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1、1.3 函数的基本性质,1.3.1 单调性与最大(小)值,1.观察函数yx2的图象可见，当x0时，图象是上升的，称此函数在0，)上为增函数，当x0时，图象是下降的，称此函数在(，0上为 函数 2.一般地，设f(x)的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 那么就说f(x)在这个区间D上为减函数,减,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),如果函数yf(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在
2、区间D上具有 区间D叫做函数f(x)的单调区间 (1)如图，已知函数yf(x)，yg(x)的图象(包括端点)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数,单调性,解析 函数f(x)的单调区间有2，1，1，0，0,1，1,2,在区间2，1，0,1上是减函数 在区间1,0，1,2上是增函数 函数g(x)的单调区间有3，1.5，1.5，1.5，1.5,3 在区间3，1.5，1.5,3上是减函数，在区间1.5,1.5上是增函数,(2)我们已知反比例函数y 的图象如图，它在区间(，0)和(0，)都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？,解析 不能显然x11，x21时，
3、满足x1y2不成立 3用单调性定义证明： (1)f(x)2x1在R上为增函数 (2)f(x) 在(，0)上为减函数 并概括用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1、x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)(2x11)(2x21)2(x1x2)0， f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数,本节重点：函数单调性的概念及证明 本节难点：用定义证明函数的单调性和求函数的单调区间,1函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间但必须注意，对于在某些点上不连续的函数
4、，单调区间不包括不连续点 2若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减,例1 据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间,解析 由图象(1)知此函数的增区间为(，2，4，)，减区间为2,4 由图象(2)知，此函数的增区间为(，1、1，)，减区间为1,0)、(0,1.,例2 求证函数f(x)x31在(，)上是减函数 分析 通过对f(x1)f(x2)符号的判定而得结论,例3 已知yf(x)与yg(x)在区间A上均为增函数，判断下列函数在区间A上的增减性 (1)y2f(x) (2)yf(x)g(x) 分析 利用函数单调性的定义判断 解析 (
5、1)对任意x1，x2A，设x1x2， f(x)为增函数，f(x1)f(x2)0 2f(x2)2f(x1)2f(x1)2f(x2) 2f(x1)f(x2)0 2f(x2)2f(x1)，y2f(x)是减函数,(2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1x2， yf(x)，yg(x)为增函数 f(x2)f(x1)0 g(x2)g(x1)0 f(x2)g(x2)f(x1)g(x1) f(x2)f(x1)g(x2)g(x1)0 f(x2)g(x2)f(x1)g(x1) yf(x)g(x)是增函数,分析 由定义作差f(x1)f(x2)，通过a的不同取值对差的符号的影响进行讨论,已知函数f(x)x2(3a1
6、)x12a在区间(，4上是增函数，求实数a的取值范围 分析 二次函数的二次项系数小于0，其图象开口向下，因而只要区间(，4在对称轴的左侧，即可满足题设要求,点评 解决此类问题，首先搞清二次项系数的正负，确定开口方向，然后，考虑单调区间应在对称轴左侧还是右侧,*例5 画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间 分析 函数解析式中含有绝对值号，因而需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然后，逐段画图根据图象指出单调区间,解析 yx22|x|3 函数图象如图所示 函数在(，1，0,1上是增函数； 函数在1,0，1，)上是减函数 所以函数的单调增区间是(，1和0,1，单调减区间是1,0和1，),
7、画出下列函数的图象，并指出它们的单调区间： (1)y|x|1； (2)y|x21|. 解析 (1)如图(1)，函数的单调减区间是(，0，单调增区间是0，),函数的图象如图(2)所示 函数y|x21|在(，1，0,1上都是减函数，在1,0，1，)上都是增函数,例6 若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，则实数a的取值范围是_ 错解 函数f(x)图象的对称轴为x1a，由于函数在区间(，4上单调递减，因此1a4，即a3. 辨析 函数f(x)在区间A上单调减和函数f(x)的单调减区间是A不同 正解 因为函数的单调递减区间为(，4，所以有1a4，即a3.,答案 B 解析 f(x)(3a
8、1)xb为增函数，应满足3a10，即a ，故选B.,2已知函数f(x)82xx2，那么下列结论正确的是 ( ) Af(x)在(，1上是减函数 Bf(x)在(，1上是增函数 Cf(x)在1，)上是减函数 Df(x)在1，)上是增函数 答案 B 解析 由二次函数f(x)82xx2(x1)29的图象知B对，故选B.,3函数f(x)在区间(2,3)上是增函数，则yf(x5)的一个递增区间是 ( ) A(3,8) B(7，2) C(2，3) D(0,5) 答案 B 解析 由2x53得7x2，选B. 点评 yf(x5)可看作函数yf(x)的图象向左平移5个单位得到的故选B.,4函数f(x)|xa|在(，2上单调递减，则a的取值范围是 ( ) Aa2 Ba1 Ca2 Da1 答案 A 解析 f(x)|xa|的图象是以(a,0)为折点的折线，由图知a2.,6若函数y2x2mx3在1，)上为减函数，则m的取值范围是_ 答案 m4,