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1、-1- 第第2课时课时 利用空间向量解决空间问题利用空间向量解决空间问题 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 填一填: (x1x2,y1y2,z1z2); (x1,y1,z1); |a|b|cos; p=xa+yb+zc; u1u2; un; n1n2; u1u2; un; n1n2; 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 一、夹角的计算 1.利用空间向量解决立体几何中夹角问题的一般步骤:(1)适当地 构建空间直角坐标系,求得所对应点的坐标;(2)用坐标表示空间向 量及其数量积;(3)代入空间向量夹角公式的坐标形式;(4)提炼共性, 转化为几何结论
2、. 2.利用向量求异面直线所成角的方法:利用向量的夹角公式计算 两直线的方向向量的夹角,再结合异面直线所成角的范围得到异面 直线所成的角. 3.利用向量求二面角的大小的方法:(1)转化为分别在二面角的两 个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意: 要特别关注两个向量的方向);(2)转化为求二面角的两个半平面的 法向量的夹角(或其补角). 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 4.利用向量求直线与平面所成角的方法:(1)作或找出直线与平面 所成角的平面角,再转化为这个平面角的两边对应的方向向量的夹 角来求角;(2)设直线与平面所成的角为,若直线的方向向量为a,平 面的法向量为n
3、,则有sin =|cos|. 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 二、距离的计算 1.求距离的一般方法和步骤:应用各种距离之间的转化关系和“平 行移动”的思想方法,把所求的距离转化为点点距、点线距或点面 距来求. 2.求点到平面的距离的方法有三种:(1)定义法:这是常规方法,首 先过点向平面作垂线,确定垂足的位置,然后将该线段放到一个直 角三角形中,最后通过解三角形求得点到平面的距离.(2)等体积法: 把点到平面的距离视为一个三棱锥的高,利用三棱锥转化底面求体 积,从而求得点到平面的距离.(3)向量法:这是我们常用的方法,利用 向量法求点到平面的距离的一般步骤为:求出该平面的一个法向 量;
4、找到从该点出发的平面的任意一条斜线段所对应的向量; 求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向 量的模,即可求得点到平面的距离. 课堂探究案课前预习案 知识网络要点梳理 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打 “”. (1)空间中任何两个向量都是共面向量. ( ) (2)若两个非零向量共线,则这两个向量的夹角为0.( ) (3)设a,b是两个非零向量,则abab=0. ( ) (4)当直线的方向向量a与平面的法向量n垂直时,该直线与平面垂 直. ( ) (5)设n1,n2为平面,的法向量,则n1与n2的夹角即为两平面的夹角. ( ) (6)直线l的
5、方向向量为u,平面的法向量为n,直线与平面所成的 角为,则sin =|cos|. ( ) 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题一 空间角 【例1】 如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为 1,2,AB=4. (1)证明:PQ平面ABCD; (2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值. 思维点拨:(1)连接AC,BD,且设ACBD=O,证明PO平面 ABCD,QO平面ABCD,再说明P,O,Q三点共线即可;(2)建立空间直 角坐标系,写出P,A,Q,B的坐标,再用 求角的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (1)证明:如图,连接AC,BD,设ACBD=O,
6、连接OP,OQ. P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥, PO平面ABCD,QO平面ABCD, 从而P,O,Q三点在一条直线上. PQ平面ABCD. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)解:由题设知,四边形ABCD是正方形, ACBD. 由(1)知,PQ平面ABCD,分别以CA,DB,QP所在直线为x,y,z轴建 立空间直角坐标系O-xyz, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟求异面直线间的夹角主要有定义法(平移法)和向量法 两种.定义法主要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中 位线;向量法就是在两条异面直线上取方向向量,将两条异面直线 的夹角与两个方向向量的夹
7、角联系在一起,但应注意两个方向向量 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练1如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯 形,ABDC,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点. (1)求证:平面PAD平面PCD; (2)求AC与PB的夹角的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:由题易知PAAD,PAAB,ADAB,以A为坐标原点,AD长为 单位长度建立如图所示的空间直角坐标系, APDC. 又由题设知ADDC, 且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线, 由此得DC平面PAD. 又DC 平面PCD, 故平面PAD平面PCD
8、. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 【例2】如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱 CC1上的一点,CP=m. (1)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1夹角的正切值为3 . (2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q在平 面APD1上的投影垂直于AP?并证明你的结论. 思维点拨:本题主要考查线面关系,直线与平面夹角的有关知识 及空间想象能力和推理运算能力,考查应用向量知识解决数学问题 的能力. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解法一连接AC,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,
9、0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)存在点Q满足题意,证明如下:设Q(x,1-x,1), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解法二(1)连接AC,设ACBD=O,AP与平面BDD1B1交于点G,连接 OG,如图所示.因为PC平面BDD1B1,平面BDD1B1平面APC=OG, 所以OGPC. 又O为AC的中点, 又AODB,AOBB1, 所以AO平面BDD1B1. 故AGO即为AP与平面BDD1B1的夹角. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)存在点
10、Q满足题意.证明如下:依题意,要在A1C1上找一点Q,使 得D1QAP,可推测A1C1的中点O1即为所求的点Q. 因为D1O1A1C1,D1O1AA1, 所以D1O1平面ACC1A1. 又AP 平面ACC1A1,故D1O1AP. 从而D1O1在平面AD1P上的投影与AP垂直. 故存在定点Q满足题意. 反思感悟直线与平面的夹角的求法: 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练2如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1底面 ABCD,ABDC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k0). (1)求证:CD平面ADD1A1; (2)若直线AA1与
11、平面AB1C的夹角的正弦值为 ,求k的值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (1)证明:如图,取CD的中点E,连接BE. ABDE,AB=DE=3k, 四边形ABED为平行四边形, BEAD,且BE=AD=4k. 在BCE中,BE=4k,CE=3k,BC=5k, BE2+CE2=BC2, BEC=90,即BECD. 又BEAD, CDAD. AA1平面ABCD,CD平面 ABCD, AA1CD. 又AA1AD=A,CD平面ADD1A1. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1), 课堂探究案课前预习案
12、 专题归纳高考体验 【例3】 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知 DC=DD1=2AD=2AB,ADDC,ABDC. (1)设E是DC的中点,求证:D1E平面A1BD; (2)求平面A1BD与平面C1BD夹角的余弦值. 思维点拨:(1)本题可用常规法和向量法两种方法求解.(2)用向量 法求平面间的夹角的大小时,应结合夹角的取值范围来判断求出的 是平面间的夹角,还是它的补角. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解法一(1)证明:如图,连接BE,则四边形DABE为正方形,所以 BE=AD=A1D1,且BEADA1D1,所以四边形A1D1EB为平行四边形, 所以D1EA1B.
13、又因为D1E平面A1BD,A1B 平面A1BD, 所以D1E平面A1BD. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系,不妨设DA=1, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 设m与n的夹角为,平面A1BD与平面C1BD的夹角为, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 立空间直角坐标系如解法一(2)中的图,设DA=a,由题意知 D(
14、0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a),D1(0,0,2a), E(0,a,0). 因为A1B 平面A1BD,D1E平面A1BD, 所以D1E平面A1BD. (2)取DB的中点F,DC1的中点M,连接A1F,FM. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 故A1FM为所求平面间夹角的平面角. 设平面A1BD与平面C1BD的夹角为, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟平面间夹角的求法: (1)求两个平面的法向量n1,n2; (2)两平面的夹角=或=-. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训
15、练3如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线 BD与平面AA1B1B的夹角为 ,AE垂直BD于点E,点F为A1B1的中点. (1)求异面直线AE与BF的夹角的余弦值; (2)求平面BDF与平面AA1B1B夹角的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在直线为x轴,AD所在直 线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图). 由已知AB=2,AA1=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1). 又AD平面AA1B1B, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)易知平面AA
16、1B1B的一个法向量m=(0,1,0), 设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 专题二 空间距离 【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中, (1)求点A到直线BD的距离; (2)求点A到平面BBDD的距离; (3)求直线AB到平面CDAB的距离. 解:以D为原点,DA,DC,DD分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的 空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1),A(1,0,1). 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验
17、 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (3)易知AB平面CDAB,即直线AB到平面CDAB的距离为点A 到平面CDAB的距离. 设平面CDAB的法向量为m=(x1,y1,z1), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 反思感悟空间距离的求法: 空间距离分为点线距、点面距、线面距、面面距,而线面距和面 面距通常转化为点面距求解. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 变式训练变式训练4已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方 形,PD平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点. (1)求点D到平面PEF的距离; (2)求直线AC到平面PEF的距离. 解:(1)建立
18、以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z 轴的空间直角坐标系,如图所示, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以ACEF. 因为AC平面PEF,EF 平面PEF, 所以AC平面PEF, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点一:空间向量及其运算 1.(2017课标高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直, 则m= . 解析:因为a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3). 因为a+b与a垂直, 所以(a+b)a=0,即-(m-1)+23=0
19、, 解得m=7. 答案:7 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 2.(2017课标高考)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= . 解析:ab,ab=(-2,3)(3,m)=-23+3m=0,解得m=2. 答案:2 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点二:利用空间向量求空间角 3.(2015四川高考)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在 的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异 面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为 . 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解析:以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x
20、,y,z轴的正半轴,建立 如图所示的空间直角坐标系. 设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则 E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0y2). 当t=0时,cos =0. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 4.(2017课标高考)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形 且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的 中点. (1)证明:直线CE平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角 M-AB-D的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解
21、:(1)取PA的中点F,连接EF,BF. 因为E是PD的中点, 又BF 平面PAB,CE平面PAB, 故CE平面PAB. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 5.(2017课标高考)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角 形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD. (1)证明:平面ACD平面ABC; (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相 等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:(1
22、)由题设可得,ABD CBD,从而AD=DC. 又ACD是直角三角形,所以ADC=90. 取AC的中点O,连接DO,BO,则DOAC,DO=AO. 又由于ABC是正三角形,故BOAC. 所以DOB为二面角D-AC-B的平面角. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2, 又AB=BD, 所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2, 故DOB=90. 所以平面ACD平面ABC. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 6.(2017天津高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面 ABC,BAC=90,点D,E,
23、N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD 的中点,PA=AC=4,AB=2. (1)求证:MN平面BDE; (2)求二面角C-EM-N的正弦值; (3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求 线段AH的长. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 向建立空间直角坐标系. 依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). 因为MN平面BDE, 所以MN平面BDE. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.
24、 设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量, 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 考点三:利用空间向量解决综合问题 7.(2016课标甲高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点 (1)证明:DH平面ABCD; (2)求平面ABD与平面ACD夹角的正弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 (1)证明:由已知得ACBD,AD=CD. 所以OH=1,DH=DH=3. 于是DH2+OH2=32+12=10=DO2, 故DHOH. 又DHEF,而OHEF=H, 所以DH平面ABCD. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 建立空间直角坐标系H-xyz. 则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D(0,0,3), 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 8.(2015课标高考)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是 平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面 ABCD,BE=2DF,AEEC. (1)证明:平面AEC平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 课堂探究案课前预习案 专题归纳高考体验 解:(1)连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB=1.