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1、9.7 双曲线,第九章 平面解析几何,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.双曲线定义 平面内到两定点F1，F2的 等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作 ，两焦点之间的距离叫作 . 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0. (1)当 时，P点的轨迹是双曲线； (2)当 时，P点的轨迹是两条射线； (3)当 时，P点不存在.,知识梳理,距离之差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2a|F1F2|,2.双曲线的标准方程和简单性质,
2、xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐标轴,原点,(1，),2a,2b,a2b2,巧设双曲线方程,【知识拓展】,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ) (3)双曲线方程 (m0，n0，0)的渐近线方程是 0，即 0.( ),基础自测,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，,题组二 教材改编,答案,解析,2.若双曲线 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴
3、长，则该双曲线的离心率为 A. B.5 C. D.2,1,2,3,4,5,6,3.经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.,解析,答案,把点A(3，1)代入，得a28(舍负)，,1,2,3,4,5,6,答案,题组三 易错自纠,(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2， 由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)， 焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n3，故选A.,解析,1,2,3,4,5,6,解析,答案,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,1,2,3,4,5,6,6.已知双曲线过点(4， )，且渐近线方程为y x，则该双曲线的
4、标准 方程为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,题型分类 深度剖析,命题点1 利用定义求轨迹方程 典例 (2018大连模拟)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 _.,题型一 双曲线的定义及标准方程,多维探究,解析,答案,解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C
5、1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)， 其中a1，c3，则b28.,命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为 ；,解答,b6，c10，a8.,(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；,解答,解 双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12. 又2c26，c13，b2c2a225.,解答,解 设双曲线方程为mx2ny21(mn0).,命题点3 利用定义解决焦点三角形问题 典例 已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦
6、点，点P在C上， |PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.,解析 由双曲线的定义有,解析,答案,1.本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？,解答,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，由余弦定理，得,|PF1|PF2|8，,2.本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“ 0”，则F1PF2的面积是多少？,解答,解 不妨设点P在双曲线的右支上，,在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1|PF2|4，,(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双
7、曲线，进而根据要求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系. (3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可.,跟踪训练 (1)(2018沈阳模拟)设椭圆C1的离心率为 ，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等 于8，则曲线C2的标准方程为_.,解析,答案,解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF
8、1|PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3.,(2)(2016天津)已知双曲线 1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为,解析,答案,解析,题型二 双曲线的简单性质,师生共研,答案,解析 由题意，不妨设|PF1|PF2|， 则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a， 解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而ca， 所以有|PF2|F1F2|，所以PF1F230， 所以(2a)2(2c)2(4a)222c4acos 30，,(2
9、)(2016山东)已知双曲线E： 1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.,答案,解析,2,又b2c2a2，整理得2c23ac2a20，,解析,答案,典例 (2018福州模拟)已知直线ykx1和双曲线x2y21的右支交于不同两点，则k的取值范围是_.,解析,题型三 直线与双曲线的综合问题,师生共研,答案,解析 由直线ykx1和双曲线x2y21联立方程组，消y得(1k2)x22kx20， 因为该方程有两个不等且都大于1的根，,(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的
10、一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.,跟踪训练 (2017贵州贵阳第一中学月考)已知双曲线 上存在两点P，Q关于直线yxb对称，且PQ的中点M在抛物线y29x上，则实数b的值为 A.0或10 B.0或2 C.2 D.10,解析,答案,解析 因为点P，Q关于直线yxb对称，所以PQ的垂直平分线为yxb，所以直线PQ的斜率为1.设直线PQ的方程为yxm，,所以xPxQ4m，所以xM2m， 所以M(2m,3m). 因为PQ的中点M在抛物线y
11、29x上， 所以9m29(2m)，解得m0或m2， 又PQ的中点M也在直线yxb上， 得b5m，b0或10，故选A.,典例 若直线ykx2与曲线x 交于不同的两点，那么k的取值范围是,直线与圆锥曲线的交点,现场纠错,纠错心得,现场纠错,错解展示,错解展示：,错误答案 A,现场纠错,由直线与双曲线右支交于不同两点，,答案 D,纠错心得 (1)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法. (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解.,课时作业,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 根据双曲线的渐近线
12、方程知，,解析,答案,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 右焦点F到渐近线的距离为2，,点F到原点的距离为3，c3，,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由可得，a24，b26，,4.(2017福建龙岩二模)已知离心率为 的双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O
13、为坐标原点，若 16，则双曲线的实轴长是 A.32 B.16 C.84 D.4,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由题
14、意知右焦点到原点的距离为c4，,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,解析 由条件，得|OP|22ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|a，,解析,9.(2016北京)已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_；b_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,10.设动圆C与两圆C1：(x )2y24，C2：(x )2y24中的一个 内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为_.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1
15、5,16,答案,解析 设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r2，,即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，,11.(2018南昌调研)设直线x3ym0(m0)与双曲线 (a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设直线l：x3ym0(m0)， 因为|PA|P
16、B|，所以PCl， 所以kPC3，化简得a24b2.,12.设双曲线x2 1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析 如图，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由对称性不妨设P在右支上， 设|PF2|m， 则|PF1|m2am2， 由于PF1F2为锐角三角形，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7
17、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2， |PF1|4，|PF2|2.又|F1F2|4，,14.(2017安庆二模)已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若ACBF1，则双曲线的离心率为,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又b2c2a2，可得3c410c2a23a40，则有3e410e230，,拓展冲刺练,解析,答案,1,2,3,4
18、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 如图所示，设PF1，PF2分别与PAF2的内切圆切于M，N， 依题意，有|MA|AQ|，|NP|MP|，|NF2|QF2|， |AF1|AF2|QA|QF2|,2a|PF1|PF2| (|AF1|MA|MP|)(|NP|NF2|),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当P，F1，F2三点不共线时，在PF1F2中，由余弦定理，,解析 由定义，知|PF1|PF2|2a.,本课结束,