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1、平面问题的有限单元法,1,2,一、结构离散化,1.1 三角形常应变单元,3,每个结点有2个结点位移分量，整个单元有6个分量，,单元位移列阵写为,（1-11）,单元试函数为线性函数,二、位移,4,（1-13）,(1-16a),其中A为三角元面积,(1-16b),5,6,(1-24),(1-26),三、应变,7,由物理方程,（1-28）,（1-29）,称为应力矩阵，此时也为常量矩阵，平面应力,（1-31）,整个单元应力为常量，则相邻单元的应力在邻边有突变，这因线性模式所致。,，,四、应力,8,2. 在单元内任一点,因为,可见三个形函数中只有二个是独立的。,1.2 形函数的性质和面积坐标,9,对单元
2、ijm的ij边，形函数为,，,，,证明:,即ij边的形函数与第三个顶点坐标无关,在ij边,1. 面积坐标性质,显然,在结点处具有0，1性质,二、 面积坐标,11,三角形pjm的面积,恰有,3. 面积坐标与直角坐标关系,由,2. 面积坐标恰为三角形常应变元的形函数,12,可见三个面积坐标只有两个独立的。,4. 面积坐标与直角坐标的导数关系,5. 面积坐标的积分值,面积分,(3-27),13,假定单元e内各点发生虚位移,（a）,是单元e上三个结点i，j，m的虚位移,（b）,1. 单元的虚应变：（由几何方程）,1.3 刚度矩阵,14,3. 单元内，应力在虚应变上所做的功,虚位移原理：外力在虚位移上的
3、功=应力在虚应变上的功,2. 单元上外力在虚位移上所做的功(单元厚度为h),15,虚位移原理：外力在虚位移上的功 = 应力在虚应变上的功,16,（1-43）,对平面应力问题：,(1-42),17,中,单刚方程也可以用最小势能原理导得,令,则,又,18,1. 弹性体的节点位移列阵,2. 相应的结点等效载荷,注： 是i 结点的等效结点力。,二、 整体刚度矩阵,19,20,（I）式代入（n）得,(2-34),其中子矩阵,整体刚度矩阵,结构整体等效节点力,4. 单元刚度方程迭加为整体刚度方程,21,因此，K 在非对角线上很多零元素。上式为弹性体的 刚度（平衡）方程，2n个代数方程解2n个未知量 。,注
4、意： 各单元结点力 求和时，因为相邻单元的相互作用的结点力已互相抵消，无须迭加，剩下的荷载仅为各单元上外力等效的结点力，但概念上记住一个单元的刚度方程中结点力列阵需包括相邻单元对结点的作用力。,(2-34),22,1. K 中每一列元素的物理意义：弹性体仅在某个结点沿 x （或y）方向发生单位位移时，所有各结点上需要施加的结点力。,2. K 的主元素总是正的,由性质1知： K 中 元素表示结点2在x方向产生单位位移时，在结点2的x方向需施加的力，自然与位移方向同向， 必为正值。,3. K是对称阵,仅需证,4. K沿主对角线呈带状稀疏阵,三、整体刚度矩阵的性质,23,5. K是一个奇异阵：在消除
5、刚体位移后，它是正定阵。因F 的各分量应满足三个静力平衡方程，反映K存在三个线性相关的列或行。对等式,同乘,由于,因为 t A为正值, D为正定阵，据矩阵代数知识,右边,故知左边,(2-34),24,因为,为 在集中力 作用点 处的值。,1集中力等效的,2表面力的等效,1.4 等效结点力荷载列阵,25,得,，3个节点各均担1/3重量。,结论：对三角形常应变单元(线性模式)，其虚功相等的等效原则与静力等效的数值相同。,3体力的等效,26,引用局部坐标，右图中在ij边,ij边上形函数：,，,，,在结点i 的面力集度为,例2：单元ij 边受三角形分布力，,27,对 用函数逼近。,项数取得多，,那么
6、无法,可见 不是完备的函数列。,2. 的项数越多，未必能逼近 龙格现象，,数值不稳定，为了得到稳定，收敛的插值函数用分段低阶多项式来逼近 ，如分段线性、抛物线。,1.6 收敛准则、位移函数的选择,28,1.位移模式必须包含单元的刚体位移,例：矩形单元,如,则,2.位移模式必须包含单元的常应变,在求应变时，用了偏导,如三角形常应变单元中 项。,一、收敛准则,29,当单元逐渐细化， 则变应变部分将很小,3. 位移模式在单元内要连续， 并使相邻单元间的位移必须 协调。 单元间的协调性要求单元之间不开裂也不重叠(位移连续),在梁、板、壳中，要求斜率（位移的导数）在边界上连续。一般当相邻单元在交界面上的
7、位移取决于交界面上结点的位移时，可以保证位移的协调性（连续），如矩形单元，常应变单元。,30,在有限元法中，满足1，2的单元，称为完备单元；满足3，称为协调单元。同时满足1，2，3称为完备的协调单元。（例：三角形常应变单元是完备的协调元） 在某些梁、板、壳单元，满足条件3较难，有时放弃条件3，故称为非协调单元。 用插值函数代替真实位移，相当于人为对原结构加了一些约束，使结构变“刚”，因此有限元法的位移解必然小于真解。而非协调单元放松了“刚度”，因此，有些非协调元收敛更快。,1. 位移模式必须包含单元的刚体位移； 2. 位移模式必须包含单元的常应变； 3. 位移模式在相邻单元间的位移必须协调（连
8、续）。,结 论,31,1. 位移模式需包含常数项、一次项。,2. 模式应与局部坐标系的方位无关，即不能偏惠一个方向， 所以在选择高次项时，应对称选取,1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 .,如果一个方向细致（阶高），另一方向形函数阶低，则低的方向所带来的误差已抹杀了阶高方向的高精度效果。,二、多项式位移模式阶次的选择,32,一、对称性利用 二、结点的选择和单元的划分 1. 集中力或荷载突变处应取为结点 2. 单元的三条边长度相当，避免过钝、锐角 3. 单元疏密分布要恰当 三、结点的编号 尽量缩小刚阵带宽，平面问题半带宽为, d为相邻结点的最大差值,1.7 有限元法实施步骤
9、注意事项,1.8 边界位移条件,总刚阵 奇异，排除弹性刚体位移后， 才非奇异。,如已知 ，则,1. 划行划列法,划行划列法减少了方程数目，便于手算。,例说：已知 ，引入代数方程,33,2. 乘大数法,第1个方程为,1、2 效果一样，都保持了的稀疏， 带状和对称性。,如已知 ，则,乘大数法不改变方程维数, 便于编程。,引入结构的已知位移后，总体刚度方程是非奇异的。,解之，获得结构总体节点位移 。,34,35,Gauss消去法解,解n 阶线性方程组,1-9 线性方程组求解,36,解总体刚度方程,得到总结点位移列阵,1. 从中取出各单元的位移列阵,2. 代入几何方程，得单元应变,3. 代入,得单元应力,4. 单元的Mises应力,对平面应力问题,对平面应变问题,1.10 计算单元应力,37,单元：3，1，2 单元：5，2，4 单元：2，5，3 单元：6，3，5,解：计算单元：单元面积 A=1/2,单元、的值同单元,计算单元，单元面积 A=1/2,例题:,38,单元刚阵装配规则：,39,，,，,单刚方程：,40,逐节点力平衡，在结点2平衡：,，,迭加后总刚度：,41,按照划行划列法引入边界条件后， 总体方程成为,代入代数方程求解器进行计算，获得未知的节点位移值,已知位移,42,谢谢 请多提宝贵意见！,