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1、普陀二中 张 杰,一.问题的由来,来自对一道题的深层次思考,人教版八下四边形教师用书的拓展性问题中的一道题：,例1：在直角梯形ABCD中，BC=CD=4, 点E是DC边上的点，ABE=450 ， 若AE=3，则ABE的面积= 。,解题思路：,F,G,二.对问题的深层思考,完成这个结论后，我提出了这样一个问题：求CE 的长。,F,G,x,x,4-x,1+x,设CE=x，那么 FG= CE = x, DE=4-x, AF=3-x , DA=4-(3-x)=x+1, 由勾股定理得：（4-x)2+(x+1)2=32 化简得： x2-3x+4=0 说明此方程无解。 即：这道题是一个错题。,三.原因在哪里
2、？,在查找原因之前，请大家再思考一道题。 这是2004年信利杯全国初中数学竞赛 填空题的第9题,F,G,x,x,12-x,2+x,例2：如图所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D=900， BC=CD=12，ABE=450，若AE=10， 则CE的长度为 。,10-x,这两道题的实质是一样的。,用相同的方法可得： （2+x)2+(12-x)2=102 X2-10x+24=0 x=4,x=6,四.原因探究,原因在于由勾股定理得到的一元二次方程的解的问题。（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根。 之所以会出现以上三种情形， 真正的关键：是与正方形边长BC和
3、线段AE的长度问题有关。 即AE与BC的比的问题。,五.新试题的编制,如图所示，在梯形ABCD中，ADBC（BCAD），D=900，BC=CD=a，ABE=450，若AE=b，则求 b : a 的取值范围。,F,G,x,x,a-x,a-b+x,b-x,运用以上的解题思路，可得： （1）CDE 的周长=2a,即为正方形周长的一半。从而说明： 。,（2）（a-x)2+(a-b+x)2=b2,整理得：x2-bx+a2-ab=0,=b2-4(a2-ab) 0,六.问题的拓展,E,F为正方形ABCD 边BC和CD上的点，则下列命题是等价的。,（1） EAF=450 （2）CEF 的周长等于正方形ABCD周 长 的一半 （3）S正方形ABCD ：S EAF = 2 AB :EF (4)若AGEF ，则 AG=AD （5）EF=BE+DF,谢 谢 大 家！,