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1、-1- 习题课习题课空间向量在空间问题中的综合应用空间向量在空间问题中的综合应用 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1.利用空间向量求两点间距离 设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2.利用空间向量解决探索性问题 立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中
2、的热点题 型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无 比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化 思维程序,使解题思路直观明了. 空间中的探索性问题一般有以下两种类型: (1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或 未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类 问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件. (2)“存在型”,是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以 “是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在, 则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛 盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结
3、论不存在. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则 A,B两点的距离为 . XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的 是( ) A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解
4、惑 首页 解析:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 不妨设正方体的棱长为1,则有 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0, 0,1). 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做3】 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 的对角线BD1上,记 =,则当APC为钝角时,实数的取值范围 是 . XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIAN
5、CE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 解析:由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1), XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 利用空间向量求空间中两点间距离利用空间向量求空间中两点间距离 【例1】 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠, 使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D间的距离. 思维点拨:本题可利用向量法求解,两种思路,一种是用基向量表 示,另一种用坐标表示. X
6、INZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 解:(方法一)过点D和B分别作DEAC于E,BFAC于F. 则由已知条件可知AC=5, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 (方法二)过点D作DEAC于点E,过点B作BFAC于点F,过点E作 FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线分别为x轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIAN
7、CE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法 (1)坐标法:建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两 点距离公式求解. (2)向量分解法:将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式 |a|= 求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 变式训练变式训练1 如图,60的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半 平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度. 分析:本题
8、中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向 量分解的方法,利用公式|a|= 求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 利用空间向量解决空间中的探索性问题利用空间向量解决空间中的探索性问题 【例2】在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱 形,ABC=60,PA=AC=a,PB=PD= a,点E在PD上,且 PEED=21.在PC上是否存在一点F,使BF平面AE
9、C?并证明你 的结论. 思维点拨:首先假设存在,然后再根据BF平面AEC,结合线面平 行的条件进行推理. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 解:PA=AC=a,ABC=60,AB=AD=a. 又PB=PD= a,PAAB,PAAD,PA平面ABCD.如图, 以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,过点A垂直于平面 PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规
10、范解答 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 反思感悟解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学对 象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前 提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结 论.其中反证法在解题中起着重要的作用. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 变式训练变式训练2如图,在五面体ABCDEF中,FA平面 ABCD,ADBCFE,ABAD,AF
11、=AB=BC=FE= AD. (1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值. (2)在线段CE上是否存在点M,使得直线AM与平面CDE所成角的 正弦值为 ?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=1,则 B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),F(0,0,1),E(0,1,1). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探
12、究一探究二规范解答 (2)设平面CDE的法向量为n=(x,y,z), XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 利用空间向量解决空间的综合问题 【典例】如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中 点,AA1=AC=CB= AB. (1)证明:BC1平面A1CD. (2)求平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值. 审题策略第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立 直角坐标系,利用向量方法进行求解. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测
13、 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 【规范展示】 (1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF, 则F为AC1的中点. 又因为D是AB的中点,所以DFBC1. 又因为DF 平面A1CD,BC1平面A1CD, 故BC1平面A1CD. 所以ACBC. 又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,故可建立如图所示的空间直角坐 标系. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探
14、究一探究二规范解答 答题模板 第1步:证明线线平行 第2步:证得线面平行 第3步:建立空间直角坐标系 第4步:设点,求出向量坐标 第5步:用待定系数法求法向量坐标 第6步:利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值,进而 求得正弦值. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 失误警示通过阅卷统计分析,失分主要出现在第(2)问,造成失分 的原因是: (1)不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能恰当 地建立空间直角坐标系. (2)不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标. (3)待定系数法求
15、法向量的方法与步骤不熟练,导致法向量坐标求 错. (4)不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面 夹角的正弦值. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 变式训练变式训练如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD 所在平面互相垂直,ABCD,ADCD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为 EC和BD的中点. (1)求证:BC平面BDE; (2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值. (1)证明:在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH, 因为AD=AB,ABCD,AD
16、CD, 所以四边形ADHB为正方形. 又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2, 所以CD2=BD2+BC2,所以BCBD. 又平面ADEF平面ABCD,平面ADEF平面ABCD=AD,DEAD, 所以DE平面ABCD, 所以BCDE.又BDDE=D,故BC平面BDE. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二规范解答 (2)解:由(1)知CD平面ABCD,ADCD, 所以DE,DA,DC两两垂直. 以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANG
17、TANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到 其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是( ) A.7B.8C.9D.10 解析:以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直 角坐标系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= =7. 答案:A XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为 2,O
18、A,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( ) A.OA,OB,OC的长度可以不相等 B.直线OB平面ACD C.直线OD与BC所成的角是45 D.直线AD与OB所成的角是45 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 解析:三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以 OA=OB=OC= ,排除A;如图,建立空间直角坐标系. 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.如图,在
19、直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰三 角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE平 面B1DE,则AE= . XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 解析:建立如图所示的空间直角坐标系, 解得z=a或z=2a,即AE=a或AE=2a. 答案:a或2a XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1. 求证:(1)AD
20、1平面BDC1; (2)A1C平面BDC1. 证明:以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1, 则有D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1), 令x=1,则n=(1,-1,1). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 5.导学号90074049如
21、图,在几何体ABCDE中,正方形ABCD的边长为 2,AE平面CDE,AE=1. (1)求证:平面ABCD平面ADE; (2)设点F是棱BC上一点,若平面ADE与平面DEF的夹角的余弦值为 解:(1)AE平面CDE,AECD. 又ADCD,AEAD=A,CD平面ADE. 又CD 平面ABCD,平面ABCD平面ADE. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 (2)AE平面CDE, 由(1),知CDDE,以D为坐标原点,DE,DC所在的直线分别为x轴、y 轴,以过点D且垂直于平面CDE的直线为z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系D-xyz, n=(0,-2)为平面FDE的一个法向量. 又平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0),