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1、-1- 3 反证法反证法 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1.反证法的定义 (1)先假定命题结论的反面成立,在这个前提下,若推出的结果与 定义、公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假 定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的 结论成立,这种证明方法叫作反证法. (2)反证法是一种间接证明的方法. 2.反证法的证明步骤 (1)作出否定结论的假设; (2)进行推理,导出矛盾
2、; (3)否定假设,肯定结论. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 名师点拨使用反证法证明数学问题的注意事项 (1)用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论 正确.否定结论时,对结论的反面出现的多种可能,要一一否定,不能 遗漏,缺少任何一种可能,证明都是不完整的. (2)反证法必须从否定的结论出发进行推理,且必须根据这一条件 进行论证.仅否定结论,不从结论的反面出发进行的论证不是反证 法.故反证法也叫归谬法. (3)用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾, 这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或
3、与假设矛盾,或与公理、定理、 定义,或是已证明了的结论矛盾,或是与公认的简单事实矛盾,但推 出的矛盾必须是明显的. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做1】 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不 大于60”时,假设正确的是( ) A.假设三个内角都不大于60 B.假设三个内角都大于60 C.假设三个内角至多有一个大于60 D.假设三个内角至多有两个大于60 解析:根据反证法的定义,假设应使命题的反面成立,而“三角形的 内角中至少有一个不大于60”的反面是“三个内角都大于60”. 答案:B XINZHI
4、DAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 【做一做2】 已知x,y是正实数,且x+y2, x0,y0,1+x2y且1+y2x. 两式相加得2+x+y2x+2y, x+y2,这与已知条件x+y2矛盾. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)反证法是一种间接证明方法,否定结论时,一定要全面否定. ( ) (2)反证法推出的矛盾不能是与已知矛盾. ( ) (3)使用反证法必须先否定结
5、论,当结论的反面出现多种可能时, 论证一种即可. ( ) XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 用反证法证明否定性命题用反证法证明否定性命题 【例1】 已知三个正数a,b,c成等比数列,但不成等差数列,求证: 不成等差数列. 分析:因为结论中含有否定词,因此可以考虑用反证法,解答本题 时可从假设 成等差数列入手证明,进而推出矛盾. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 反思感悟1.对于结论中含有“不”
6、“不是”“不可能”“不存在”等词语 的命题,此类命题的反面比较具体,适合用反证法证明. 2.在证明否定性命题时,先通过假设原命题的反面成立,将原来的 否定性命题转化为肯定性命题,再利用所学知识,找出矛盾,从而说 明假设不成立,命题得证. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练1如果非零实数a,b,c两两不相等,且2b=a+c, 求证: 不成立. 即(a-c)2=0,a=c. 这与a,b,c两两不相等矛盾, XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测
7、DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 用反证法证明用反证法证明“至多至多”“至少至少”命题命题 求证:a,b,c中至少有一个大于0. 分析:因为直接从条件推证,方向不明确,过程不可推测,所以可以 采用反证法. 证明:假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0, 则a+b+c0. =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-30, 这与a+b+c0相矛盾, a,b,c中至少有一个大于0. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析
8、 反思感悟1.对于结论中含有“至多”“至少”等词语的命题,若直接 从条件推证,则解题方向不明确,过程不可推测,不易证明,故可以考 虑用反证法证明. 2.常见的“结论词”与“反设词”如下表所示: XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练2证明关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a- 1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a- 或a-1时,至少有一个方程有实数 根. 证明:假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零, 至少有一个方程有实数根. XINZHIDAOXUE
9、 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 否定结论不全面而致误 【典例】 已知a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一 个小于等于 . 易错分析:本题结论中含有“至少有一个”,适合用反证法. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 纠错心得用反证法证题时,如果
10、要证明的结论反面情况只有一种, 那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则 必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二思维辨析 变式训练变式训练求证:两条相交直线有且只有一个交点. 证明:假设结论不成立,即有两种可能:无交点或至少有两个交点. 设两条直线为a,b. (1)若a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾; (2)若a,b至少有两个交点A和B,这样同时经过A,B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. 综上所述,
11、两条相交直线有且只有一个交点. XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为 ( ) A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2.命题“关于x的方程ax+b=0(a0)有唯一解”的结论的否定是( ) A.无解B.有两解 C.至
12、少有两解 D.无解或至少有两解 解析:命题的否定是否定命题的结论,“有唯一解”的否定是“至少有 两解或无解”. 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 A.都大于2B.至少有一个大于2 C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 答案:D XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 4.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab0,则xa且xb”时应假设为 . 解析:p且q的否定为非p或非q. 答案:x=a或x=b