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1、硕士学位论文 增量型电场积分方程研究 摘要 tlYUt112lllL10Illl16llll1 I i l l III i l l 5 4 4Y 2 0 6 1 矩量法( M o M ) 作为一种精确的积分方程方法，自二十世纪六十年代出现以来，由于 其对于复杂边界条件问题的鲁棒性，已经被成熟应用于实际目标的散射特性分析、微带 电路的参数提取等领域中。尽管矩量法具有很多微分方程类方法所不具有的优势，但也 同样存在一些问题，其中以矩量法求解过程中生成稠密阻抗矩阵的计算消耗问题以及众 所周知的低频崩溃问题最为突出。随着计算机性能的飞速提高以及多层快速多级子方法 的成熟应用，大大提高了传统矩量法对于大
2、未知量问题的求解能力，对于分析数百万甚 至千万量级的问题不再是梦想；而对于矩量法低频问题的修正，人们也做了大量的研究， 包括最著名的环状一树状基函数分解技术( L o o p t r e ed e c o m p o s i t i o n ) 。矩量法的低频问题简 而言之是由于随着频率降低，矢量磁位与标量电位的变化量级不一致，导致在低频情况 下，矢量磁位在方程中的贡献由于有限的机器精度而被忽略，这样形成的阻抗矩阵是近 奇异的，无法求得准确的电流解，从而引发了所谓的低频崩溃现象。 本论文首先分析了传统矩量法低频崩溃现象的产生原因，比较了目前主流的几种解 决低频问题方法的优势及不足。在此基础上，
3、本文重点针对增量型电场积分方程( A E F r E ) 进行了研究，验证了其低频稳定的特性并详细分析了针对不同类型的问题，方程所呈现 的不同效果。 本论文还将自适应交叉近似奇异值分解( A C A S X r D ) 算法以及混合格式快速多级子 方法( M F F M A ) D I 入增量型电场积分方程中，分析了自由空间金属目标的散射问题，进 一步节省了矩量法的计算时间以及内存消耗。 最后，本文将多层媒质格林函数引入了增量型电场积分方程的框架中，利用A E F I E 分析了一些实际的微带问题，通过算例结果的对比证明了本文方法是准确而有效的。 关键词：矩量法，低频崩溃，增量型电场积分方程，
4、自适应交叉近似奇异值分解算法， 混合格式快速多级子方法 硕士学位论文 A b s t r a c t S i n c ei t sd e v e l o p m e n ti n1 9 6 0 S ，M e t h o do f M o m e n t ( M o M ) ，a sak i n do fa c c u r a t ei n t e g r a l e q u a t i o n sm e t h o d , h a sb e e nw i d e l yu s e di nt h ea n a l y s i so ft h ee l e c t r o m a g n e t
5、 i cs c a t t e r i n g c h a r a c t e r i s t i ca n dt h ee x t r a c t i o no fc i r c u i tp a r a m e t e r s ，e s p e c i a l l yf o rt h ep r o b l e m s 埘也 c o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n s H o w e v e r , i th a ss o m es h o r t c o m i n g sf o ri t sl a r g ec o m p u t a
6、t i o n a l t i m ea n dm e m o r yc o s t sa n di t sw e l l - k n o w nl o wf r e q u e n c yb r e a k d o w n A st h ef a s td e v e l o p m e n t o fc o m p u t e rs c i e n c ea n dt h e a p p l i c a t i o n so fm u f t i l a y e rf a s tm u t i l p o l em e t h o d , t h ec a p a b i l i t yo
7、 f s o l v i n gl a r g ep r o b l e m so fM o M h a sb e e ne x t e n d e dg r e a t l y 1 1 1 ea n a l y s i so ft h ep r o b l e m sw h i c h h a sm i l l i o nu n k n o w n si sn o tad r e a mt o d a y A n di no r d e rt oc o r r e c tt h el o wf r e q u e n c y b r e a k d o w n , s o m et e c
8、h n i q u eh a sb e e np r o p o s e ds u c h 嬲t h ef a m o u sL o o p t r e ed e c o m p o s i t i o n t e c h n i q u e I ns h o r t , t h er e a s o nf o rl o wf r e q u e n c yp r o b l e mi st h a tw h e nt h ef r e q u e n c yb e c o m e s l o w e r , t h em a g n e t i cv e c t o rp o t e n t
9、 c i a la n de l e c t r i cs c a l a rp o t e n t c i a ld on o tg e tb a l a n c ew i t h e a c ho t h e r S ot h ec o n t r i b u t i o no fm a g n e f i cv e c t o rp o t e n t c i a lw i l lb ei g n o r e da tl o wf r e q u e n c y b e c a u s eo ft h ef i n i t em a c h i n ep r e c i s i o n
10、T h ei m p e d a n c em a t r i xi sa l m o s ts i n g u l a ra n dt h e s o l u t i o no fc u r r e n tw i l ll o s ta c c u r a c y m st h e s i sd e m o n s t r a t e st h er e a s o no fl o wf r e q u e n c yb r e a k d o w nf o rt h ec o n v e n t i o n a l M o M f i r s t l y , a n da n a l y
11、z e st h ea d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h ep r i m a r yc o r r e c tt e c h n i q u e f o rl o wf r e q u e n c yp r o b l e mt o d a y W i t ht h i su n d e r s t a n d i n g ，t h et h e s i se m p h a s i z e so nt h e a n a l y s i so fa u g m e n t e de l e c t r i cf i e l
12、di n t e g r a le q u a t i o n , v a l i d a t e si t ss t a b i l i t ya tl o wf r e q u e n c y a n dc o m p a r e si t sd i f f e r e n te f f e c t sf o rd i f f e r e n tp r o b l e m s T h i st h e s i sa l s oi n t r o d u c e sA C A - - S V Dm e t h o da n dm i x f o r mf a s tm u l t i p o
13、 l em e t h o di n t o t h ef r a m eo fa u g m e n t e de l e c t r i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o nt os p e e du pt h ec o m p u t a t i o na n d r e d u c et h em e m o r yc o s t si ns o l v i n ge l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m sa tf r e es p a c e I nt h
14、ee n do f t h i st h e s i s ，w ec o m b i n et h ei d e ao f A E F I EW i t l lt h em u l t i l a y e rm e d i ag r e e n f u n c t i o na n da n a l y z es o m em i c r o s t r i pp r o b l e m si nr e a ll i f e A c c o r d i n gt ot h er e s u l t so fs e v e r a l e x a m p l e s ，t h ea c c u
15、r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h em e t h o di nt h i st h e s i si sv a l i d a t e d K e yw o r d s ：m e t h o do fm o m e n t s ，l o wf r e q u e n c yb r e a k d o w n , a u g m e n t e de l e c t r i cf i e l d i n t e g r a le q u a t i o n , a d a p t i v eC R O S Sa p p r o x i m a t i
16、o n - s i n g n l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，m i x f o r mf a s t m u l t i p o l em e t h o d 硕士论文增量型电场积分方程研究 目录 摘要。I A b s t r a c t I I 1 绪论。1 1 1 研究背景及研究意义1 1 2 研究历史与研究现状。2 1 3 本论文的主要内容安排3 2 矩量法( M o M ) 简介一4 2 1 概述4 2 2 矩量法的基本原理4 2 3 基函数和测试函数：6 2 4R W G 基函数4 2 5 矩量法计算金属目标的雷达散射面积( R
17、C S ) 8 3 增量型电场积分方程( A E F I E ) 8 3 1 引言1 2 3 2 低频崩溃现象分析1 2 3 3 增量型电场积分方程的原理1 2 3 4 增量型电场积分方程的求解1 5 3 5 低频情况下对于增量型电场积分方程的修正1 6 3 6 算例分析与讨论2 0 4 增量型电场积分方程结合快速算法分析自由空间散射问题3 0 4 1 引言3 0 4 2 增量电场积分方程结合自适应交叉近似奇异值分解( A C A S V D ) 方法。3 0 4 3 增量型电场积分方程结合混合格式快速多级子( M F F M A ) 方法3 4 4 4 算例分析与讨论3 8 5 增量型电场积
18、分方程分析微带电路问题4 5 5 1 引言4 5 5 2 分层媒质格林函数原理。一4 5 5 3 算例分析与讨论4 9 6 总结与展望5 5 致谢5 6 参考文献5 7 I I I 硕士论文增量型电场积分方程研究 1 绪论 1 1 研究背景及研究意义 自1 9 世纪英国科学家J C 麦克斯韦利用大量的实验以及严格的理论论证提炼出麦克 斯韦方程组【l 】以来，计算电磁学的发展可以用日新月异来形容。如今，电磁场理论已经 渗透到国民生活、工业生产以及军事应用的每个方面，无论是通信、电磁兼容性设计还 是电磁波探伤、矿产探测以及军事目标的隐身、反隐身设计等等，都离不开计算电磁学 领域的探索与发展。 计算
19、电磁学的研究方法种类繁多，主要分为解析方法，数值方法和高频近似方法三 类。计算电磁学的早期发展主要研究了麦克斯韦方程组在不同边界条件下的解析解。例 如纯金属及介质涂覆的球、柱的散射问题等。但是，只有一小部分的相对简单的问题能 够通过麦克斯韦方程组求得精确的解析解，这限制了人们解决实际工程应用问题的能 力。而对于数值方法，从方程形式来看，其传统研究方法主要分为两大类：微分类方法 和积分类方法。前者包括如有限元法( F i n i t e e l e m e n tM e t h o d ，F E M ) p 3 。、有限差分法( F i n i t e D i f f e r e n c eM
20、e t h o d ) N ；后者包括如矩量法( M e t h o do f M o m e n t s ，M o M ) p J 、边界元方法( B E M ) 【6 】等等。微分方程类方法适用面广，能够求解复杂的边值问题，在离散方程时能得到稀 疏的阻抗矩阵，但对于开域问题的求解必须引入近似的吸收边界条件( P M L ) ，并在整个 空间进行网格剖分，因此未知量较大，同时网格截断误差和网格色散误差也比较大，并 且F D T D 方法难以精确拟合复杂的目标表面；而积分方程类方法能够处理各种复杂矢量 的散射问题，未知量相比微分类方法少，但是在离散方程时会得到稠密的阻抗矩阵，对 其填充和求解会
21、占用较大的计算机内存，然而积分类方法能够直接满足辐射条件，不用 加入P M L 的近似，因此计算精度较高。而对于高频近似方法而言，包括几何光学法1 7 J 以 及物理光学法【8 】等。它们利用大多数受微波照射的雷达目标都处于光学区的性质，基于 场局限性原理来处理目标结构的有限性，运算速度快，占用计算机内存较少，然而由于 是近似方法，计算精度较低，若与多种方法相混合，能够满足工程应用，但是无法满足 目前具有复杂精细结构的目标的精确电磁仿真。 随着现代计算机技术的发展，大规模并行计算机群的诞生已经克服了原先由于内存 限制而造成的无法运算大未知量的问题，百万级、千万级甚至亿级未知量的求解不再是 梦慰
22、9 1 ，计算电磁学随之进入一个崭新的腾飞期。而在当今集成电路大规模应用的背景 下，对于电磁兼容的设计和高速互联电路的信号完整性分析更显得重要，矩量法作为三 大数值方法之一，能够精确地求解目标的散射辐射问题，有着广泛的研究和应用价值， 市场上也已经出现多款基于矩量法的商业软件，如D e s i g n e r ，F e k o 等。然而对于现今复 杂精细结构的全波仿真分析，矩量法却存在数值不稳定现象，尤其在分析目标电尺寸远 1 l 绪论硕士学位论文 小于波长或几何建模剖分尺寸远小于波长的情况，因此人们迫切需要一种能够精确分析 精细目标的稳定的鲁棒性较好的积分方程方法来满足实际应用的需求。 1
23、2 研究历史及研究现状 硕士论文 增量型电场积分方程研究 A l g o r i t h m ，M L F M A ) 2 0 - 2 2 1 ，将计算机的存贮量及计算复杂度进一步降低到( N l o g N ) ，基于 M L F M A 开发的F I S C ( F a s tI l l i n o i sS o l v e rC o d e ) 软件已经能够对于百万甚至千万量级未 知量的电大尺寸目标的电磁散射特性进行分析【2 3 】。然而，传统的快速多极子方法在低频 域同样会出现失准，需要进行一些改进。如由J S Z h a o 提出的低频快速多级子方法 ( L F F M A ) t
24、2 4 1 、G r e e n g a r d 提出的基于高斯积分的平面波方法【2 5 】、J i a n g 和C h e w 提出的 低频非均匀平面波方法( L F F I P W A ) t 2 6 】等。其中低频快速多极子( L F F M A ) 基于多极子加 法定理展开，对于解决低频问题非常有效。这种方法对聚合、转移、以及配置过程中使 用的贝塞尔函数进行了尺度归一化，从而避免由于计算机有限的精度所导致的转移因子 中小数值部分被忽略的问题，从而使其能应用于低频问题。 1 3 本论文的主要内容安排 本文实现了增量型电场积分方程( A E F I E ) 分析电磁散射问题的F o r
25、t r a n 编程，主要围 绕增量型电场方程对于矩量法低频问题的处理能力进行了研究，并将电流电荷分开的思 想从自由空间背景拓展到多层媒质背景，计算了一些实际的微带电路问题。为了求解现 实生活中大未知量问题，还引入了自适应交叉近似奇异值分解方法( A C A - S V D ) 和混合 格式快速多级子方法( M F F M A ) ，提高了求解能力。 本文各章内容安排如下： 第二章：介绍了矩量法分析自由空间散射问题的基本原理 第三章：介绍A E F I E 的原理，研究了其对于低频问题的处理能力，对A E F I E 的预 条件形式做了研究，并分析了针对不同类问题A E F I E 的效果。
26、第四章：将A E F I E 与现有快速方法如A C A S V D 、M F F M A 相结合，提升其求解 大未知量问题的能力，降低计算时间和内存消耗。 第五章：介绍多层媒质格林函数的原理，结合A E F I E 思想，分析了一些实际的微 带结构。 第六章对本文工作的总结以及对后续工作的展望。 2 矩量法( M o M ) 简介 硕士学位论文 2 矩量法( M o M ) 简介 2 1 概述 为了求解实际生活中的电磁散射、辐射以及电磁兼容问题，人们基于麦克斯韦方程 组，研究了许多种不同的分析方法。总体来说可以分为解析方法和数值方法两大类：所 谓解析法，就是对于某一类具体的问题，能够根据推导
27、出具体的解析公式来对场值进行 计算和分析，计算方便，结果精确。但是对于实际生活中的不同问题，能够采用解析法 描述的并不多，尤其对于具有复杂边界条件的问题来说，很难找到一个通用的解析方程 对其进行描述，因此只能对于比较简单的结构，如球，柱，对称体等，有一些解析和半 解析的公式可以用来分析。而对于实际生活中丰富多样的复杂的电磁场边值问题，主要 还是通过数值方法来进行分析，也就是借助计算机强大的运算能力将含有复杂边界条件 的积分方程离散为不同规模的矩阵方程，在精度可控的前提下进行运算和分析，从而大 大增强了电磁场方程的求解能力，能够处理很多解析法无法解决的问题。 而矩量法( M o M ) 作为积分
28、方程类方法中的代表，是一种精确严格的数值方法。尽管 会形成稠密阻抗阵，且对计算机的内存需求比较高，但是随着计算机科学的进步以及各 种快速方法如多层快速多级子方法( M L F M A ) 拘提出，矩量法仍然是分析电磁散射和天 线辐射问题的主流方法。 2 2 矩量法的基本原理 矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程的方法，H a r r i n g t o n 在1 9 6 8 年就对矩 量法进行了详细的研究和论证，此方法既可以求解微分方程也可以求解积分方程。它先 将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符的符号方程，再将待求的未 知量用一组事先选取的基函数的线性组合表示，并将其代入原
29、先的符号方程中，最后用 一组选定的权函数( 测试函数) 对所得的方程两边进行内积，这样就得到一个矩阵方程或 代数方程组。接下来利用计算机进行大量的数值计算，包括矩阵的求逆、数值积分和迭 代求解等等，得到基函数的线性组合的系数，从而求得原方程的最终解。 在数学上，可以用一个算子方程来描述实际的电磁散射问题或辐射问题，： f = g( 2 1 ) ( 2 1 ) 式可以是微分方程、差分方程或积分方程。式中：L 是线性算子；g 是已知的 激励函数；f 是待求的未知函数。f 和g 定义在不同的函数空间F 和G 上，算子L 将F 空间的函数映射到G 空间上。假定两个函数厂和厂：以及两个任意常数a l 和
30、a 2 ，有如下 关系： 4 硕士学位论文 增量型电场积分方程研究 三( 口l 一+ a 2 f 2 ) = a , L ( f , ) + a 2 L ( f 2 ) ( 2 2 ) 则称L 为线性算子。 一般要获得方程( 1 ) 的精确解是非常困难的，除非L 为非常简单的线性算子。为了 获得方程( 1 ) 数值解，大体需要三个基本的求解步骤： ( 1 ) 离散化过程 这个步骤的作用在于将算子方程转化为代数方程，其具体步骤如下： 1 在算子L 的定义域内适当地选择一组基函数( 或称为展开函数) 厂t ，f 2 ，石，它们是线 性无关的。 2 将未知函数厂( x ) 表示为该组基函数的线性组合
31、，并且取前N 项近似截断，即： 出 厂( x ) = 嘶扣( x ) = a 5 ( 2 3 ) 3 将式( 2 3 ) 代入式( 2 1 ) ，将算子方程化为代数方程，即： 础( 石) = g ( 2 4 ) n = l 这样，求解原未知函数厂( x ) 的问题就转化为求解基函数石的系数a n 的问题。 ( 2 ) 测试过程 为了使厂( x ) 的近似函数一( x ) 与( x ) 之间的误差尽可能小，必须进行测试，即在 抽样点上使加权平均误差为零，从而确定未知系数a n 。这一过程的基本步骤为： 1 在算子L 的值域内适当地选择一组权函数( 又称测试函数) W m ，它们也应该彼此线 性无
32、关。 2 将与式( 2 4 ) 取内积进行测试，因为要确定N 个未知数，所以需要进行N 次测试， 则： m ( 工( 石) ，骗) = ( g ，矾) ( 朋= l ，2 ，忉 ( 2 5 ) n = l 将它改写成矩阵形式： 【】b 】- g - 】 ( m = 1 ，2 ，忉 ( 2 6 ) 式中： ，r 口a l ： L 锄J2 1 I ： L 口 跏】= ( g ，形) ( g ，W 2 ) ( g ，W N ) ( 2 7 ) 5 【】- ( L ( f - ) ，- ) ( L ( f 2 ) ，形) ( Z ( f O ，形t ) ( L ( f ) ，：) ( L ( f 2
33、) ，形：) ( 三( 石) ，形：) ( L ( f t ) ，胍) ( L ( f 2 ) ，职) ( L ( f O ，I V ) ( 2 8 ) 于是，求解代数方程( 2 1 ) 的问题转化为求解矩阵方程( 2 6 ) 的问题。 ( 3 ) 矩阵方程的求解过程 一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程组，就可以得到矩阵 方程的解。 【a n 】= 【】。1 g - 】( 2 9 ) 式中【】1 是矩阵 】的逆矩阵。将求得的展开系数a n 代入到式( 2 3 ) ，便得到原来算子 方程( 2 1 ) 的解： 厂( x ) 嘶( x ) ( 2 1 0 ) n = l 以上即是
34、矩量法求解算子方程( 2 1 ) 的基本过程，在矩量法的所有应用中，通常都要 遵循这个统一的过程。 2 3 基函数和测试函数的选取 从上述分析可以得知，基函数和权函数的选择是矩量法中的关键步骤。为了让离散 后的矩阵方程( 2 6 ) 的解接近( 2 1 ) 的解，l 乒I 和l 既l 应尽可能的完备。因此，I 五l 和I 既I 都 必须各自线性无关。理想的基函数和权函数应有如下特征： ( 1 ) 能够保证解的精度 ( 2 ) 矩阵元素Z 删的计算要尽量简便 ( 3 ) 基函数与权函数的数目不宜过多，以免造成求解负担 ( 4 ) 矩阵Z 的性态尽可能好 其实理想的基函数及权函数并不存在，并且上述
35、几点要求在实际应用过程中经常互 相矛盾。通常，权函数的选择方式能够决定测试函数的选择的方式。对应于点匹配、线 匹配、伽辽金( G a l e r k i n ) 匹配三种方法，相应的测试函数可取为冲击函数、线性函数、 与基函数相同的函数。尽管伽辽金匹配方法实施相对其他两种方法比较繁琐，计算阻抗 矩阵Z 比较困难，但是它的效果最为稳定。因此，一般计算电磁学中都是采用伽辽金匹 配方法，也就是选择与基函数具有相同的形式的测试函数。 而基函数通常分为全域基函数和子域基函数两大类。全域基函数定义在整个待求解 区域上，在解决特定问题时十分有效，但对于一般的问题，很难构造出满足条件的全域 基函数。因此尽管近
36、年对全域基函数的研究获得了一些新的进展和应用【2 7 1 ，但是目前通 6 硕士学位论文增量型电场积分方程研究 用的仍然是子域基函数。子域基函数定义在求解区域的每一个子域上，根据待求解物体 的类型和形状，子域基函数可以定义在点上、线上、面上、小体积元上以及线面结合 处上等等。针对不同的剖分方式，也提出了不同的基函数类型，如基于矩形网格剖分和 三角形网格剖分的基函数【2 8 之9 1 等。在具体的剖分情况下又有不同的数学形式，如定义在 曲面或参数曲面上的高阶基函数3 0 1 等。 2 4R W G 基函数 使用三角形网格剖分任意的理想导体表面，可以简单而有效地描述物体的精细特 征。R a o 、
37、W i l t o n 和G l i s s o n 在1 9 8 2 年提出至今仍被广泛使用的定义在三角形面元上的 R W G 基函划2 9 1 。R W G 基函数的定义式为： 多( 尹) = ，n 2 A 。+ ，n 2 4 。一 0其他 上述基函数定义在一个三角形对死+ 和死一之上，并存在一个相连的公共边，如图 ( 2 1 ) 所示。图中，n 是公共边的长度，L + 和乃一表示与其相连的上下三角形，以+ 和么一一 分别表示三角形死+ 和死一的面积，芦一+ 表示在三角形兀+ 中由顶点O + 指出的位置矢量， 芦”一表示在三角形死一中指向顶点O 一的位置矢量，庇分别为O 的坐标。R W G
38、 基函数 的散度可以表示为： V 石( 尹) = + 旦r 一1 死+ i 。 么月+ 一三L 尹孔一 彳 + 0其他 ( 2 1 2 ) 从R W G 定义式以及相应的散度表达式，可以清楚看到： ( 1 ) 电流沿着L + 和兀一的公共边流动，因此在三角形对的外边界没有多余线电荷的存在。 ( 2 ) 在公共边，。两侧，电流的法向分量连续，因此在内边上也没有电荷累积。 ( 3 ) 在三角形乃+ 和乃一上，面电荷均为常数，同时三角形对上的静电荷总量为零。 因此，R W G 基函数的定义是符合物理意义的。 7 乃 乃彳 庇 一 一 扩 “一w几一撕 = = 玎 斗 西 西 2 矩量法( M o M
39、 ) 简介 硕士学位论文 硕士学位论文增量型电场积分方程研究 日”( 尹) = L v g ( V ，尹。y ( 尹。) 】舔。 ( 2 1 4 ) 式中：g ( 尹，尹) 是自由空间标量格林函数。在理想导体表面应用边界条件，有： 芦( E ? ( 芦) + E ：! 尹) ) = o ( 2 1 5 ) 元( 日劝( 尹) + 日“( 尹) ) = J ( 尹) 式中：F 为单位切向矢量，元为理想导体表面的外法向单位矢量。将( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 式分 别代入( 2 1 5 ) ，得到理想导体表面电流的电场积分方程( E F I E ) 为： 卸F 。酊，尹妙( 尹) d
40、S - 去加酊，尹) v 7 ( 尹) d S 一撕栅( 尹) ( 2 1 6 ) 同理得到理想导体表面电流的磁场积分方程( M F I E ) 为： f i x 日”。i f ) = J ( 尹) - 元x V xL g ( 尹，尹。y ( 尹。) 劣。( 2 1 7 ) 在积分方程和基函数确定之后，即可应用矩量法进行求解。 进行离散，为了简便起见，将E F I E 用电标位和磁矢位表示： 一尹云加。( 尹) = f F 彳( 尹) 一F V 咖( 尹) 其中，磁矢量位和电标量位的表达式为： j ( 尹) = p o 【g ( 痧( 尹。) a s 以电场积分方程为例来 = 磊1 1 0 )
41、 0 g ( F ，F ) v 酊) 舔S o 将表面电流密度用R W G 基函数展开，并对方程( 2 1 8 ) 采用伽辽金方法测试， 五= 面( 尹) 泐( 五，j ) 一( 五，V ) = 一( 五，雷咖( 尹) ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 则有： ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 对式( 2 2 2 ) 左边第二项利用矢量恒等式： ( 五，V ) = 五( 尹) V 搬 = V 【五( 尹渺( 尹) 】c 搭一IV 五( 尹) 9 I ( 尹) ( 搭 ( 2 2 3 ) = 唾石五( 尹) 妒( 尹) 刃一V 五扩渺( 芦) 舔 式中，右边第
42、一项中云是围线C 的法线。由于基函数石五在围线上的积分为零。因此： ( 五，V 驴) = 一V 五( 尹( 尹) a 8 = 一( V 五，咖) ( 2 2 4 ) 进而方程( 2 2 2 ) 可以写成矩阵方程的形式： Z 。I = V 。 ( 2 2 5 ) 9 2 矩量法( M o M ) 简介硕士学位论文 其中， 硕士学位论文增量型电场积分方程研究 应s ( 尹) = 驯岍矿1V V J le - J 4 U 兀e # ，；7 。( 尹) 嬲 = 等砌杆万IV V e j k ；- j ( 尹) 谘7 = j = j 两 ；) P 肛汀了( 尹) 嬲 肚置芦歹( 尹) 嬲；) ( 2 3
43、 3 ) 其中，声表示球坐标系下径向的单位方向矢量。而R C S 的定义如下：目标对雷达入射 波所呈现的有效的假想散射面积【3 1 1 ，通常称为雷达散射截面( R C S ) 。雷达接收到的待测 目标的反射波强度和R C S 的大小成正比。R C S 表达式如下： ， 仃c 日，= 基恶4 万：2l 上重量尘二呈二兰翌产 c 2 3 4 ， 上式中，( r , O ，) 代表球坐标系，乓( r , O ，妒) ，以( r , O ，) 分别表示p 方向和妒方向 的目标对于入射波的散射场在r 处所产生的电场强度；r 为空间内一点到目标的距离。 当r 趋向无穷远时，目标的入射波近似为平面波，此时
44、，R C S 不随r 变化而变化，因此 定义远场R C S 的时候，要满足，专0 0 条件。如果包含入射和反射场的极化信息，R C S 也可以有如下表示方式： = l i m 4 万厂2 可I E o1 2 7 仃却= l i m 4 z r r = 吲l E 日1 F 2 叫叫群，卅l 叫i m 4 7 r r 2 I E 引；1 。2 仁3 5 其中，0 和9 分别代表极化方式。 雷达散射截面单位是平方米，通常为对数表示形式，即分贝每平方米( d B s m ) ： ( 丁d B s m = 10l o g1 0 0 “ ( 2 3 6 ) 而物体单双站R C S 的区别在于，单站R C
45、S 是定义入射波方向和观察者接收回波的方向 恰好反向的情况。双站R C S 是定义固定一个入射波方向，而观察者接收角度发生变化 的情况。通常我们固定0 和西中的一个方向，改变另一个方向来得到目标的双站R C S ：卜小s ，- _ _ ，、 小以 生锄生栅 3 增量型电场积分方程( A E F I E ) 硕士学位论文 3 增量型电场积分方程( A E F I E ) 3 1 引言 除了采用L 0 0 p 类分解方法以及一些相关的预条件方法以外，如何改变方程的形式， 使得形成的矩阵方程具有低频稳定的特性也成为人们研究的焦点。由于低频崩溃问题是 由磁矢量位与电标量位量级相差过大而产生的，一个简单的思路就是将这两部分贡献分 离开来，然后采用合适的频率归一化因子使它们的值趋于平衡a 这方面的研究基本都是 沿袭了这个思路，从较早的电流电荷方程( C C I E ) t 1 4 1 ，到后来的分离位积分方程( S P I E ) 【3 2 】， 再到现在的增量型电场积分方程( A E F I E ) 【3 3