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1、主 讲：吴莹 教授 办公室：东校区中1楼2109 E-mail:,理论力学,西安交通大学航天航空学院 国家力学实验教学中心,2,本章以刚体平动和定轴转动为基础，应用运动分解和合成的方法，研究工程中一种常见而又比较复杂的运动刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。,基本概念,速度分析,加速度分析,运动学综合应用,作业题,8.刚体的平面运动,3,刚体在运动过程中，其上各点至某一固定平面的距离始终保持不变，称刚体相对于固定平面作平面运动。,基本概念及运动方程,刚体上每一点的运动轨迹为平面曲线。,刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动.,8.刚体的平面运动,定义：,4
2、,轮子在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变，轮子作平面运动。,曲柄连杆滑块机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。,其中，曲柄作定轴转动，滑块作平动，连杆作平面运动。,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,5,四连杆机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。,其中，盘形曲柄、摇杆DB作定轴转动，连杆作平面运动。,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,6,行星轮机构在运动过程中，其上各点至固定平面的距离始终保持不变。,其中，曲柄作定轴转动，小齿轮作平面运动。,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,7,请分析机构中那些构件做平面运动？,基本概念及运
3、动方程,8.刚体的平面运动,8,设一刚体作平面运动,若作一平面N与平面M平行,并以此去截割刚体得一平面图形S. 可知 该平面图形S始终在平面N内运动.,因而垂直于图形S的任一条 直线A1A2必然作平动.故 A1A2 的运动可用其与图形 S的交点 A的运动来替代.,因此刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面S内的运动.,9,刚体的平面运动可以简化为平面图形S在自身所在平面内的运动。,而平面图形S的位置可由其上的任意直线AB完全确定，即这一直线的运动可以代表平面图形S的运动，也就是刚体的平面运动。,平面运动方程：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,10,由刚体的平面运动方程可以看到，如
4、果图形中的A点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB的方位不变（即 =常数），则刚体将作平动。,可见，刚体平面运动包含平动和转动两种基本运动。,平面运动的分解：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,11,建立静系Oxy,以基点O为原点建立平 动坐标系Oxy .,S,x,y,o,在平面图形S上选取基点O.,O,x,y,平面运动的分解：,12,刚体的平面运动 (绝对运动),x,y,O,随同基点的平 动(牵连运动),绕着基点的转 动(相对运动).,13,有关基点选取的讨论,A,B,1,2,则直线AB随之运动到的AB位置.,设在时间t内平面图形S从位置运动到位置.,由几何关系可知: 1 = 2
5、,由此推得:,1 = 2,1 = 2,14,平面运动的分解：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,15,平面运动分解,绕基点的转动,随基点的平动,平面运动的分解：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,16,rA rB， vA vB， aA aB,结论：,随基点的平动部分与基点的选择有关,1=2=,A= B= ,A= B= ,绕基点的转动部分与基点的选择无关,平面运动的分解：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,17,凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点和坐标系，只需说明是平面图形的角速度和角加速度。,平面运动分解,绕基点的转动,随基点的平动,绕基点的转动部
6、分与基点的选择无关,平面运动的分解：,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,18,基本概念及运动方程,8.刚体的平面运动,1）刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？,答：不完全对，刚体作空间曲线平动就不是特例。,2）刚体作平面运动，用基点法可将运动分解为两部分，即随基点的平动与绕基点的转动，其中转动角速度是刚体绕基点的相对速度，也等于刚体的绝对速度，对吗？为什么？,答：对。因为动坐标系只作平动。,思考题：,19,A,基点：A（平动坐标系：Axy）,刚体平面运动的速度分析,动点：B,任务：分析B点的速度,于是，平面图形内任意一点B的绝对运动（平面曲线运动）也可以看成：,任何平面图形
7、在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平动和绕基点A的转动。,平动坐标系的牵连运动,相对于平动坐标系的相对运动（以A为圆心，BA为半径的圆周运动）,8.刚体的平面运动,20,由速度合成定理： va = ve + vr,平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，与这一点相对于基点运动的速度的矢量和。,A,基点：A（平动坐标系：Axy）,vB = vA+ vBA,动点：B,任务：分析B点的速度,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,基点法,21,vB = vA+ vBA,（1）是矢量式，符合矢量合成法则；,（2）共包括大小方向六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。,A,刚体平面运动
8、的速度分析,8.刚体的平面运动,基点法,22,其中：,速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,vB = vA+ vBA,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,投影法,23,（1）该式是代数方程，可解一个未知量。,（2）速度投影定理反映了刚体中两点间距离不变的特性。,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,投影法,24,例题11-3. 椭圆规的构造如图所示.滑块 A 和 B分别可在相互垂直的直槽中滑动,并用长 l = 20cm 的连杆AB连接设已知vA = 20cm/s 方向如图示.求 = 30 时滑块 B和连杆中点 C的速度.,25,解: (1)取A为基点B
9、为动点.,vB = vA + vBA (1),把(1)式向AB方向投影得:,vB sin = vA cos,vB = vA ctg = 34.64 cm/s,把(1)式向 vA方向投影得:,0 = vA - vBA sin,vBA = 40 cm/s, = 2 rad/s,vA,vB,vBA,26,取A为基点C为动点.,vC = vA + vCA (2),vCA,vC,vA,vCA = (CA) = 20 cm/s,对(2)式应用余弦定理得:,vA = 20 cm/s,27,(2)直接建立点的运动方程.,O,x,y,由 vA = 20 cm/s , =30,vB = l cos = 34.64
10、 cm/s,vA = - l sin,xA = l cos,yB = l sin,xC = 0.5l cos,yC = 0.5l sin,得: vC = 20 cm/s,得: = 2 rad/s,28,例题11-4.在图示结构中,已知曲柄O1A的角速度,求滑块C的速度.图中O1A = r, O2B= BC= l .,29,解:分析A, B和C点的运动并画速度矢量图.,vA,vB,vC,由速度投影定理得:,vA cos = vB cos(+),vB cos(90-2) = vC cos,联立上述两式得:,vA = r,30,A,vA,设在某一瞬时,已知图形上A点的速度为vA图形的角速度为.,若沿
11、速度vA的方向取半直线 AL.,vC = vA - vCA,L,L,C,vA,vCA,将此半直线绕A点按 的转向转 过90到AL的位置.,则在AL上由长度AC = vA/ 所定 出的一点 C,就是此瞬时图形上速度等于零的一点.,证明:,= vA - (AC),= vA -(vA/),= 0,31,一般情况下,在平面图形中,每一瞬时 都唯一地存在着速度等于零的点.该点称为平面图形 在此瞬时的瞬时速度中心.简称速度瞬心.,C,N,M,vM =(CM),vM,vN,vN =(CN),图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心C的 距离成正比,其速度方位垂直于该点与速度瞬心C的 连线. C又称为平面图形的
12、瞬时转动中心. CM和 CN 称为瞬时转动半径.,记为C.,32,速度瞬心某瞬时，平面图形内速度等于零的点。,P,2、瞬时性不同的瞬时，有不同的速度瞬心；,3、唯一性某一瞬时只有一个速度瞬心；,1、速度瞬心客观存在,结论：,瞬心法,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,33, 已知某瞬间平面图形上A, B两点速度vA、vB的方向，且vA不平行于vB， 过A , B两点分别作速度的垂线,其交点 P 即为该瞬时的速度瞬心.,几种确定速度瞬心位置的方法, 已知图形上一点的速度vA 和图形角速度，可以确定速度瞬心P的位置。, 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点P为速
13、度瞬心,瞬心法,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,34,已知在某瞬时图形上任意两点A和B速度的方位且它们互不平行.则通过两点A和B分别作速度vA 和 vB 的垂线其交点C即为瞬心.,C,35, 已知某瞬时图形上A, B两点速度vA、vB大小,且二者都与A、B连线垂直。,(b),(a),几种确定速度瞬心位置的方法,瞬心法,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,36, 已知某瞬时图形上A, B两点的速度大小相等，方向相同此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上各点速度相等, 这种情况称为 瞬时平动.,几种确定速度瞬心位置的方法,各点的加速度也不相等,此时 0,瞬心
14、法,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,37,(1) 在不同的瞬时，平面图形有不同的速度瞬心； (2) 速度瞬心只是瞬时速度为零的点，它的加速度一般并不为零。,(3)“瞬时平动”与“刚体的平动” 不同！,瞬心法,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,注意：,38,例题11-6.在图示结构中,已知曲柄O1A的角速度.图中O1A = r, O2B= BC= l .确定平面运动杆件的瞬心.,39,解:杆O1A和杆O2B 作定轴转动.滑块C作直线动.AB 杆和BC杆作平面运动.其瞬心分别为C1和C2,C1,C2,40,例题11-7.图示瞬时滑块A以速度 vA 沿水平直槽向左运动, 并通过
15、连杆AB 带动轮B 沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r ,园弧轨道的半径为R ,滑块A 离园弧轨道中心O 的距离为l .求该瞬时连杆AB的角速度及轮B边缘上M1和M2点的速度.,41,解:轮B和杆AB作平面运动,C为轮B的瞬心.,C,vB,杆AB作瞬时平动. AB = 0,vA = vB,vM1,vM2,vM1 = 2 vB = 2 vA,B,42,例题11-8. 图示曲柄肘式压床,已知曲柄OA的角速度 = 40rad/s ,OA=15cm, AB=80cm,CB=BD=60cm. 当曲柄与水平线成 30角 时连杆AB处于水平位置, 而肘杆 CB与铅垂线也成 30角.求此机构在图示位
16、 置时连杆AB和BD的角速 度及冲头D的速度.,43,C1,C2,C1为AB杆的瞬心.,C2为BD杆的瞬心.,解:杆AB和BD杆作平面运动.,vA= (OA) = 6m/s,=8.66rad/s,AB,vB=(C1B)AB,vD=(C2D)BD,BD= 5.77rad/s,vD= 3.46m/s,BD,vA,vB,vD,=(C2B)BD,44,例题11-9. 图示为一平面连杆机构,等边三角形构件 ABC 的边长为a 三个顶点 A,B 和分别与套筒A,杆O1B 和O1C铰接,套筒又可沿着杆OD 滑动.设杆O1B长为a并以角速度转动,求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD .,45,解:等边三角形
17、构件ABC作 平面运动 C1为其瞬心.,C1,vB,vB= (O1B) = a ,vA,vAcos30 = vBcos60,vr,ve,OD,46,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,47,OA定轴转动，vA=OA 0,AB平面运动,动点：B，基点： A,大小：？ ？ 方位： ,vBA=vA=2m/s,AB=vBA/AB=2rad/s,BC=vB/BC=2rad/s,运动分析,速度分析,解：,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,48,我们也可以用速度瞬心法求AB杆的角速度。,用速度投影法求BC杆的角速度。,BC=vB/BC=2rad/s,AB=vA/AC=2rad/s,该瞬时，
18、C是AB杆的速度瞬心。,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,49,例3：已知组合机构中， 曲柄OAr= O1C， 角速度 0， AB= O1B= CD=2r。 图示情形, ABBC, =45。 求：此时CD杆的角速度及滑块D的速度。,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,50,解： OA转动，vA=r0； AB平面运动，速度瞬心P,BC定轴转动；,CD杆的速度瞬心在无穷远处，故作瞬时平动，,滑块D的速度方向已知，由速度投影法，得到,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,51,例5：已知：行星轮系固定轮半径R，行星轮半径 r，行星轮沿固定轮只滚不滑，曲柄角速度 。求：行星轮上
19、M点的速度。,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,52,解：OA杆定轴转动 行星轮作平面运动，速度瞬心为两轮的接触点C。,刚体平面运动的速度分析,8.刚体的平面运动,53,任何平面图形在自身平面内的运动都可以分解为随基点A的平动和绕基点A的转动。,刚体平面运动的加速度分析,于是，平面图形内任意一点B的绝对运动（平面曲线运动）也可以看成：,平动坐标系的牵连运动,相对于平动坐标系的相对运动（以A为圆心，BA为半径的圆周运动）,根据牵连运动为平动时的加速度合成定理：,8.刚体的平面运动,基点法,54,由于B的相对运动轨迹总是以基点A为圆心，以AB为半径的圆弧。,由,及对应关系,刚体平面运动的
20、加速度分析,8.刚体的平面运动,基点法,55,注意： 实际应用时要将矢量方程化成两个投影方程求解。,即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度及法向加速度的矢量和。,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,基点法,56,思考： 平面图形在其平面内运动，某瞬时其上有两点A、B的加速度矢相同。试判断下述哪些说法是否正确? (1)其上各点速度、加速度一定都相等； (2)其上各点速度一定都相等，加速度不相等； (3)其上各点加速度一定都相等，速度不相等。,平动！,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,基点法,57,车轮沿直线滚动。已知半径为R，中心O的速
21、度为v0，加速度为a0，求图示瞬间车轮上的速度瞬心C点的加速度。,例一,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,58,解：车轮作平面运动，其速度瞬心为与地面的接触点C。,由于车轮只滚不滑，轮心O点作水平直线运动，所以有,将其对t求一次导数，可得,O1,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,59,速度瞬心的加速度不等于零。,取轮心O为基点，则C点的加速度为,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,思考:如轮放在圆弧轨道上纯滚动,如何分析?,60,如图所示，在椭圆规的机构中，曲柄OD以匀角速度绕O轴转动，OD=AD=BD=l，求当 时，规尺AB的角加速度和A点的加速度。,刚体平
22、面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,例二,61,解：,AB杆作平面运动，作出滑块A、B的速度方向，得到AB杆的速度瞬心O。,OD作定轴转动。,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,62,曲柄OD 绕O轴转动，规尺AB作平面运动。AB上的 D点加速度 ，,取AB上的D点为基点，A点的加速度,大小：,方向：,？,已知,已知,已知,已知,已知,已知,？,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,63,取 和 轴如图所示，将上式分别在 和 轴上投影，得,规尺 AB角加速度,故aA的实际方向与原假设的方向相反。,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,64,刚体平面运动的加速度分析
23、,8.刚体的平面运动,例三,四连杆机构，如图所示。 已知：OA =0.5 m， AB =1 m, = 4 rad/s, = 2 rad/s2 , 求：图示位置时，vB ，aB ,AB ,AB ,CB ,CB,65,步骤：速度分析 （1）瞬心法 作 vA，vB 的垂线可找到AB 的速度瞬心P ，则:,解：AB 杆作平面运动，OA、BC 杆定轴转动。,vAOA 0.5*42 (m/s),刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,66,（2）基点法 以A为基点，分析B点速度，即,vB = vAvBA,由图示几何关系可求出vB、vBA，则,转向逆时针,转向顺时针,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体
24、的平面运动,67,步骤2：加速度分析（基点法） 以A 点为基点,分析B 点加速度,因为：,由加速度合成定理有矢量关系：,方向： ,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,68,取投影轴B ，则上述矢量式子投影到两轴上得：,刚体平面运动的加速度分析,8.刚体的平面运动,69,已知外啮合行星齿轮的机构中，O1O=l, 齿轮I固定不动，杆O1O以匀角速度1转动，齿轮II的半径为r。A在O1O的延长线上。试求此瞬时点A的速度和加速度的大小。,例三,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,70,解：,分析运动,齿轮II作平面运动纯滚动。,分析速度,O点的速度为,齿轮II的速度瞬心为两齿轮的啮合点C。,
25、得到齿轮II的角速度为,角加速度为,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,71,A点的速度为,加速度分析,以A为动点，O为基点，,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,72,图示一连杆机构，曲柄AB和圆盘CD分别绕固定轴A和D转动。BCE为三角形构件，B，C为销钉连接。设圆盘以匀速n0=40 rmin1顺时针转向转动，尺寸如图。试求图示位置时曲柄AB的角速度AB和构件BCE上点E的速度vE。,例四,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,73,曲柄AB的角速度,解：,1. 曲柄AB定轴转动，BCE作平面运动。根据速度投影定理得,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,74,由于构件BCE作平面运动，根据速
26、度投影定理得到：,2. 求E点的速度。,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,75,解：O1A、OB作定轴转动，行星轮AB作平面运动。,其速度瞬心在P，,例五,运动学综合应用,8.刚体的平面运动,76,加速度分析,以A为基点,将等式两端向x方向投影:,(目标：求 ),运动学综合应用,8.刚体的平面运动,77,学习本章，首先明确如何把平面运动分解为随基点的平动和相对于以基点为原点的平动坐标系的转动。在这个基础上，就能运用前一章点的复合运动中的结论，建立平面运动刚体上两点间速度以及加速度的关系。,（1）明确刚体平面运动分解为平动和转动的关键是引进一个假想的、随基点一起运动的平动坐标系。 (2）求解平面图形上各点的速度和加速度。,8.刚体的平面运动,本章小结,78,（3）要对工程上常见的平面机构（如：曲柄连杆机构、四杆机构、行星机构等）能熟练地进行运动分析，即求出指定点的速度、加速度和指定刚体的角速度、角加速度。这种分析通常从运动已知的构件开始，通过两个构件的连结处（如：铰链或滑块与滑槽的接触处）求得另一构件上相应点速度、加速度，进而求得所需的角速度、角加速度等。,8.刚体的平面运动,本章小结,79,8.刚体的平面运动,作业题： 8-9 8-13 8-18 8-22 8-33,