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1、十六、平衡状态临界和极值问题十六、平衡状态临界和极值问题 一选择题 1.（2019 全国高考猜题卷 6）如图所示，质量为 m10 kg 的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因 数 ，受到一个与水平方向成 角斜向上的拉力 F，为使木箱做匀速直线运动，拉力 F 的最小值以及 3 3 此时 分别是( ) A50 N 30 B50 N 60 C. N 30 D. N 60 200 3 200 3 【参考答案】A 【名师解析】 木箱受重力mg、 拉力F、 地面的支持力和滑动摩擦力作用， 根据平衡条件得Fcos Ff， Fsin FNmg， 又FfFN， 联立解得F， 其中tan mg cos sin
2、 mg 12sin ，60， 1 3 由数学知识知：当90，即30时F有最小值， 且最小值为Fmin N50 N， mg 12 3 3 10 10 1( 3 3) 2 故 A 正确，B、C、D 错误。 2. (2019 山东青岛联考)如图所示，质量为m的长方体物块放在水平放置的钢板C上，物块与钢板间的动 摩擦因数为，由于光滑固定导槽A、B的控制，该物块只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度v1向右匀 速运动， 同时用水平力F拉动物块使其以速度v2(v2的方向与v1的方向垂直， 沿y轴正方向)沿导槽匀速运动， 下列说法正确的是（ ） A若拉力F的方向在第一象限，则其大小一定大于mg B若拉力F的方向
3、在第二象限，则其大小可能小于mg C若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为mg v1 v12v22 D若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为mg v2 v12v22 【参考答案】.BD 【名师解析】工件有相对于钢板水平向左的速度 v1和沿导槽的速度 v2，故工件相对于钢板的速度如图所示， 滑动摩擦力方向与相对运动方向相反， 所以有 ： F=fcos=mgcos，因此F=mg0)由此可求出 ( ) A物块的质量 B斜面的倾角 C物块与斜面间的最大静摩擦力 D物块对斜面的正压力 【参考答案】：C 【名师解析】 考查静摩擦力的临界平衡问题当F为最大值时，此时F1mgsin
4、Ff ； 当F为最小值时，此时F2mgsinFf ；由可知能求出最大静摩擦力，但不能求出物块的质量、斜面的倾角，C 正确 5.(2017山东师大附中一模)如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在 水平天花板上，相距 2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的 最小值为( ) Amg B.mg C.mg D.mg 3 3 1 2 1 4 【参考答案】.C 【名师解析】：由题图可知，要使CD水平，各绳均应绷紧，则AC与水平方向的夹角为 60；结点C受力 平衡，受力分析如图所示，则CD绳的拉力FTmgtan 30mg；D点受绳子拉力大
5、小等于FT，方向向左 ； 3 3 要使CD水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1，及另一 分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为拉力的大小 ； 故最小力FFTsin 60mg。故选 C。 1 2 6. 如图所示,有黑、 白两条毛巾交替折叠地放在地面上,白毛巾的中部用细线与墙连接着,黑毛巾的中部用细 线拉住.设细线均水平,欲使黑、白毛巾分离开来,若每条毛巾的质量均为m、毛巾之间及其与地面之间的动 摩擦因数均为,则将黑毛巾匀速拉出需施加的水平拉力F值为 ( ) A. mg B. 4mg C. 5mg D. mg 【参考
6、答案】. C 【名师解析】 以黑毛巾为研究对象,其水平受力如图所示: 其中f1=mg,f2=mg,f3=mg,f4=2mg, 故F=f1+f2+f3+f4=5mg. 二计算题 1.(2018湖南株洲二中月考)一重为G的圆柱体工件放在 V 形槽中，槽顶角60，槽与工件接触处的 动摩擦因数处处相同且大小为0.25，则：(sin 370.6，cos 370.8) (1)要沿圆柱体的轴线方向(如图)水平地把工件从槽中拉出来，人要施加多大的拉力？ (2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成 37角，且保证圆柱体对 V 形槽两侧面的压力大小相 等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件和槽之间的摩擦
7、力大小 【名师解析】(1)分析圆柱体的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力，由题 给条件知，Ff.将重力进行分解如图 因为60，所以GF1F2， 由fF1F2，得F0.5G. (2)把整个装置倾斜，则圆柱体重力压紧斜面的分力： F1F2Gcos 370.8G，此时圆柱体和槽之间的摩擦力大小：f2F10.4G. 2(2018江西白鹭洲中学月考)一般教室门上都安装一种暗锁，这种暗锁由外壳A、骨架B、弹簧C(劲度 系数为k)、锁舌D(倾斜角45)、锁槽E以及连杆、锁头等部件组成，如图甲所示设锁舌D的侧面 与外壳A和锁槽E之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力Ffm由FfmFN(F
8、N为正压力)求得有一次放 学后，当某同学准备关门时，无论用多大的力，也不能将门关上(这种现象称为自锁)，此刻暗锁所处的状 态的俯视图如图乙所示，P为锁舌D与锁槽E之间的接触点，弹簧由于被压缩而缩短了x. (1)求自锁状态时D的下表面所受摩擦力的方向 (2)求此时(自锁时)锁舌D与锁槽E之间的正压力的大小 (3)无论用多大的力拉门，暗锁仍然能够保持自锁状态，则至少要多大？ 【参考答案】(1)向右 (2) (3)0.41 2kx 122 【名师解析】(1)设锁舌D下表面受到的静摩擦力为Ff1，则其方向向右 (2)设锁舌D受锁槽E的最大静摩擦力为Ff2，正压力为FN，下表面的正压力为F，弹力为kx，
9、如图所示， 由力的平衡条件可知： kxFf1Ff2cos 45FNsin 450 FFNcos 45Ff2sin 450 Ff1F Ff2FN 联立式解得正压力大小FN. 2kx 122 (3)令FN趋近于，则有 1220 解得10.41.2 3如图所示，原长分别为L1和L2，劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上两弹簧之间 有一质量为m1的物体A，最下端挂着质量为m2的另一物体B，整个装置处于静止状态 (1)这时两个弹簧的总长度为多大？ (2)若用一个质量为M的平板把下面的物体B竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原 长之和，求这时平板受到下面物体B的压力大小
10、.【参考答案】(1)L1L2 (2)m2g （m1m2）g k1 m2g k2 k2m1g k1k2 【名师解析】(1)劲度系数为k1的轻质弹簧受到向下的拉力为(m1m2)g，设它的伸长量为x1，根据胡克定 律有： (m1m2)gk1x1，解得x1（m 1m2）g k1 劲度系数为k2的轻质弹簧受到向下的拉力为m2g，设它的伸长量为x2，根据胡克定律有 m2gk2x2，解得x2m 2g k2 这时两个弹簧的总长度为 LL1L2x1x2L1L2. （m1m2）g k1 m2g k2 (2)根据题意， 下面的弹簧应被压缩x， 上面的弹簧被拉伸x， 以A为研究对象， 根据平衡条件有(k1k2)xm1
11、g， 解得x m1g k1k2 以B为研究对象，设平板对B的支持力为FN，根据平衡条件有： FNk2xm2gm2g k2m1g k1k2 故这时平板受到下面物体B的压力大小FNm2g. k2m1g k1k2 4.（10 分）三个重量均为 10N 的相同木块a、b、c和两个劲度均为 500N/m 的相同轻弹簧p、q用细线连接 如图，其中a放在光滑水平桌面上。开始时p弹簧处于原长，木块都处于静止。现用水平力缓慢地向左拉p 弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面为止。轻弹簧和细线的重量都忽略不计，求：该过程p弹簧的 左端向左移动的距离。 【名师解析】开始时q弹簧处于压缩状态，由胡克定律，G=kx1，
12、 解得q弹簧压缩了 x1=2cm。（2 分） c木块刚好离开水平地面时，轻弹簧q中拉力等于木块 c 的重力，为 Fq=10N， 由胡克定律，Fq=kx2， 解得轻弹簧q伸长 x2=2cm；（2 分） 把木块 b、c 看作整体，在c木块刚好离开水平地面时，ab 之间细线中拉力为 2G=20N。 对物块 a，由平衡条件可得轻弹簧p中拉力为 20N， 由胡克定律，Fp=kx3， 轻弹簧p伸长，x3=4cm；（2 分） 该过程p弹簧的左端向左移动的距离是 x= x1+ x2+x3=2cm+2cm+4cm=8cm.。（4 分） 【重点点拨】对于连接体，要分析各个部分、各个过程，注意弹簧是压缩还是拉伸。
13、5.（10 分）在现代汽车技术中，一般轿车都设置有“汽车悬架” 。麦弗逊式(Mcpherson)及烛式悬架都是将 螺旋弹簧和减振器有机组合，对缓冲冲击和消减冲击产生的振动全面考虑，大大提高了乘坐者的舒适性。 现在有一组合弹簧，一根大弹簧内套了一根小弹簧。大弹簧比小弹簧长 0.2m.为了测量弹簧的劲度系数，把 组合弹簧的一端平齐并竖直固定，另一端处于自由状态，如下图甲所示。当压缩此组合弹簧时，测得力与 压缩距离之间的关系图线如图乙所示。 （1）求大弹簧的劲度系数 k1和小弹簧的劲度系数 k2。 （2） 若取下小弹簧， 制作一个弹簧测力计， 则悬挂一包质量为 400g 食用盐， 则弹簧伸长多少？（
14、g 取 10m/s2） 【名师解析】 （1）由图乙可知，当用 2N 的压力压缩大弹簧时，大弹簧压缩 0.2m，由胡克定律，F1=k1x 可得 大弹簧的劲度系数 k1=10N/m。 （3 分） 用 5N 的压力压缩组合弹簧时，大弹簧压缩 0.3m，小弹簧压缩 0.1m， 由 F2=k1x1+k2x2 解得小弹簧的劲度系数 k2=20N/m。 （3 分） （2）小弹簧下悬挂一包质量为 400g 食用盐，弹簧弹力等于 F=mg=0.410N=4N。 由胡克定律，F=k2x 解得弹簧伸长：x=0.2m。 （4 分） 6. 质量为M的木楔倾角为 ( 0，与本题第(2)问不矛盾(不判断亦可)3 由几何关系知当 C 下落到地面时，A 向左移动的水平距离为 xR(2 分) 3 3 所以摩擦力的功 Wfx(2 分) mgR 3