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1、二元进化策略的收敛性分析第38卷第7期2011年7月计算机科学ComputerScienceVo1.38No.7July2011二元进化策略的收敛性分析张宇山.郝志峰.黄翰(广东商学院数学与计算科学学院广州510320)(华南理工大学计算机科学与工程学院广州510006)(广东工业大学计算机学院广州510006)3(华南理工大学软件学院广州5100O6)(南京大学计算机软件新技术国家重点实验室南京210093)摘要进化算法的理论研究,如收敛性,时间复杂性研究,是当前的一大热点和难点,有关的理论结果并不多.针对二元进化策略(1+1)ES建立时齐马尔科夫过程模型,利用连续状态马氏过程理论证明了与(
2、1+1)ES相关联的马氏过程在一类连续优化问题中具有指数遍历性,在此基础上证明了(1+1)ES在求解此类优化问题时能以概率1最终找到最优解.所提出的分析方法为进化算法的理论研究提供了一条新思路.关键词进化计算,进化策略,收敛性,连续优化,马尔科夫过程中图法分类号TP18文献标识码AConvergenceAnalysisofTwo-memberedEvolutionStrategyZHANGYu-shan,HAOZhi-feng3HUANGHan4,(SchoolofMathematics&ComputationalScience,GuangdongUniversityofBusines
3、sStudies,Guangzhou510320,China)(SchoolofComputerScienceEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510006,China)(FacultyofComputer,GuangdongUniversityofTechnology,Guangzhou510006,China)0(schoolofSoftware,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510006,China)(TheStateKeyLabforNovelSoftware
4、Technology,NanjingUniversity,Nanjing210093,China)AbstractThetheoreticalinvestigationtoEvolutionaryAlgorithms,e.g.convergenceanalysis,runtimeanalysis,iscurrentlyahottopic,andtherelatedtheoreticalresultsarefewdespitemanyexperimentalresults.ThispaperestablishedahomogeneousMarkovprocessmodelassociatedwi
5、th(1+1)ES.ItisprovedbymeansofthetheoryofMarkovprocesswithcontinuousstatethattheMarkovprocessassociatedwith(1+1)EShasexponentialergodicityinaclassofcontinUOUSoptimizationproblem,hencethe(1+1)EScanfinallyconvergetotheoptimalsolutionwithprobability1whensolvingsuchaproblem.Theproposedanalyticapproachpro
6、videsanewthoughttothetheoreticalresearchofevolutionaryalgorithms.KeywordsEvolutionarycomputation,Evolutionstrategy,Convergence,Continuousoptimization,Markovprocess雅焉.眦为仿.生算法建立坚实的数学基础进化算法主要研究如何利用生物学的理论,模拟自然界生物进化过程与机制,以求解优化问题,是一种仿生优化算法.进化策略(EvolutionStrategy,ES),进化规划(EvolutionProgramming,EP)与遗传算法(Gene
7、ticAlgorithm,GA)3者共同构成了进化计算的主要框架.与遗传算法主要用于求解离散的组合优化问题不同,进化策略主要用于求解搜索空间是连续的优化问题.它是由德国数学家I.Rechenberg和H.P.Sehwefel等在2O世纪6O年代提出的一种数值优化算法,目前在最优化,机器学习,工程技术,系统工程,人工智能等领域都有广泛的应用.相对于丰富的应用成果,对包含进化策略在内的仿生算法的数学基础,如收敛性,收敛速度,计算复进化策略所要求解的优化问题可以描述如下:给定非空集合s作为搜索空间,厂:R为目标函数,要找到至少一个全局极大值点zS,使得f一f(x)一mxeaXf(x)(1)本文所讨论
8、的优化问题都是形如式(1)的求解全局极大值的问题,经过适当的转换,可将求解全局极小值的问题转化为求解全局极大值的形式.当S为R中的子集Va,(*其中<,i一1,2,)时,所得到的优化问题通常称为连续参数优化问题.自20世纪9O年代以来,针对进化策略所做的理论研究到稿日期:20100819返修日期:20101214本文受国家自然科学基金(61070033,61003066),教育部博士点基金(20090172120035)和中央科研业务费专项资金(2009ZM0052)资助.张字山(197),男,博士生,讲师,主要研究方向为进化计算的理论基础,E-mail:scuthill163.corn
9、;郝志峰(1968一),男,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为代数学及其应用,组合优化,仿生算法的数学基础;黄翰(198O一),男,博士,硕士生导师,主要研究方向为进化计算方法的理论基础,进化计算方法的优化设计及其应用.?231?主要包括算法的收敛性以及算法的运行时间分析.Rudolph使用鞅论作为工具,给出了判断ES算法收敛于全局最优解的充分条件,但是要验证一个算法是否满足该充分条件颇为困难.JaegerskuepperE.研究了一种最简单的进化策略(1+1)ES在连续优化中的运行时间,他对(1+1)ES使用1/5一规则求解某类函数的极小值所需花费的平均运行时间进行了研究,指出只要算法的
10、参数满足一定的条件,就可求得其平均运行时间的有限上界,也就相当于给出了算法收敛的条件.但是在证明过程中用了不少假设,且只是针对某一类函数而言,显得不够一般化.谢承旺等E研究了多目标进化算法的选择策略,从理论上证明了具备一定特征的多目标进化算法的收敛性.阎岭,蒋静坪_7研究了两类带学习的进化策略,证明了其收敛性,这对讨论一般进化策略的收敛性有启发作用,该文还应进一步运用马尔科夫过程理论.对于标准遗传算法的马尔科夫链模型,目前的研究已经非常成熟了_8.但由于进化策略所面对的搜索空间与标准的遗传算法不同,前者是连续的,而后者是离散的,故很有必要进一步探讨连续状态下马尔科夫过程理论在进化算法的应用.本
11、文将利用离散时间连续状态马尔科夫过程理论讨论标准的二元进化策略(1+1)ES)的收敛性.2算法简介与建模二元进化策略简记为(1+1)ES,是一种最基本的进化策略.每一代种群只包含两个个体:一个称为父代个体;另一个称为子代个体,它由父代个体通过变异产生.然后从父代个体与子代个体中选择一个适应值较佳的个体作为下一代种群中的父代个体.(1+1)ES是一种采用精英选择机制的进化算法,适合求解高维连续优化问题.它的算法流程如下:1)随机生成初始个体岛一(-z.,.320z,320)作为父代.2)通过变异产生一个新的子代琅一&+,其中Zk,z,Nc.,一?.,忌一.,.3)如果f(rp)_厂(),
12、则令十-一,否则令5+1一&,并令忌一是+1.4)如果算法终止条件不满足,则返回到2).由算法流程可知下一代的适值总是不小于上一代的适值.为了研究问题的方便,不失一般性,假定个体是一维的,即搜索空间sEa,b3CR,a%b.令ES在第t(tO)代的个体为8ER,则8,t=0,1,2,是一个随机过程.从算法流程可以直观看出下一代个体的取值分布只与当前个体有关,即8,t=0,1,2,具有无后效性,也就是马尔科夫性.下面严格证明之.定理1与(1+1)ES相关联的随机过程8,t一0,1,2,是一个离散时间连续状态的时齐马尔科夫过程.证明:对VO,z,Y,X0,zER,讨论P(+1l岛一Lz,1
13、一l,岛=X0).情形1若-厂(z)>_厂(),VsE(一oo,由于下一代的适值不可能小于上一代的适值,故P(+I邑z,邑一一1,岛一勘)一OP(&+1l翕=)情形2若A一sl_厂(s),(),且x>y,则P(+ll&一,&一1一z一l,岛一动)?232?一P(&+ZnEAl靠一z,岛l一1,岛一0)一P(x+zEA)一f-【_dtJA/2一P(&+ll岛一)情形3若A一l-厂()_厂()中,且,则P(矗+1l邑一,岛一1一一l,岛一0)一P(毛+ZnEAl一-z,已1一Xn一】,-o一320)+P(f(邑+)<_厂(z);一z,邑一l
14、一1,32O)一P(x+EA)+P(f(x+)<_厂()一d+f:.d3A02ha3fIn<02aaP(岛+1l&一)综合上述情形,可得对V0,-z,Y,zo,-zER,有P(矗+1l一Iz,&一1一岛一1,岛=X0)P(&+1.),l已一)(2)且式(2)不依赖于时间参数,故8,一0,1,2,是一个离散时间连续状态的时齐马尔科夫过程.称F(x,)P(&+l矗一z)为该马氏过程的一步转移分布函数,F(,)P(钉I一)为步转移分布函数,总假定它们具有相应的概率密度函数,分别记为p(x,y)和P(z,).Rudolph在文献I-9中总结了马尔科夫链在进化
15、计算中的应用,重点放在较为简单的有限状态的情形,对于连续状态马尔科夫过程在进化计算中的应用则做了较为简略的介绍.为了应用连续状态马尔科夫过程理论研究(1+1)ES的收敛性,下面介绍一些有关的理论结果.3连续状态马尔科夫过程定义称由下式所定义的常数为转移密度p(x,)的Dobrushin常数:c(p)专Rlp(x,)一P(y,)Id引理1E若连续状态马氏过程&,n0具有满足下列条件的转移密度p(x,):p(x,)g()O(V37,)(3)那么此过程的Dobrushin常数c()1一l,g()dy.定义2c连续状态时齐马氏过程岛,0称为指数遍历的,如果分布函数F(),no,c>O,0
16、<r<1,使得对Vz,Y有:lP(j,l岛一)一F()lc(nno)定理2c若具有转移密度的连续状态时齐马氏过程a,O)的Dobrushin常数C(夕)<1,则此马氏过程指数遍历.在这些理论基础上,下面给出本文的主要定理及相关的推论.4与(1+1)ES关联的马氏过程的指数遍历性定理3若某个全局最优化问题满足下列条件:(1)搜索空间sEa,a<bER(2)最优解集合B一sES1,(s)=-厂为勒贝格非零测集.那么与(I+I)ES相关联的马尔科夫过程是指数遍历的.证明:为了讨论与(1+1)ES相关联的马氏过程8,一0,1,2,的指数遍历性,首先需要估计它的Dobrushin
17、常数C(夕).令B一sESl,(s)一,由条件(2)可知B的勒贝格测度(用(?)表示)不为零,即/2(B)>0,则对VO,S及VBorel可测集DCB,都有P(lDl&一z)一lP(,)dy一(y-x)2P(已+DI一)一JD1edY(4)由测度论的有关知识l_1l_可知,对于任意的XES,当yE1一二型!B时都有p(x,)e2a2.1一(y-x)21一鱼=取m一.infe一上_e>0,令g()一z?yES,2na2ha主,可得夕c,gcO(Vx,yES),-满足式(3).从而由引理1得到c(户)1一JRg(y)dy一1一JBmdy一1一m(B)<1(5)由式(5)以
18、及定理2,本定理立即得证.注:对于维搜索空间,b,其中a(bi,i一1,2,n,用类似的方法不难得到与上述相同的结论.定理4在定理3的条件下,(1+1)ES算法以概率1最终收敛到最优解.证明:根据定义2以及定理3,存在F()是某个随机变量的分布函数,使得对V,yES,有lP(l岛一)一咖()Ic一O,(一.),即P(毛l一)一(),(,r.).固定aB,则一limP(&l岛一z)一lim(,3,):F()一limP(&l岛一n)一lim(口,)从而有lim.P(&EBI&一z)一,l到B(,)一J()n叫J以及lim.P(&EBI&一口)一ooo
19、IB()一JBdF()+J即limP(&EBI一)一limP(&Bl一口)一1也就是说,不管算法的初始值是什么,最终找到问题的最优解的概率都是1,即(1+1)Es算法几乎必然能找到最优解.在理论及实际应用中,满足定理3条件(2)的函数并不多见,更多的是最优解为有限或可数个的情况,此时B一sESl,(s)一厂)的勒贝格测度为零.针对更一般的情形,下面的推论将给出在更弱条件下(1+1)ES的收敛性.推论1若对Ve>0,一xESJ,()f一s)满足(M)>0,则(1+1)ES算法以概率1最终收敛到.证明:构造一个新的目标函数F(x)=,三喜,显然Fc满足定理.的条件,由定
20、理4立即可知(1+1)ES算法以概率1最终收敛到M.只要e选取得足够小,即使目标函数的最大值点只有一个,在实际应用中都可认为算法收敛到最优解.5仿真实验测试函数为厂(Iz)一1O(2z+1)e一,其在区间O,1的曲线如图1所示.图1测试函数的图形此函数在区间O,1的最大值为5.1886,最大值点为X一0.1742.取一0.002,独立运行程序100次,结果发现算法收敛到集合的次数为98次,算法收敛所需平均迭代次数为103次.图2是其中某次实验的运行结果.图2算法的迭代求解过程从仿真实验的结果可以看出,只要目标函数满足推论1的条件,(1+1)ES在求解此类连续优化问题时就必然收敛,而且收敛速度相
21、当快.结束语二元进化策略(1+1)ES是一种用于求解连续优化问题的进化算法.它采用精英选择机制,确保每一代个体都不比上一代个体差,而且从每一代个体出发都有可能在下一代到达最优区域.直观上看,如此迭代下去它最终应该能收敛到最优解.本文将(1+1)ES纳入到连续状态马尔科夫过程的框架,证明与之相关联的马氏过程是指数遍历的,从理论上证明了(1+1)ES算法对于一类很广泛的连续优化问题必然能找到最优解.本文所用的方法可以推广到高维连续优化的情形.下一步的工作将是利用连续状态马氏过程的理论探讨算法的收敛速率,平均运行时日等更为深入且困难的问题.参考文献I-1徐宗本,陈志平,章祥荪.遗传算法基础理论研究的
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26、库中都一致的,而且属性值没有缺失,因此分类的正确率要高于在517条测试集上的实验结果.从5.3节中的实验结果也可看出,分类结果准确率最高的是FCLBN在置信度为0.8时的分类结果,正确率达到了72.65.而在5.4节的预测实验中,几种分类器的分类准确率都相对较低,这与517条实验测试集数据缺失有关系.但在这种情况下FCIBN的分类正确率仍能达到51.62,相对于Tan,Naive,Svm的44.32,38.2O,26.32来说,已经是大大领先了.同时,通过这个应用结果也可知,缺失数据下的贝叶斯网络学习也是十分重要的.结束语本文提出的FCIBN算法利用bootstrap抽样估计得到一些高置信度的
27、边,并用这些高置信度的边指导在原数据集上的贝叶斯网络学习.同时将搜索网络结构较好的启发式算法PACOB引入到贝叶斯网络的学习过程中,修改了文献2中单一使用HC+BS搜索算法导致的局部最优的情况,使边的特征置信更加准确,这也为在原数据集上的网络学习提供了更高的置信指导.在ALARM数据集上的贝叶斯网络学习实验和酵母菌细胞的蛋白质定位预测实验都已经验证:在小样本数据集下,采用置信指导学到的贝叶斯网络模型要比不采用置信指导学到的贝叶斯网络模型好.在小规模的完备数据集上,基于边特征置信指导FCLBN算法表现出了比较好的性能.那么不完备数据集下基于特征置信指导贝叶斯网络学习算法是否仍然如此,这将是下一步
28、工作的重要内容,未来工作就是要给FCLBN算法加上缺失数据处理.另外,置信度阈值的选择也是一个值得深入探讨的问题.123参考文献张连文,郭海鹏.贝叶斯网引论M.北京:科学出版社,2006FriedmanN,GoldszmidtM,WynerA.OntheapplicationofthebootstrapforcomputingconfidencemeasuresonfeaturesofinducedBayesiannetworksz.AI&STAT,1999LamW,BacchusFLearningBayesianBeliefNetworks:AnApproachBasedontheM
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