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1、第二章 随机变量及其分布,2.1 一维随机变量,一、随机变量的概念,2=w1,w2,w6；,例1 抛掷一颗骰子，观察出现的点数；,wi=出现i点,= X=X(),引例,例2 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. 记1= “正面朝上”， 2=“反面朝上”.,X也是定义在=1，2上的函数，是随机变量.,= t | 0t，,例3 从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；,t为灯泡寿命；,定义 设随机试验E的样本空间为，如果对于每 一个，都有唯一的一个实数X()与之对应， 对任意实数x , X() x有确定的概率，则称X() 为随机变量，通常用大写字母X，Y，Z表示，或用小写希腊字母,表示. 注意： 1.
2、 X是定义在上的实值、单值函数. 2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率， 所以随机变量X的取值也有一定的概率. 3. 随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不知确定取什么值.,一、随机变量的定义,随机变量按其可能取的值，区分为两大类: 一类叫离散型随机变量, 其特征是只能取有限或可列个值在例1和例2中，随机变量为离散型随机变量 另一类是非离散型随机变量.在非离散型随机变量中，通常只关心连续型随机变量，它的全部可能取值不仅是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间在例3中，随机变量则为连续型随机变量 确实存在既非离散型也非连续型的随机变量.本教材只介绍离散型和
3、连续型的随机变量.,在灯泡寿命试验中， 灯泡的寿命不低于1000小时 可用随机变量X表示为X1000 例2 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 记1= “正面朝上”， 2=“反面朝上”. 在投硬币试验中， 正面朝上可以表示为 X=1,用随机变量表示随机事件:,一般地：X=k ，X a ，aXb表示一个随机事件.,2.2 离散型随机变量,如果随机变量的所有可能取值为有限个或无 限可列个，这样的随机变量称为离散型随机变量,P X = xi = pi （i = 1, 2, ）,则称之为离散型随机变量X的分布列（律），或称作离 散型随机变量的密度函数.,定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x
4、1 , x2 , , xn , X取各个值的概率，即事件X=xi的概率为,一、离散型随机变量的分布律,（1）非负性： pi 0 （i=1,2，）,（2）规范性：,且满足两条性质：,P X = xi = pi （i = 1, 2, ）,亦可用下面的概率分布表来表示,则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列（律）。,定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , , xn , X取各个值的概率，即事件X=xi的概率为,一、离散型随机变量的分布律,（1）非负性： pi 0 （i=1,2，）,（2）规范性：,例1 判别下列是否为随机变量X的概率分布为：,分布列具有如下性质：,例2 已知
5、随机变量X的概率分布为：,求常数a.,解 由概率分布的性质得,得 15a = 1, 即,（1）非负性： pi 0 （i=1,2，）,（2）规范性：,分布列具有如下性质：,1. 两点分布（0-1分布）,二、几种常见的离散型随机变量的概率分布,则称 X 服从两点分布（0-1分布） （p为参数 ）.,X的分布率为,例3 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他投篮一次命中的次数，求X的概率分布,解 用X=1表示“投篮一次命中”，X=0表示“投篮一次没命中”，则,PX=0=10.8=0.2. 即X的概率分布为,PX=1=0.8,2. 二项分布,则称 X 服从参数为 n，p的二项分布，记作,在伯努利
6、试验中，事件A在一次试验中发生的概率为,P，则在n次试验中A发生的次数X是一个随机变量，且,特别当 n=1时，二项分布为,即为0-1分布.,例4 某人射击的命中率为0.02，独立射击400次，求 击中目标的次数不小于2的概率.,解 设表示射击400次击中目标的次数，则,其分布率为,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP(),3. 泊松分布,（k =0，1，2，）,定义 如果随机变量X的概率分布为,当n很大（n10）p很小（p0.1）时，令np,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP(),3. 泊松分布,（k =0，1，2，）,定义 如果随机变量X的概率分布为,当n较大时
7、，n重贝努里试验中小概率事件出现的次数近似服从泊松分布.,例4 某人射击的命中率为0.02，独立射击400次，求 击中目标的次数不小于2的概率.,解 设表示射击400次击中目标的次数，则,4. 几何分布,若随机变量X的分布律为,则称X服从参数为p的几何分布，记作 XG(p),( k=1，2，；0p1),在一个伯努利试验中，若X表示事件A首次发生所需要的次数，,则X服从参数为p的几何分布.,例7 某射手射击命中率为 p=0.8，现进行射击试验，直到命中为止，假设每次射击是相互独立的，求射击次数X的概率分布.,解 X G(0.8) ，其概率分布为,PX=k=(0.2)k-1 0.8, k=1, 2
8、, ,在一个伯努利试验中，若X表示事件A首次发生所需要的次数，,XG(p),则X服从参数为p的几何分布.,2.3 随机变量的分布函数,设为随机变量，对于任意实数x，称函数,F(x)=P x ( - x + ),为随机变量的分布函数.,一、分布函数的定义,F(x)=P x ( - x + ),例1 已知随机变量的分布见下表，求分布函数， 并作出其图形.,例1已知随机变量的分布见下表，求分布函数， 并作出其图形.,二、离散型随机变量的分布函数,设离散型随机变量X的概率分布为,则X的分布函数为,设随机变量X的分布函数为F(x), 则,（1）对任意实数x，0F(x)1，F(x)为有界函数,（3）F(x
9、)是单调不减函数，即对于任意x1 x2 ，有 F(x1) F(x2) ,（4） F(x)是右连续函数，即F(x) = F(x+0) ,三、分布函数性质,（2）,F(x)=P x ( - x + ),F(x)=P x ( - x + ),四、利用分布函数计算随机变量取值于某区间的概率,(1),(2),PXb=,F(b),PXb,PXa=,1 -PXa=,1-F(a),PXa=,1 -PXa=,1-F(a-0),F(x)=P x ( - x + ),(3),三 连续型随机变量,如果随机变量的所有可能取值不仅是无穷多的、 不可列的，而且是充满某个区间 ，这样的随机变量称 为连续型随机变量,设随机变量
10、X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负的可积函数f(x)，使对任意的实数x，有,则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称密度函数.这时X的分布称为连续型分布.,二、密度函数的性质 (1) f(x)0,一、定义,二、密度函数的性质,(3) 在f(x)的连续点处有：,(4) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.,例1 下列函数是否是某个随机变量的密度函数？其中 D分别为,例2 设连续型随机变量的概率密度为,求（）k；,解：由概率密度的性质得：,而,所以 k=3,例2 设连续型随机变量的概率密度为,求（）k；,例3 设随机变量X的分布函数为,求（1）A和B；（2）P(-1X
11、1)；（3）密度函数,解（1）由分布函数的性质得,（2）P(-1X1),例3 设随机变量X的分布函数为,求（1）A和B；（2）P(-1X1)；（3）密度函数,解（1）由分布函数的性质得,（2）P(-1X1),例4 设连续型随机变量X的分布函数为,求（1）系数A和B；（2）密度函数,解 由与连续型随机变量的分布函数是连续函数，应有,例4 设连续型随机变量X的分布函数为,求（1）系数A和B；（2）密度函数,1 、均匀分布 如果连续型随机变量X的概率密度为,三 、常见的连续型随机变量的分布,则称X在区间a,b上服从均匀分布，,记为 XUa,b,1 、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为,则称X在区间
12、a,b上服从均匀分布.记为 XUa,b,可知X落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关,三 、常见的连续型随机变量的分布,例1 某公共汽车站每隔5 分钟有一辆车通过，设乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车时间不超过3 分钟的概率.,解 设随机变量X表示乘客的候车时间，,则X服从 0，5上的均匀分布，其密度函数为,求乘客候车时间不超过3 min的概率，即求X落在区间0,3内的概率,2.1. 定义 若随机变量X的密度函数为,其中,(0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布.记作 X N（,2）,2. 正态分布,（1）曲线关于x =对称，即对于任意
13、的h 0有,P-hX = PX+h,显然， x离越远，f(x)的值越小.即对于同样长度的区间，X 落在离越远的区间，概率越小.,（2）当 x =时，函数f(x)达到最大值,2.2 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质,（2）当 x =时，函数f(x)达到最大值,(3) 水平渐近线：x 轴.,(4) 固定, 改变值, 则愈小时, f(x)图形的形状愈陡峭,图形越向 x= 集中，X 落在附近的概率 越大.,1. 定义 若随机变量X的密度函数为,分布函数为：,其中,(0)为常数，则称X服从参数为,的正态分布.记作 X N（,2）,2. 正态分布,3 标准正态分布 XN(0,1),即当= 0，=1时
14、的正态分布.,密度函数：,分布函数：,计算好的数值(x)在附表4中.,(1),2.4 标准正态分布的性质,(2),则,(4) 可查标准正态分布表计算概率（附表4),(3),(4)查标准正态分布函数表计算概率,例1 设XN(0,1) ,计算PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54,1）PX2.35 =(2.35)=,2）P-1.64 X0 .82 = (0.82)- (-1.64),= (0.82)- 1-(1.64) = 0.7434,0.9906,4) P|X| 1.54 =,例1 设XN(0,1) ,计算PX2.35 ； P-1.64 X0
15、 .82 ； P|X| 1.54； P|X| 1.54,3) P|X| 1.54=,(4)查标准正态分布函数表计算概率,设XN(0,1) ,则,P|X| a=,(a)- (-a),=2(a)-1,(1.54)- (-1.54),=2(1.54)-1= 0.8764,1- P|X| 1.54=,1-0.8764=0.1236,例2 设随机变量,求,解,3. 指数分布 若连续型随机变量X的密度函数为,其中0是常数，则称X服从参数为的指数分布。记作XE().,分布函数为,指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布,例11 若已使用了
16、t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏 的概率为t o( t)，其中是不依赖与t的常数，求电子产品 在x小时内损坏的概率，假定电子产品寿命为零的概率为零.,解 设X为电子产品的寿命，则有,例11 若已使用了t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏 的概率为t o( t)，其中是不依赖与t的常数，求电子产品 在x小时内损坏的概率，假定电子产品寿命为零的概率为零.,分离变量得,两端积分,例11 若已使用了t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏 的概率为t o( t)，其中是不依赖与t的常数，求电子产品 在x小时内损坏的概率，假定电子产品寿命为零的概率为零.,可得X的密度函数为,例11 若已使用了t小时的电子产品在以后的 t小时内损坏 的概率为t o( t)，其中是不依赖与t的常数，求电子产品 在x小时内损坏的概率，假定电子产品寿命为零的概率为零.,