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1、-1- 第一章 推理与证明 -2- 1 归纳与类比归纳与类比 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1.归纳推理 (1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物 中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理. (2)特征:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利 用归纳推理得出的结论不一定是正确的. (3)归纳推理的一般步骤 归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推
2、广猜测一 般性结论. 该过程包括两个步骤: 通过观察个别对象发现某些相同性质; 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨归纳推理的特点 (1)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,归纳所得的结论是尚 属未知的一般的现象,该结论超越了前提所界定的范围. (2)归纳推理所得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需 要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的依据. (3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的 一般性结论也就越可靠.
3、(4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新 事实,获得新结论,是科学发现的重要手段. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 数列5,9,17,33,x,中的x等于( ) A.47 B.65C.63 D.128 解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65. 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2.类比推理 (1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在
4、此基础上,根 据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征, 我们把这种推理过程称为类比推理. (2)特征:类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊 的过程. (3)类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新 的结论. 该过程包括两个步骤: 找出两类对象之间的相似或一致的特征; 用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的类似特征,得出一 个明确的命题(猜想). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正
5、在被研究 的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (2)类比推理的前提是两类对象之间具有某些清楚定义的类似特 征,所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特 征. (3)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质 之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平 行”的性质,可得出空间内的下列结论( ) 垂直于同一个平面的两条直线互相平行; 垂直于同一条直线的两条直线互相平行; 垂直于同一
6、条直线的两个平面互相平行. A.B.C.D. 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 3.合情推理 (1)定义:合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果 的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理的一般步骤 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做3】 判断下列推理,哪些是合情推理,哪些不是合情推理. (1)若ab,bc,则ac; (2
7、)若ab,bc,则ac; (3)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,得到1+3+(2n- 1)=n2; (4)今天是星期日,七天之后也是星期日. 解:(3)(4)是合情推理,(1)(2)不是合情推理. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)合情推理就是正确的推理. ( ) (2)由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质是类比推理. ( ) (3)某校高二有20个班,1班有51名团员,2班有53名团员,3班有
8、52名 团员,由此推测各班都超过50名团员是归纳推理. ( ) (4)已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,则该数列的第k项 是ak+ak+1+a2k. ( ) (5)任何问题都可用归纳推理来推测结论. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 用归纳推理解决数列问题用归纳推理解决数列问题 【例1】 已知正项数列an满足Sn= ,求出a1,a2,a3,a4,并 推测正项数列an的通项公式. 分析:分别令n=1,2,3,4,利用Sn与an的关系式,先求出a1
9、,a2,a3,a4的值, 再观察分析,进行归纳猜测. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 反思感悟解决此类问题的关键是根据前几项发现项与序号的一 一对应关系,归纳出数列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推 理中,根据同一个前提,可以归纳出不同的结论. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJ
10、IEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练变式训练1已知f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x)(n1,且 nN+),则f3(x)的表达式为 ,猜想fn(x)(nN+)的表达式为 . 解析:先由f1(x)的表达式,根据f2(x)=f1(f1(x)求f2(x)的表达式,再由 f3(x)=f2(f2(x)求f3(x)的表达式,最后猜想fn(x)的表达式. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 归纳推理在几何中的应用归纳推理在几何
11、中的应用 【例2】 设平面内有n(n3)条直线,其中有且仅有两条直线相互 平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个 数,则f(4)= ;当n4时,f(n)= (用含n的数学表达式表示). 解析:最初的三条直线产生两个交点,即f(3)=2.每增加1条直线,与 前面的每条直线产生1个交点,则新增加的第n条直线,与前面的(n-1) 条直线产生(n-1)个交点,即f(n)-f(n-1)=n-1. 由图知f(4)=5. 当n4时,f(n)-f(n-1)=n-1, f(n-1)-f(n-2)=n-2, f(4)-f(3)=3. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJ
12、IANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 反思感悟在几何中,随着点、线、面等元素的增加,探究相应的 线段、交点、区域等数量的增加问题常用归纳推理解决,寻找递推 关系是解决该类问题的关键. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练变式训练2在平面内观察凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条 对角线,凸六边形有9条对角线由此猜想凸n(n4)边形有多少 条对角线? 解:凸四边形有2条对角线, 凸五边形有5条对角线,比凸四边形的对角线多3
13、条, 凸六边形有9条对角线,比凸五边形的对角线多4条, 于是猜想凸n边形的对角线比凸(n-1)边形的对角线多(n-2)条,由 此猜想凸n边形的对角线条数为2+3+4+5+(n-2)= n(n- 3)(n4). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 归纳推理在数阵问题的应用归纳推理在数阵问题的应用 【例3】 根据给出的数塔猜测123 4569+7等于( ) 19+2=11 129+3=111 1239+4=1 111 1 2349+5=11 111 12 3459+6=111 111 A
14、.1 111 110B.1 111 111 C.1 111 112D.1 111 113 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 解析:由19+2=11, 129+3=111, 1239+4=1 111, 1 2349+5=11 111, 归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数与等式左边的第 二个加数相同,所以123 4569+7=1 111 111. 答案:B 反思感悟解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下: (1)明确各行、各列数的大小; (2)分别归纳各行、各列中相
15、邻两个数的大小关系; (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练变式训练3观察下列式子: 则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为 . XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 类比推理类比推理 【例4】 已知O是ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对 边于点A,B,C,则 =1,这是一道平面几何题,其证明常 采用“面
16、积法”. 请运用类比思想,说出对于空间中的四面体A-BCD存在什么类似 的结论?并证明. 分析:解答本题可以把平面几何的元素类比到空间中,通常是面 积对应体积. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 解:在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分 别交四个面于点E,F,G,H. 证明如下:在四面体O-BCD与A-BCD中, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四
17、思维辨析 反思感悟平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列 表如下: XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练变式训练4在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们 的面积比为14,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 12,则它们的体积比为 . 解析:一方面,可以由边长与面积、棱长与体积的关系得到体积 之比为1323=18. 另一方面,可以通过具体的计算,不妨设两个正四面体的棱长分 别为a和2a,则可求得它们的体积分别为 a3和 a3,所以它们的 体积之比为1
18、8. 答案:18 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 因归纳不全面而致误 易错分析:本题易犯的错误是只照顾到了不等式中左边的项数及 右边的规律,而没有把握深层次的规律,即x的系数之和为1. 解析:由已知可以再写出几个式子. 答案:nn 纠错心得归纳推理时,要注意对结构形式细致观察,并且尽量多 归纳几个,必要的时候对特殊情况进行检验. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式
19、训练变式训练观察下列等式: 1=1, 13=1, 1+2=3,13+23=9, 1+2+3=6,13+23+33=36, 1+2+3+4=10,13+23+33+43=100, 1+2+3+4+5=15,13+23+33+43+53=225. 可以推测:13+23+33+n3= (nN+,用含有n的代数 式表示). XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三探究四思维辨析 解析:由题意得第二列等式的右端分别是12,32,62,102,152,第一列 等式的右端分别是1,3,6,10,15,可知第二列等式右
20、端等于相应的第 一列等式右端的平方. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.数列2,5,11,20,x,47,中的x等于( ) A.28B.32C.33 D.27 解析:由所给数列的前四项可知,从第2项起,每一项与前一项的差构 成以3为公差的等差数列,第2项与第1项的差为3,第3项与第2项的 差为6,第4项与第3项的差为9,所以第5项x与第4项20的差应为12,即 x-20=12,所以x=32. 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIE
21、HUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S= ,可 推知扇形面积公式S扇等于( ) 解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得S= lr. 答案:C XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 3.下面几种推理是类比推理的是( ) A.因为三角形的内角和是180(3-2),四边形的内角和是 180(4-2),所以n边形的内角和是180(n-2) B.由平面内平行四边形的性质,推测空间中平行六面体的性质 C.由a1=1,an=3n-1,求出S
22、1,S2,S3,猜想出数列an的前n项和Sn的表达 式 D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除 解析:A项为归纳推理,B项为类比推理,C项为归纳推理,D项为归纳 推理. 答案:B XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.观察下列各等式 (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 照此规律,第n个等式为 . 解析:由所给等式可知,左边为n个式子相乘,从(n+1)到(n+n),右边第 1个数为2n,后边是从1开始的连续n个奇数相乘,故第n个等式应为 (n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1). 答案:(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1)