计算198+297
10、+396+4955,计算1998+2997+4995+59946,计算19998+39996+49995+69996例2:计算489+487+483+485+484+486+488分析与解答:认真观察每个加数,发现它们都和整数490接近,所以选490为基准数。489+487+483+485+484+486+488=49071375642=343028=3402想一想:如果选480为基准数,可以怎样计算?练 习 二1,50+52+53+54+512,262+266+270+268+2643,89+94+92+95+93+94+88+96+874,381+378+382+383+3795,1032
11、+1028+1033+1029+1031+10306,2451+2452+2446+2453例3:计算下面各题。(1)632156232 (2)128+186+7286名人名言言 历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细。培根 分析与解答:在一个没有括号的算式中,如果只有第一级运算,计算时可以根据运算定律和性质调换加数或减数的位置。(1)632156232 =632232156 =400156 =244 (2)128+186+7286 =128+72+18686=(128+72)+(18686)=200+100名人名言最聪明的人是最不愿浪费时间的人。 但丁=300练 习 三计算下面各题1,12
12、085692082,283+69183 3,13285+684,2318+6251318+375例4:计算下面各题。1. 248+(152127) 2. 324(12497) 3. 283+(358183)减法数学课上,数学教师对一位学生说:“你怎么连减法都不会?例如,你家里有十个苹果,被你吃了四个,结果是多少呢?”这个学生沮丧地说道:“结果是挨了十下屁股!分析与解答:在计算有括号的加减混合运算时,有时为了使计算简便可以去括号,如果括号前面是“+”号,去括号时,括号内的符号不变;如果括号前面是“”号,去括号时,括号内的加号就要变成减号,减号就要变成加号。我们可以把上面的计算方法概括为:括号前面
13、是加号,去掉括号不变号;括号前面是减号,去掉括号要变号。1248+(152127) 324(12497) =248+152127 =324124+97 =400127 =200+97 把语言化为行动,比把行动化为语言困难得多。高尔基名人名言 =273 =297 283+(358183) =283+358183=283183+358=100+358=458练 习 四计算下面各题1,348+(252166) 2,629+(320129) 3. 462(262129)4. 662(315238)5,5623(623289)+452(352211)名人名言6,736+678+2386(336+278)
14、186合理安排时间,就等于节约时间。 培根 例5:计算下面各题。 (1)286+879679 (2)812593+193分析与解答:在计算没有括号的加减法混合运算式题时,有时可以根据题目的特点,采用添括号的方法使计算简便,与前面去括号的方法类似,我们可以把这种方法概括为:括号前面是加号,添上括号不变号;括号前面是减号,添上括号要变号。(1)286+879679 (2)812593+193=286+(879679) =812(593193)=286+200 =812400名人名言 学习数学的惟一方法是做数学哈尔莫斯=868 =412练 习 五计算下面各题。1,368+18598592,582+3
15、932933,632385+285 4,27562748+1748+2445,612375+275+(388+286)6,756+1478+346(256+278)246第4讲 巧妙求和知识要点与基本方法:若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。通项公式: 第n项=首项+(项数1)公差项数公式: 项数=(末项首项)公差1趣味数学: 1、一个农夫带着三只兔到集市上去卖,每只兔大
16、概三四千克,但农夫的秤只能称五斤以上,问他该如何称量。答:先称3只,再拿下一只,称量后算差。例题精讲例1:有一个数列:4,10,16,22,52,这个数列共有多少项?分析与解答:容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52,要求项数,可直接带入项数公式进行计算。项数=(524)61=9,即这个数列共有9项。练 习 一1,等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2,这个等差数列共有多少项?2,有一个等差数列:2,5,8,11,101,这个等差数列共有多少项?3,已知等差数列11,16,21,26,1001,这个等差数列共有多少项?例2:有一等差数列:3,7,11,15,这个等差数列的
17、第100项是多少?分析与解答:这个等差数列的首项是3,公差是4,项数是100。要求第100项,可根据“末项=首项+公差(项数1)”进行计算。第100项=3+4(1001)=399练 习 二1,一等差数列,首项=3,公差=2,项数=10,它的末项是多少?2,求1,4,7,10这个等差数列的第30项。3,求等差数列2,6,10,14的第100项。例3:有这样一个数列:1,2,3,4,99,100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答:如果我们把1,2,3,4,99,100与列100,99,3,2,1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+(99+2)+(100+1),其中每个小括号
18、内的两个数的和都是101,一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2,就是所求数列的和。1+2+3+99+100=(1+100)1002=5050上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:等差数列总和=(首项+末项)项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。名人名言 练 习 三计算下面各题。(1)1+2+3+49+50(2)6+7+8+74+75(3)100+99+98+61+60例4:求等差数列2,4,6,48,50的和。分析与解答:这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:项数=(末项首项)公差+1
19、 =(502)2+1=25首项=2,末项=50,项数=25等差数列的和=(2+50)252=650 练 习 四计算下面各题。(1)2+6+10+14+18+22(2)5+10+15+20+195+200(3)9+18+27+36+261+270例5:计算 (2+4+6+100)(1+3+5+99)分析与解答:容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。(2+
20、4+6+100)(1+3+5+99)=(21)+(43)+(10099)=1+1+1+1=50 练 习 五用简便方法计算下面各题。(1)(2001+1999+1997)(2000+1998+1996)(2)(2+4+6+2000)(1+3+5+1999)名人名言(3)(1+3+5+1999)(2+4+6+1998) 一道好题的价值之一在于它能产生其他一些好题。 波利亚 第5讲 数数图形知识要点与基本方法:我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形,当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关
21、的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点:1,弄清被数图形的特征和变化规律。2,要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。例1:数出下面图中有多少条线段。 分析与解答:要正确解答这类问题,需要我们按照一定的顺序来数,做到不重复,不遗漏。从图中可以看出,从A点出发的不同线段有3条:AB、AC、AD;从B点出发的不同线段有2条:BC、BD;从C点出发的不同线段有1条:CD。因此,图中共有3+2+1=6条线段。练习一:数出下列图中有多少条线段。(1)(2)(3)例2:数一数下图中有多少个锐角。 分析与解答:数角的方法和数线段的方法类似,图中的五条射线
22、相当于线段上的五个点,因此,要求图中有多少个锐角,可根据公式1+2+3(总射线数1)求得:1+2+3+4=10(个)练习二:下列各图中各有多少个锐角? 例3:数一数下图中共有多少个三角形。 分析与解答:图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形,也就是说,AD边上有几条线段,就构成了几个三角形,因为AD上有4个点,共有1+2+3=6条线段,所以图中有6个三角形。练习三:数一数下面图中各有多少个三角形。 例4:数一数下图中共有多少个三角形。 分析与解答:与前一个例子相比,图中多了一条线段EF,因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然,以AD上的线段为底边的三
23、角形也是1+2+3=6个,所以图中共有62=12个三角形。练习四数一数下面各图中各有多少个三角形。 例5:数一数下图中有多少个长方形。 分析与解答:数长方形与数线段的方法类似。可以这样思考,图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段,AB边上的线段条数是1+2+3=6条,所以图中有6个长方形。练习五数一数下面各图中分别有多少个长方形。 ( ) ( ) ( )逻辑学的用处:有个学生请教数学家逻辑学有什么用。数学家问他:“两个人从烟囱 里爬出去,一个满脸烟灰,一个干干净净,你认为哪一个该去洗澡?” “当然 是脏的那个。”学生说。 “不对。脏的那个看见对方干干净净,以为自己也不会脏, 哪里会去洗澡
24、?” 第6讲 找 规 律(一)专题简介:观察是解决问题的根据。通过观察,得以揭示出事物的发展和变化规律,在一般情况下,我们可以从以下几个方面来找规律:1根据每组相邻两个数之间的关系,找出规律,推断出所要填的数;2根据相隔的每两个数的关系,找出规律,推断出所要填的数;3要善于从整体上把握数据之间的联系,从而很快找出规律;4数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理,所得出的规律都可以认为是正确的。趣味数学: 某人先向正北走32km,再向正南走36km,问以下哪些可能是正确的他离出发点4km他离出发点大于48km他离出发点68km他离出发点小于4km他离出发点大于4km小于68km答:1
25、,3,5例1:先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上适当的数。1,4,7,10,( ),16,19分析:在这列数中,相邻的两个数的差都是3,即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律,括号里应填的数为:10+3=13或163=13像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习一:先找出下列各列数的排列规律,然后在括号里填上适当的数。(1)2,6,10,14,( ),22,26(2)3,6,9,12,( ),18,21(3)33,28,23,( ),13,( ),3(4)55,49,43,( ),31,( ),19(5)3,6,12,( ),48,( ),192(6)2,6,18,(
26、),162,( )(7)128,64,32,( ),8,( ),2(8)19,3,17,3,15,3,( ),( ),11,3例2:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。 1,2,4,7,( ),16,22分析:在这列数中,前4个数每相邻的两个数的差依次是1,2,3。由此可以推算7比括号里的数少4,括号里应填:7+4=11。经验证,所填的数是正确的。应填的数为:7+4=11或16-5=11练习二:先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上适当的数。(1)10,11,13,16,20,( ),31(2)1,4,9,16,25,( ),49,64(3)3,2,5,2,7,2,( ),(
27、),11,2(4)53,44,36,29,( ),18,( ),11,9,8(5)81,64,49,36,( ),16,( ),4,1,0(6)28,1,26,1,24,1,( ),( ),20,1(7)30,2,26,2,22,2,( ),( ),14,2(8)1,6,4,8,7,10,( ),( ),13,14例3:先找出规律,然后在括号里填上适当的数。23,4,20,6,17,8,( ),( ),11,12分析:在这列数中,第一个数减去3的差是第三个数,第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数,第四个数加上2的和是第六个数依此规律,8后面的一个数为:17-3=14,11
28、前面的数为:8+2=10练习三先找出规律,然后在括号里填上适当的数。(1)1,6,5,10,9,14,13,( ),( )(2)13,2,15,4,17,6,( ),( )(3)3,29,4,28,6,26,9,23,( ),( ),18,14(4)21,2,19,5,17,8,( ),( )(5)32,20,29,18,26,16,( ),( ),20,12(6)2,9,6,10,18,11,54,( ),( ),13,486(7)1,5,2,8,4,11,8,14,( ),( )(8)320,1,160,3,80,9,40,27,( ),( )例4:在数列1,1,2,3,5,8,13,(
29、),34,55中,括号里应填什么数?分析:经仔细观察、分析,不难发现:从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数的和。根据这一规律,括号里应填的数为:8+13=21或3413=21上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代著名数学家)数列,也叫做“兔子数列”。练习四先找出规律,然后在括号里填上适当的数。(1)2,2,4,6,10,16,( ),( )(2)34,21,13,8,5,( ),2,( )(3)0,1,3,8,21,( ),144(4)3,7,15,31,63,( ),( )(5)33,17,9,5,3,( )(6)0,1,4,15,56,( )(7)1,3,6,8,16,18,( ),(
30、 ),76,78(8)0,1,2,4,7,12,20,( )例5:下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在里填上适当的数。(8,4) (5,7) (10,2) (,9)分析:经仔细观察、分析,不难发现:每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律,里所填的数应为:129=3练习五:下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在里填上适当的数。(1)(6,9) (7,8) (10,5) (,)(2)(1,24) (2,12) (3,8) (4,)(3)(18,17) (14,10) (10,1) (,5)(4)(2,3) (5,9) (7,13) (9,)(5)(2,3) (5,7) (
31、7,10) (10,)(6)(64,62) (48,46) (29,27) (15,)(7)(100,50) (86,43) (64,32) (,21)(8)(8,6) (16,3) (24,2) (12,) 第7讲 和倍问题专题简析:已知两个数的和与它们之间的倍数关系,求这两个数是多少的应用题,叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是:和(倍数1)=小数 小数倍数=大数(和小数=大数)例1:学校有科技书和故事书共480本,科技书的本数是故事书的3倍。两种书各有多少本?趣味数学: 红旗小学四(1)班42名学生去文化宫看文艺演出,每张票5元钱,文化宫规定,每买4张票就送l张。请你算一算,四(
32、1)学生买票一共需要( )元钱。 答:170元分析与解答:为了便于理解题意,我们画图来分析:由图可知,如果把故事书的本数看作一份,那么科技书的本数就是这样的3份,两种书的总本数就是这样的13=4份。把480本书平均分成4份,1份是故事书的本数,3份是科技书的本数。480(13)=120(本) 1203=360(本)练 习 一1,用锡和铝制成的合金是720千克,其中铝的重量是锡的5倍。铝和锡各用了多少千克?2,甲、乙两数的和是112,甲数除以乙数的商是6,甲、乙两数各是多少?3,一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米?例2:果园里有梨树、桃树和苹果树共1
33、200棵,其中梨树的棵数是苹果树的3倍,桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵?分析与解答:如果把苹果树的棵数看作1份,三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以,苹果树有12008=150(棵),梨树有1503=450(棵),桃树有1504=600(棵)练 习 二1,李大伯养鸡、鸭、鹅共960只,养鸡的只数是鹅的3倍,养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只?2,甲、乙、丙三数之和是360,已知甲是乙的3倍,丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。3,商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支,圆珠笔的支数是钢笔的3倍,铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支
34、?查票数学教授搭乘火车旅行,列车长前来查票时,他竟找不到票。数学教授急得满头大汗,列车长说:找不到就算了,再补张票好了。数学教授:这怎么可以,找不到那张票,我就不知道我要去哪里啊!例3:有三个书橱共放了330本书,第二个书橱里的书是第一个的2倍,第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书?分析与解答:把第一个书橱里的本数看作1份,那么第二个书橱里的本数是这样的2份,第三个就是这样的24=8份,三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以,第一个书橱里放了33011=30(本),第二个书橱里放了302=60(本),第三个书橱里放了604=240(本)。练 习 三1甲、乙、丙
35、三个数之和是400,已知甲是乙的3倍,丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。2三块钢板共重621千克,第一块的重量是第二块的3倍,第二块的重量是第三块的2倍。三块钢板各重多少千克?3甲、乙、丙三个修路队共修路1200米,甲队修的米数是乙队的2倍,乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米?例4:少先队员种柳树和杨树共216棵,杨树的棵数比柳树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?分析与解答:如果杨树少种20棵,那么柳树和杨树的总棵数是21620=196(棵),这里杨树的棵数恰好是柳树的3倍。所以,柳树的棵数是196(13)=49(棵),杨树的棵数是21649=167(棵)。练 习 四1,粮站有大
36、米和面粉共6300千克,大米的重量比面粉的4倍还多300千克,大米和面粉各有多少千克?2,小华和小明两人参加数学竞赛,两人共得168分,小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分?趣味数学: 小华参加摩托车比赛,参加的选手与比赛场次一样多,任何两个选手只在一次比赛中相遇,每次比赛出场四人,问共有多少人参加。答:133,学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级,高年级分得的比低年级的3倍多8本,中年级分得的比低年级的2倍多4本。高、中、低年级各分得图书多少本?例5:三个筑路队共筑路1360米,甲队筑的米数是乙队的2倍,乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米?分析与解答:把乙队的米数看作1
37、份,甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米,那么三个队共筑了1360240=1600米,正好是乙队的211=4倍。所以,乙队筑了16004=400米,甲队筑了4002=800米,丙队筑了400240=160米。练 习 五1,三个植树队共植树1900棵,甲队植树的棵数是乙队的2倍,乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵?2,三个数的和是1540,甲数是丙数的7倍,乙数比甲数多40。三个数各是多少? 我解决过的每一个问题都成为日后用以解决其他问题的法则。笛卡尔3,城东小学共有篮球、足球和排球共95个,其中足球比排球少5个,排球的个数是篮球个数的2倍。篮球、足球、排球各有多少个?名人名言
38、第8讲 最优化问题知识要点与基本方法:在日常生活和生产中,我们经常会遇到下面的问题:完成一件事情,怎样合理安排才能做到用的时间最少,效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题,这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大(小)值,这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。例1:用一只平底锅煎饼,每次只能放两个,剪一个饼需要2分钟(规定正反面各需要1分钟)。问煎3个饼至少需要多少分钟?分析与解答:先将两个饼同时放入锅中一起煎,一分钟后两个饼都熟了一面,这时可将一个取出,另一个翻过去,再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都
39、熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一个放入煎,再煎一分钟就会全部煎好。所以,煎3个饼至少需要3分钟。自然这一巨著是用数学符号写成的。伽里略名人名言练 习 一1,烤面包时,第一面需要2分钟,第二面只要烤1分钟,即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子,一次只能放两片面包,她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟?2,用一只平底锅烙大饼,锅里只能同时放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,现在要烙3个大饼,最少要用几分钟?3,小华用平底锅烙饼,这只锅同时能放4个大饼,烙一个要用4分钟(每面各需要2分钟)。可小华烙6个大饼只用了6分钟,他是怎样烙的?例2:妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟,烧
40、开水需要15分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,最少需要多少分钟?难题 我的一位数学老师,有一次,我的一个同学问他一道数学题,他一看,挺简单,于是大怒,说道:你这个笨蛋,这道题不就这么这么这么作. 又换了一次,该同学找了一道据难的问题问他,他一看,然后似乎进入了思考状态,然后开始踱步思考,然后开始向教室外踱去,然后就消失了。分析:经验表明,能同时做的事,尽量同时做,这样可以节省时间。水壶不洗,不能烧开水,因此,洗水壶和烧开水不能同时进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。根据以上的分析,可以这样安排:先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,同时洗茶壶、洗茶杯、
41、拿茶叶,水开了就沏茶,共需要16分钟。练 习 二1,小虎早晨要完成这样几件事:烧一壶开水需要10分钟,把开水灌进热水瓶需要2分钟,取奶需要5分钟,整理书包需要4分钟。他完成这几件事最少需要多少分钟?2,小强给客人沏茶,烧开水需要12分钟,洗茶杯要2分钟,买茶叶要8分钟,放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶,你认为最合理的安排,多少分钟就可以了?3,在早晨起床后的1小时内,小欣要完成以下事情:叠被3分钟,洗脸刷牙8分钟,读外语30分钟,吃早餐10分钟,收碗擦桌5分钟,收听广播30分钟。最少需要多少分钟?例3:五(1)班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室,等候校医治病。赵明打针需要5分
42、钟,孙勇包纱布需要3分钟,李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同学的治病次序,才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短?分析:校医应该给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗,才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样,三位同学留在卫生室的时间分别是:李佳1分钟,赵1+3=4分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。 练 习 三1甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。热水龙头只有一个,怎样安排他们打水的次序,可以使他们打热水所花的总时间最少?名人名言2甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务,甲、乙、丙三人需要的时间分别是
43、10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排,使3人所花的时间最少?最少时间是多少? 纯粹数学,就其本质而言,是逻辑思想的诗篇。 爱因斯坦3甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水,甲洗托把需要3分钟,乙洗抹布需要2分钟,丙洗衣服需要10分钟,丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序,使他们所花的总时间最少?最少时间是多少?例4:用18厘米长的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?分析与解答:根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是182=9厘米。显然,当长与宽的差越小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数,因此,当长是5厘米,宽是4厘米时,围成的长方形的面积最大:54=20平方厘米。练 习 四1,用长26厘米的铁丝围成各种长方形,要求长和宽的长度都是整厘米数,围成的长方形的面积最大是多少?2,一个长方形的周长是20分米,它的面积最大是多少?3,一个长方形的面积是36平方厘米,并且长和宽的长