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1、位移 应变张量 应变与位移的关系 体积应变 刚体转动 应变分量的坐标转换 主应变 不变量 应变张量的分解,第2章 应变,u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz,位 移,应变,考察物体内任意一微小线段 长度的相对改变 正（线）应变 方向的相对改变 剪（角）应变,应变张量,三个方向线元的应变决定该点的应变状态 取与坐标轴相平行的三个方向,对称张量 张量的剪切应变分量 实际的剪切应变,应变与位移的关系（几何方程）,OA和OB两线元的长度分别为OA=dx，OB=dy。 设O点的位移是u(x，y)和v(x，y)， A点的位移是u(x+dx，y
2、)、v(x+dx，y)， B点的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。,，,，,根据定义，导出xy平面内的应变分量 考虑小变形假定 其他应变分量,几何方程张量表示 位移梯度 应变张量是位移梯度的对称化,体积应变,变形前的体积是 V0=dxdydz 变形后的体积是 体积应变,(1+x+y+z)dxdydz,x+y+z,刚体转动,A点位移是： u(x、y、z)，v(x、y、z)，w(x、y、z)， B点位移是： u=u(x+dx、y+dy、z+dz) v=v(x+dx、y+dy、z+dz) w=w(x+dx、y+dy、z+dz),Taylor级数将B点位移相对A点展开,矩阵表示,转动矢量
3、xexyeyzez 刚体转动：以方向的直线为转轴，且转角为,变形分解 （1）随A点平动； AB AB （2）相对A点刚体转动； AB AB （3）纯变形。 AB AB。,应变分量的坐标变换、主应变、不变量,将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换， 例如求主应变的特征方程,(x)l+ xym+ xzn0 yxl+(y)m+ yzn0 zxl+ zym+(z)n0,应变张量的分解,球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变； 偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变,变形协调方程,问题 根据几何方程去求位移分量，多组位移解 表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。 因此，6个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系， 位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是,必要性证明 充分性证明,，,，,u单值的条件是积分与路径无关，即du为全微分,位移的导数A、B、C单值就要求x、y、z必须单值 ,关于大变形,应变定义无限多种 但应满足两个条件 （1）物体只产生刚体位移是零 （2）在小变形时，与小变形的应变定义一致,已知三个主方向，及三个主伸长1， 2 ，3,