六自由度运动系统的模态空间解耦控制器的适用性研究.pdf

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1、哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - II - Abstract Hydraulically driven 6-6 Stewart platform is an important part of a flight simulator, and what brings difficulty to the study on digging out the systems application potential by improving control method is the strong coupling of the systems kinematics and dynamics. Mo

2、dal space decoupled control method is a control method based on the dynamic coupling compensation principle, which is only fit to viscous proportional damping system. The research of its applicability in non-viscous proportional damping system is to broaden the range of its application. Besides, fur

3、ther study of dynamic coupling will also promote the development of hydraulic control theory of multi-degree of freedom system. This paper first analyzes kinematics and dynamics of the system, considering the friction of active joints and passive joints, especially the friction of passive joints whi

4、ch is used to ignore. A set of complete multi-rigid-body dynamic equations of the system is obtained with Kanes method. It also derives the transfer function model of the hydraulic driven system. The overall dynamic model of the system is built combining the driving system and motor system. Then the

5、 theoretical basis of modal decoupling controller design and the analysis method of multi-DOF motion system are briefly introduced. The mass matrix and stiffness matrix of the system at neutral position are obtained, as well as the numerical solution of the modal matrix. The relation between the dam

6、ping matrix, mass matrix and stiffness matrix is calculated and analyzed. At last, the model of control system is built with MATLAB; the model of hydraulic driving system is built with AMESim. Using MATLABs SimMechanics toolbox to establish the dynamic model, the overall model of the system is built

7、. The applicability of modal space decoupled controller in viscous and non-viscous damping system is researched. Keywords: 6-6 Stewart platform, dynamic coupling, modal space decoupled controller, non-viscous proportional damping system, applicability 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - III - 目 录 摘 要. I ABSTRACT.II 第

8、 1 章 绪 论 .1 1.1 课题来源背景及研究的目的意义 .1 1.2 关于六自由运动系统模态空间解耦控制思想的概述 2 1.2.1 六自由度运动系统和控制方法简介.2 1.2.2 模态空间解耦控制的控制思想和实现策略3 1.3 国内外在该方向的研究现状及分析4 1.4 本论文主要研究内容 .6 第 2 章 系统的整体动力学模型7 2.1 引言.7 2.2 六自由度运动系统的运动学分析 .7 2.2.1 位姿描述以及执行机构的基本结构参数.7 2.2.2 系统的运动学分析9 2.3 考虑阻尼项的多刚体动力学分析 .13 2.4 系统整体动力学模型 .18 2.4.1 液压驱动系统的传递函数

9、推导 18 2.4.2 系统的整体动力学模型 21 2.5 本章小结22 第 3 章 系统非粘性比例阻尼程度的判定指标 23 3.1 引言.23 3.2 各个模态参数矩阵的求解 23 3.2.1 关于多自由系统模态分析方法简介.23 3.2.2 六自由度运动系统中位时的模态系数矩阵求解.24 3.3 非粘性比例阻尼程度的判定.28 3.4 本章小结31 第 4 章 控制器对非粘性比例阻尼系统的适用性 32 4.1 引言.32 4.2 控制器的设计思路和参数计算.32 4.3 六自由度运动系统的各部分建模 .34 4.4 控制器在六自由度运动系统中的适用性 37 4.4.1 控制器在粘性比例阻尼

10、系统中的适用性.37 4.4.2 控制器在非粘性比例阻尼系统中的适用性.43 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - IV - 4.5 本章小结48 结 论.49 参考文献.50 哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明.54 致 谢.55 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 1 - 第 1 章 绪 论 1.1 课题来源背景及研究的目的意义 本课题来源于国家自然科学基金项目 飞行模拟机六自由度运动系统的解 耦控制研究(NO.50975055)。 作为飞行模拟机载体的六自由度运动系统， 它的控制性能的优劣将直接关 系到飞行模拟的逼真度1。而近几年来六自由度运动系统的建模、控制策略及 其系统仿真

11、的研究是其研究的难点之一， 这主要是由于六自由度运动系统动力 学模型形式复杂， 非线性耦合较强， 因此给计算、 控制以及仿真增加了难度2。 以往关于六自由度运动系统耦合性的研究主要集中在研究运动学的耦合性， 这 主要是由机械制造、安装等因素引起的，可以通过提高机械加工精度和安装精 度或是通过标定技术来改善其运动学的耦合性3， 理论上只要最终能得到精确 的反解即能提高运动精度，改善模拟特性。但是关于六自由度运动系统动力学 的耦合性对于控制系统的影响研究比较少。 而六自由度运动系统动力学的耦合 性能主要影响系统的动感特性，对飞行模拟机的动感逼真度影响较大，解耦控 制的思想就是在这个背景下提出来的。

12、 本文运用的六自由度运动系统模态空间解耦控制的思想是基于多个学科 的基础理论，在该六自由度运动系统为粘性比例阻尼系统的假设下，利用多自 由度振动系统模态分析的方法， 在模态空间中沿振动系统的各阶模态方向把一 个多输入多输出的系统转换为六个单输入单输出的系统， 从而用成熟的单自由 度系统的控制理论和方法，实现对多自由度运动系统的控制，从而可以简化控 制系统的设计和提高控制性能。本文通过分析建模，并进行联合仿真来分析这 种控制方法在非粘性比例阻尼系统中的适用性， 最终达到在一定程度上扩宽这 种控制方法的使用范围的目的。 六自由度运动系统从本质上讲是复杂的非线性时变系统4 ，基于模态空 间解耦控制器

13、的设计方法充分考虑了系统的动力学耦合特性， 研究控制器在非 粘性比例阻尼系统中的适用性，能为其未来在实际应用中奠定理论基础。对六 自由度运动系统动力学的耦合性的深入研究必然会促进多自由度液压控制理 论的新发展，而且为工程上飞行模拟机的控制提供更完善的的理论依据，这种 控制方法在实际上的应用和改进可以进一步提高飞行模拟的逼真度。 对于模态 空间的解耦控制适用性的研究具有重要的理论和实际意义。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 2 - 1.2 关于六自由运动系统模态空间解耦控制思想的概述 1.2.1 六自由度运动系统和控制方法简介 本文研究的六自由度运动系统为液压驱动的标准 6-6 Gough-

14、Stewart 平台 的整体系统， 执行机构的结构是由上面的运动平台和下面的固定平台并通过上 下十二个虎克铰与六个液压缸支腿连接组成，共有六个自由度，包括三个移动 自由度和三个绕坐标轴的旋转自由度。 这个系统主要是通过六个液压缸支腿的 活塞伸缩来改变上平台的位姿， 上平台按照规定的动作运动或者达到一定的振 动频率从而满足实际应用的需求。 如图 1-1 所示为六自由度运动系统运动的机 构示意图。 图 1-1 六自由度运动机构示意图 通常六自由度运动系统也可以称作并联机器人系统， 这与串联机器人系统 相对应。 只是它们在研究和应用上有其各自的优势和特点5， 在这里不做比较， 只是为了更好地理解这个

15、系统，理解本文将要分析和研究的内容，才引出这两 个概念作为分析的基础。 并联机器人的控制是以它的运动学分析和动力学分析 为基础的，并联机器人的运动学求解和动力学分析可以放在两个空间上来讨 论，这和串联机器人的分析方法在一定程度上类似，上面运动平台运动的空间 成为工作空间或者执行空间， 六个液压缸系统运动的空间称为关节空间或者铰 点空间，只是不同点在于在运动学分析中，串联机器人的正解更容易求得，而 并联机器人的反解比较容易得到，由此在控制方式上就有很多不同，控制并联 机器人主要是通过控制反解变量， 即液压缸的活塞杆的位移来实现控制上平台 的位姿变换6。一般下平台是固定在地面上的，整个系统是由液压

16、系统提供驱 动力，由此液压缸系统称为主动关节，上平台外负载质量以及上下虎克铰就相 当于是液压缸的负载，称其为被动关节，将主动力和被动力都转化到同一个空 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 3 - 间里，工作空间或者铰点空间，然后建立主动力和被动力的平衡方程，即为动 力学分析。动力学分析也由学者提出了很多种方法，比如 Newton-Euler 法、 Lagrange、Kane 方法7。完成动力学分析，建立起驱动系统的模型，就建立起 了整个系统的动力学模型， 整个系统的传递函数模型的建立将在接下来章节中 详细推导。 以往针对六自由度运动系统的控制系统的设计已经提出了很多方法， 并且 一些方法在实际

17、中也得以广泛应用， 六自由度运动系统的控制策略按照控制器 实现的空间上来分类，可以分为铰点空间控制和操作空间控制两种8。工程上 常常采用的控制结构为铰点空间控制。铰点空间控制属于单系统控制，该控制 策略忽略了各个支链间的相互作用，或只把其他支链的影响作为外部干扰9， 这种控制策略开发简单，易于实现分级分布式控制和设计安全保护逻辑，但是 控制系统的控制性能很难提高10。 1.2.2 模态空间解耦控制的控制思想和实现策略 六自由度运动系统到达某个特定的位姿， 不仅运动学分析存在较大的耦合 性，动力学上也存在很大的耦合。为此一些研究人员就开始研究解耦控制的方 法。所谓解耦控制系统，就是采用或者设计最

18、优的结构或者选用合理的控制方 式，来消除系统各种控制系统回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制 相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制信号的作用。解耦思想对于多 自由度运动系统是一种重要的控制方式。目前，并联机构的解耦控制主要采用 基于反馈线性化的 PD 控制方法，属于运动学解耦的范畴，而且由于运动学的 强耦合性，利用基于运动学的解耦办法很难取得很好的控制特性。 事实上， 理论研究表明在一个多自由度运动系统中在满足系统是粘性比例 阻尼系统的条件下，可以根据多自由度振动系统模态分析的理论，通过模态矩 阵的转换，将系统的动力学方程转化成六个变量之间相互独立的动力学方程， 这样就可以控制这个

19、模态变量以此来达到解耦控制的目的11。所以本文要研 究的模态空间解耦控制方法与以往不同，这是一种基于动力学的解耦控制方 法，至于动力学分析和以往都是一样，这种控制方法是希望能在模态空间中， 可以通过分别调控各个自由度的主模态方向的控制参数实现各个自由度方向 的单独控制，并达到理想的控制性能。本文要研究的具体的模态空间解耦控制 器见图 1-2。 该控制器是在常规的控制器的基础上，引入模态矩阵，将输入变量从铰点 空间中转化到模态空间中按照各自的主模态方向加以调节控制。如图所示，位 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 4 - 姿输入经过反解得到六个液压缸支腿的伸缩长度， 将六个长度变量通过模态矩 阵

20、转化到模态空间中去，按照各个变量的主模态方向调整参数，再通过模态矩 阵转化到铰点空间中，反馈变量也需要反馈到模态空间中加以调节，这样在模 态空间中就可以独立调节各个模态方向的控制器增益， 分别控制六个自由度变 量，以此达到更好的控制效果。 q UT UKa Kdp 1/tc UTPL l + - + - - + 图 1-2 模态空间解耦控制器的设计框图 1.3 国内外在该方向的研究现状及分析 目前关于在模态空间解耦控制的理论研究和应用在国内外的研究不是很 多。国内一些学者对于多自由度系统提出了一些解耦的方法和解耦的机理12。 很多学者提倡在结构设计上实现解耦，所以在构型上的研究比较多。模态空间

21、 解耦控制理论运用到控制器设计上的目前还没发现。 国外一些学者在解耦控制器的设计方面做的研究相对较多一点。美国的 Holger13在博士论文里不仅对 Stewart 平台进行了详尽的运动学和动力学分 析，还提到了参数识别的问题，运用经过验证的模型，提出了一种基于模型的 控制器的设计方法,这个方法的提出对飞行模拟机控制性能的提高有很大的意 义。McInroy 比较早期结合静力学的输入输出转换和六支腿几何构型设计提出 两种解耦算法14,15。Chen16等在此基础上，通过研究 Stewart 平台关节空间中 惯性质量阵的特性，通过一个静态的输入输出映射，将一个高度耦合的六输入 六输出的动力学系统转

22、化成六个独立的液压驱动的机械系统， 提出了一种新的 控制方法，并且证明此种方法可行而且可以提高控制性能，在此之前的解耦控 制方法对构型及载重都有严格的限制，而新方法在一定程度上消除了这些限 制，大大扩展了应用范围。值得注意的是 Chen 等的研究是在并联机构工作空 间内进行的，他们实验所用的六自由度运动系统，六个液压缸支腿与上下平台 连接处用的是柔性铰，而且运动范围比较小，所以基本可以不考虑被动关节的 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 5 - 摩擦力，也就是该系统是粘性比例阻尼下的实验假设基本是成立的，也就是说 此种方法取得了良好的控制特性是在比较理想的实验条件下， 对于实际应用有 一定的局

23、限性。 R. Hoffman17博士的研究工作表明： 液压驱动平台的任何位置有六个独立 方向,是一组固有频率的特征向量，拥有单自由度系统的性质，所以可以利用 这个单自由度系统方法和理论分析和设计 6-6 Gough-Stewart 平台的控制器。 这个想法的提出是非常有意义的，Plummer18教授就是利用振动学的理论，基 于模态空间控制的思想，对 6-6 Gough-Stewart 平台提出一种多轴控制器控制 的设计，进行建模仿真，并在部分经过验证的运动模型上给出了仿真结果。他 提出的六轴的模态控制器如下图 1-3 所示。 1-3 六轴的模态控制器 在上图的控制器中，先将变量通过一个模态矩阵

24、，从工作空间转化到模态 空间进行控制，经过运动学反解，再重新转回到工作空间，并通过位移和速度 反馈来实现闭环控制的。模态控制器是在工作空间中进行的，模态矩阵变换之 后，并且还进行了正解和反解运算。Plummer 教授试验所使用的六自由度运动 系统中的液压缸选用的是静压支撑缸， 基本可以忽略摩擦力， 而且是低摩擦铰， 系统基本等同于是粘性比例阻尼系统， 也近似可以满足模态解耦控制思想的理 论假设前提。 Peter19的博士论文中对液压驱动六自由度运动平台的耦合特性进行了分 析和讨论，提出了模态空间解耦控制策略。也是通过模态矩阵的转换从而实现 模态空间中各个模态方向的单独控制， 但是他的模态空间解

25、耦控制器的设计是 在铰点空间中进行的，这是与 Plummer 教授不同的地方。其优越性在于基本 实现了每个自由度的单独调节，并实现频宽的拓展。通过仿真实验表明新的控 制策略可以有效地降低工作空间运动的耦合，并与传统 PID 控制器比较表明 模态空间解耦控制器控制性能的有很大的优越之处。 本文研究的解耦控制器和 Peter 的类似。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 6 - 后三者工作有一定的相似性， 说明模态解耦的思想可行并且也得到了很好 的控制效果，但是基于以上分析，Chen 和 Plummer 试验所使用的六自由度运 动系统确实硬件性能比较高，基本等同于非粘性比例阻尼系统，这种控制方法

26、在理论上对系统的适用性很好，得到了很好的控制特性。但是在实际的在控制 器的设计中，面临的六自由度运动系统的硬件性能达不到那么高，这样成本太 高，所以逐步考虑在以往控制中忽略的摩擦力，验证非粘性比例阻尼系统在粘 性比例阻尼系统的控制设计下的适用程度， 验证是否可以扩宽这种控制方法的 使用范围。 1.4 本论文主要研究内容 本文的主要研究内容如下： （1）对六自由度运动系统进行运动学和动力学分析，将以往没有考虑进 去的主动关节和被动关节的摩擦力都考虑在内， 推导液压驱动系统的传递函数 模型，得到完整的六自由度运动系统的多刚体动力学模型。 （2）根据已知参数，对模型进行模态分析，得到模态矩阵，以及中

27、位质 量矩阵和刚度矩阵，并且分析阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵的关系，分析阻 尼矩阵的影响因素，得到系统粘性比例阻尼系统的判定指标。 （3）根据建立系统的整体动力学模型，计算控制器的参数，并设定阻尼 系数在一定的范围内，用联合仿真的方式，分情况探讨模态空间解耦控制器在 非粘性阻尼比例下的适用性得出结论。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 7 - 第 2 章 系统的整体动力学模型 2.1 引言 本文研究的六自由度运动系统为液压驱动的 6-6 Gough-Stewart 标准并联机 构的整体系统， 关于 Gough-Stewart 平台的运动学和动力学分析是研究它的控制 特性的基础，以往一些学者已

28、做过很多关于标准并联机构的运动学和动力学的 分析的工作，本文主要是基于接下来将要研究的内容，将被动关节的摩擦力也 考虑在内，完成运动学分析和多刚体动力学分析，并且和液压驱动系统的传递 函数结合起来建立系统整体的动力学模型。 2.2 六自由度运动系统的运动学分析 六自由度运动系统的运动学分析指的是关节运动和执行机构的运动之间的 关系，具体即在工作空间内的上平台的运动和铰点空间内的液压系统中的活塞 和活塞杆运动之间的关系，包括主动关节和被动关节质心处的位移，速度以及 加速度之间的相对关系。 2.2.1 位姿描述以及执行机构的基本结构参数 为了方便进行运动学分析，工作空间和铰点空间分别采用两套坐标系

29、来表 示，执行机构处于中位时，即各个液压缸都处于初始位置时，以上平台为中心 建立的坐标系 p: pppp OX Y Z称为体坐标系，上平台与支腿连接铰点的坐标在 体坐标系中表示为(1,2,6) i A i ， 用a p i 表示上铰点在体坐标系 p下的径矢, 且向量a T pppp iixiyiz aaa ， 在以下平台为中心建立的坐标系 g: gggg OX Y Z称 为惯性坐标系，下平台与支腿连接处的铰点坐标在惯性坐标系中表示为 i B1,2,6i， i b为 下 铰 点 在 惯 性 坐 标 系 g下 的 径 矢 ， 且 i T g iixiyiz bbbbb。执行机构的正视图和俯视图见图

30、2-1。 执行机构的位姿表示即上平台的中心相对于惯性坐标系的位置表示，也称 为广义坐标，位姿可以表示为 T T TT qtxyz，其中 T txyz 为位置向量， T 为姿态向量，位姿的变化率表示为 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 8 - T dq xyz dt 。 a) 正视图 b) 俯视图 图 2-1 六自由度运动系统的坐标示意图 在对系统进行运动学分析和动力学分析以及接下来的研究分析的时候需要 明确系统的已知量，可以在特定位姿下，将系统的平衡方程和传递函数写成完 全解析的形式。对于标准并联平台，已知的结构参数包括中位高度，上下铰圆 半径，上下铰圆短边间距，上平台厚度和下平台的厚度，其

31、他的参数，例如中 位时各个铰点的坐标都可以通过已知参数表示，本文要研究的标准并联机构的 结构参数见表2-1。 表 2-1 基本结构参数 符号 名称 参数值 单位 H 中位高度 1.64 m a r 上铰圆半径 0.56 m b r 下铰圆半径 1.2 m a d 上铰点短边间距 0.26 m b d 下铰点短边间距 0.45 m 1 d 上平台的厚度 0.05 m 2 d 下平台的厚度 0.02 m 假设上平台在体坐标系OX Y Z pppp 中按Z-Y-X的旋转顺序旋转20，分别 绕Z轴旋转角度为，绕Y轴为，绕X轴为，R为上平台在体坐标系下的 6 A 1 B 1 A 5 A 4 A 3 A

32、2 l a d p O 2 A 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B b d b r a r p X p Y p Y p X g X g Y g Z p Z 1 A2 A 3 B 2 B 4 B 5 B 1 B g B 2 l 1 23 4 56 1 2 3 4 5 6 g O p O 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 9 - 旋转矩阵。根据旋转矩阵的基本数学关系，可以得到旋转矩阵的表达式（2-1）， 其中c表示余弦cos，s表示正弦sin。 同 时 上 平 台 的 广 义 速 度 定 义 T TT qt， 广 义 加 速 度 为 定 义 为 T TT qt ，其中 p R ， T txy

33、z 。 上述式中的引入变量，其中， 上平台中心相对于惯性坐标系的角速度向量； p 上平台中心相对于体坐标系的角速度向量。 两个角速度的向量表示为 T g xyz , T pppp xyz 。 引出这两个角速度矢量主要是为了使运动学分析的所有未知量最后都用已 知量来表示，统一变量只有广义坐标位姿q 的六个自由度变量来表示，式（2-2） 表示的是 p 与 的关系，这样就可以得到 q 和q 与广义位姿q 之间的关系，为接 下来的运动学分析做准备。 ccsccssssccs scccssscsscoss ssccc zyx RR R R （2-1） 10sin 0cossincos 0sincosco

34、s x p y z （2-2） 2.2.2 系统的运动学分析 设六个液压缸的长度矢量 T iixiyiz llll 1,2,6i ，其中一个液压缸 支腿矢量图，见图2-3，根据空间向量的位置关系 21可得p iii ltRab 。从工 作空间到铰点空间的反解公式如式（2-3） 。 2 22 T iiiiixixiyiyiziz lll lxabyabzab （2-3） 运用理论力学的基础知识，分析六自由度运动系统执行机构中速度和加速 度的关系，得到一些重要点的速度和加速度的解析表达式，为下面的动力学分 析做准备。参照图2-2，上铰点处的速度和角速度写成雅克比矩阵表示的形式 为式（2-4）和式(

35、2-5)。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 10 - , T pT aiiai q t vIR aRJq （2-4） , = i T pT nii ni aiq ii l R aR l qJq ll （2-5） 式中 ai 上铰点处的角速度rad/s； ai v 上铰点处的线速度 m/s； ni l 每个支腿方向上的单位矢量； ,ai q J 上铰点处速度与广义速度之间的雅克比转换矩阵； , iq J 上铰点处角速度与广义速度之间雅克比转换矩阵。 并且， 0 0 0 nizniy niniznix niynix ll lll ll ， 0 0 0 pp iziy ppp iizix pp

36、iyix aa aaa aa 。 图 2-2 液压支腿的速度关系示意图 活塞杆上与上铰点连接处重合的点处的速度表达式为（2-6） 。 p O g Oi b i a bi r ci r t bi v i l B C ci v ni l i a v 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 11 - T TTp iniainiini t llvlRal （2-6） 写成雅克比矩阵表示22的形式即为： , l q lJq 。 , l q J是一个比较重要的雅克 比转换矩阵，因为它将铰点空间与工作空间联系起来，为动力学平衡方程的建 立提供了很大的方便。 为了得出液压缸系统的惯性力，下面来分析液压缸的缸筒和活

37、塞杆质心处 的速度和加速度，示意图仍然参照图2-2，假设活塞杆的质心点为B，质心速度 为 bi v1,2,6i，质心到上铰点的距离为 bi r，液压缸筒质心为C，质心速度 为 ci v1,2,6i，质心到下铰点的距离为 ci r。 活塞质心的速度和加速度可以表示为式（2-7）和式（2-8） ： , ni bi bilaibi aiai i r vIPvJv l （2-7） 2 nini2 2+ ninini T bibi bilaiailailai i i rr vP vlvlP vIPv l l （2-8） 式中 ,bi ai J活塞杆质心速度与上铰点速度的雅克比转化矩阵； bi v 液压缸

38、活塞杆质心处的加速度 2 m/s。 类似地，液压缸筒质心的速度和加速度可以表示为式（2-9）和式（2-10） 。. , ni ci cilaici aiai i r vPvJv l （2-9） 2 nini 2 2 ninini T cici cilaiailailai i i rr vP vlvlP vPv l l （2-10） 式中 ,ci ai J 液压缸筒质心速度与上铰点速度的雅克比矩阵； ci v 缸筒质心处的加速度 2 m/s； ni l P 投影算子，且 ni T lni ni PIl l。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 12 - ri 2di 1di i l 1ui 2u

39、i 图 2-3 一个支腿各个运动副处的角速度示意图 上下平台和液压缸连接处每个虎克铰都存在两个方向上的转动副，每一个 活塞杆和缸筒处除了包含一个移动副还有一个转动副23，为了方便计算各个运 动副处的摩擦力，需要计算出各个运动副处的速度，参照图2-3是一个液压缸 支腿的各个运动副处的速度示意图24，包括上面虎克铰两个角速度 1di ， 2di ， 下虎克较两个角速度 1ui ， 2ui ，液压缸筒和活塞杆之间的相对角速度 ri ，活 塞杆相对于液压缸筒的平移速度 i l。 根据虎克铰的安装及杆件速度分析知识，可得下面得虎克铰的速度应该与 上铰点处的铰速度一致，所以下面的虎克铰的中心处角速度25可

40、见表达式 （2-11） 。 di, = T pT nii ni aidi q ii l R aR l qJq ll （2-11） 然后再将这个角速度分解到虎克铰两个相互垂直的转动方向即为表达式 （2-12）和式（2-13） 。 11111,1, T didininininidi qdi q rrr r JqJq （2-12） 22222,2, T didininininidi qdiq rrr rJqJq （2-13） 在式（2-12）和式（2-13）中， 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 13 - 1 1 1 i ni i r r r ，其中 1 ini rlz ，001 T z ； 21

41、inini rrl ，其中 2 2 2 i ni i r r r ； 1,di q J， 2,diq J下虎克铰两个角速度与广义速度的雅克比转换矩阵。 由于上平台本身发生了转动，所以上虎克铰克铰中心处的角速度相对于惯 性坐标系26可以表示为式（2-14） 。 , T pT nii pT ni uidiui q ii l R aR l RqJq ll （2-14） 根据这个中心处的角速度即可得到上虎克铰两个转动方向角速度的表达式 （2-15）和（2-16） 。 13333,1, T uidininininiui qui q rrr r JqJq （2-15） 24444,2, T uidinin

42、ininiui quiq rrr rJqJq （2-16） 式中 3 3 3 i ni i r r r ，其中 3inip rlRz ，001 T p z ； 4 4 4 i ni i r r r ，其中 43inini rrl ； 1,ui q J， 2,uiq J上虎克铰的两个角速度与广义速度之间的雅克比矩阵。 运动时液压缸的活塞杆和缸筒之间的相对转动速度为式（2-17） 。 , p pTpT rininini nini niqri q lll ll lJqJq （2-17） 式中 p 上平台在体坐标系中的角速度，并且有表达式： , 0 p pT q RqJq ； ,ri q J 缸筒与活

43、塞之间转动角速度与广义速度之间的雅克比矩阵。 2.3 考虑阻尼项的多刚体动力学分析 本节主要是将各个运动副处的摩擦力也考虑在内， 建立多刚体动力学方程。 以下主要利用Kane方法13，这是一种投影的方法，将液压系统的活塞和活塞 的重力以及惯性力和阻尼力都转化到工作空间建立了系统的多刚体动力学模 型，本文所能用到的执行系统的惯性参数见表2-2。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 14 - 表 2-2 系统的惯性参数 符号 名称 参数值 单位 b r 活塞杆质心到上铰点的距离 0.56 m c r 缸筒质心到下铰点的距离 0.635 m b m 活塞和活塞杆的质量 15 kg c m 缸筒的质量

44、 20 kg m 上平台及负载的质量 178.6 kg b i 活塞和活塞杆的转动惯量 1.6 2 kg m c i 缸筒的转动惯量 2.74 2 kg m 单刚体动力学是分析多刚体动力学的前提，是在忽略液压缸的缸筒和活塞 连带活塞杆运动的惯性力，阻尼力以及自身重力的前提下来分析整个系统的主 动力和被动力受力平衡2的，见式（2-18） ，简化为表达式（2-19） 。 000 000 npp aP nPP Lmm g tt f RALII （2-18） , , T l qappp Jq fMq qCq q qGq （2-19） 在单刚体动力学表达式(2-18)中， a f 液压系统的驱动力，且

45、123456 T aaaaaaa fffffff； p m 上平台及负载的质量矩阵； p I 上平台的相对于惯性坐标系的转动惯量矩阵。 在单刚体动力学简化表达式(2-19)中， p Mq 惯性系数矩阵； , p C q q 哥氏/向心项系数矩阵； p Gq 重力项矩阵。 六自由度运动系统的多刚体动力学分析是考虑液压缸支腿的重力， 惯性力， 以及本文研究的包括被动关节摩擦力在内的多刚体动力学平衡方程的建立。此 处惯性参数 b i表示活塞杆和活塞杆绕质心的轴向方向的转动惯量， c i表示液压 缸的缸筒绕质心的轴向方向的转动惯量。 先从单个液压缸支腿开始分析， 首先 利用铰点处速度与液压缸筒和活塞杆质心处的速度之间的雅克比转换矩阵，将 活塞，活塞杆以及液压缸筒的重力投影到上铰点处可以表示为式（2-20）和式 （2-21） 。 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 - 15 - ,bi ai ni aT bi bibibil i r GJm gmIPg l （2-20） ,ci ai ni aT ci cicicil i r GJm gmP g l （2-21） 根据牛顿第二定律