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1、第二章 网孔分析和节点分析,第二章 网孔分析和节点分析,2.1 网孔分析,2.2 互易定理,2.3 节点分析,2.4 含运算放大器的电阻电路,2.5 电路的对偶性,1.掌握网孔分析和节点分析电路的基本分析方法。 2.理解互易定理和电路的对偶性。 3.了解运算放大器的电路模型及分析方法。,本章要求,线性电路的一般分析方法,(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法和节点电压法。,（2）元件的电压、电流约束特性。,（1）电路的连接关系KCL，KVL定律。,方法的基础,(
2、2) 系统性：计算方法有规律可循。,2.1 网孔分析(网孔电流法loop current method),基本思想,为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示来求得电路的解。,一、网孔电流法,以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔分析法。,网孔电流是在网孔中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以网孔电流为未知量列方程来求解电路，只需对网孔列写KVL方程。,b=3，n=2。 网孔数m=b-(n-1)=2。 选图示的两个网孔，网孔电流分别为iM1、 iM2。 支路电流
3、 i1=iM1， i2= iM2- iM1， i3= iM2。,网孔1： R1 iM1-R2(iM2- iM1)-uS1+uS2=0,网孔2： R2(iM2- iM1)+ R3 iM2 -uS2=0,(R1+ R2) iM1-R2iM2=uS1-uS2,- R2iM1+ (R2 +R3) iM2 =uS2,沿网孔电流绕行方向，电压降取“+”；电压升取“-”。,可见，网孔电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。,R11=R1+R2 网孔1的自电阻。等于网孔1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 网孔2的自电阻。等于网孔2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R
4、12= R21= R2 网孔1、网孔2之间的互电阻。,当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,uSM1= uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。,uSM2= uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该网孔电流循行方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 m=b-(n-1) 个网孔的电路，有,其中,Rjk:互电阻,+ : 流过互电阻两个网孔电流方向相同,- : 流过互电阻两个网孔电流方向相反,0 : 无关,Rkk:自电阻(为正) ，k=1,2,m 。,网孔方程的一般形式,本网孔电流自电阻+ （相邻网孔电流
5、互电阻）= 沿本网孔电流方向电压源电压升之和,注： 1.不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj 。 2. 当网孔电流均取顺(或逆)时针方向时，Rjk均为负。,二、网孔分析法的一般步骤,(1)选定m=b-(n-1)个独立回路（网孔），并确定其绕行方向；,(2)对m个独立回路（网孔），以回路（网孔）电流为未知量，列写其KVL方程；,(3) 求解上述方程，得到m个回路（网孔）电流；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,适用范围：平面电路,平面电路：可以画在平面上，不出现支路交叉的电路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。, 是平面电路,总有支路相互交叉
6、是非平面电路,例1.,用网孔分析法求各支路电流。,解：,(1) 设网孔电流(顺时针),(2) 列 KVL 方程,(3) 求解网孔电流方程，得 iM1 , iM2 , iM3,(4) 求各支路电流： i1=iM1 i2=iM2-iM1 i3=iM3-iM2 i4=-iM3,(5) 校核：,选一新回路，列写KVL方程。, 将VCVS看作独立源建立方程；, 找出控制量和网孔电流关系。,例2.,求含有受控电压源电路的各支路电流。,校核:,1I1+2I3+2I5=2.01,( UR 降=E升 ),将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0
7、.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic= 0.52A.,解：,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的网孔电流方程。,方法1： 引入电流源电压为变量，增加网孔电流和 电流源电流的关系方程。,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,三、分析的步骤和注意事项,1）当电路中含有电流源（包括含受控电流源）时，应尽量把电流源移到边界支路上去，或者进行等效变换，否则，一定要在电流源两端假设一个电压，并标出参考极性，在列写KVL方程时，必须把这个电压包括在内，并要补充一个KCL方程。 2）假设各网孔电流的参考方向，方向尽量取一致。,3）根据规律
8、，分别写各网孔的网孔方程，注意互电阻的正负号，流过互电阻的两个网孔电流方向相同时取正号，相反时取负号。 4）当电路含有受控源且控制量不是网孔电流时，必须补充一个方程。 5） 联立求解各网孔电流。 6）由网孔电流和支路的伏安关系求各支路的电流和电压。,2. 2 互易定理 (Reciprocity Theorem),一、互易定理,对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。,情况1,当 uj = uk 时，ikj = ijk,则两个支路中电压电流有如下关系：,情况2,则两个支路中电压电流有如下
9、关系：,当 iS1 = iS2 时，u2 = u1,(3)互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下两个支路电压电流关系。,(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。,(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联)；,(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意：,I,例1,求(a)图电流I ，(b)图电压U。,解,利用互易定理,4,1,6,2,例2,求电流I 。,解,利用互易定理,I1 = I2
10、/(4+2)=2/3A,I2 = I2/(1+2)=4/3A,I= I1-I2 = - 2/3A,2. 3 节点分析 (节点电压法 node voltage method),一、基本思想,节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,(unA-unB)+unB-unA=0,KVL自动满足,可见，节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-（n-1）个。,任意选择节点为参考节点，其它节点与参考节点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,举例说明：,(2) 列KCL方程：, i出= i入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,
11、-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1) 选定参考节点，标明其余(n-1)个独立节点的电压,代入支路元件特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = iSn1,G21un1+G22un2 = iSn2,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12= G21 =-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS
12、2+iS3流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,* 自电导总为正，互电导总为负。 * 电流源支路电导为零。,* 流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得各个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,二、节点电压方程,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,* 当电路含受控源时，方程组系数一般不对称。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij
13、 = Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,节点方程规律,自电导本节点电压 + （互电导相邻节点电压）=与该节点相联接的流入该节点的电流源电流之和。,注意：与电流源相串联的电阻不计入自电导和互电导之中。,三、节点法的一般步骤,(1) 选定参考节点，标定（n-1）个独立节点；,(2) 对（n-1）个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3) 求解上述方程，得到（n-1）个节点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用节点电压表示)；,用节点法求各支路电流。,* 可先进行电源变换。,例1.,(1) 列节点电压方程：,UA=21.8V， U
14、B=-21.82V,I1=(120-UA)/20k= 4.91mA,I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA,I3=(UB +240)/40k= 5.45mA,I4= UB /40=0.546mA,I5= UB /20=-1.09mA,(2) 解方程，得：,(3) 各支路电流：,解：,(1) 先把受控源当作独立源列方程；,(2) 将控制量用节点电压表示。,例2. 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,uR2= un1,解：,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系,方法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)Un1-G1U
15、n2 =-I,-G1Un1+(G1 +G3 + G4)Un2-G4Un3 =0,-G4Un2+(G4+G5)Un3 =I,Un1-Un3 = US,Un1= US,-G1Un1+(G1+G3+G4)Un2- G3Un3 =0,-G2Un1-G3Un2+(G2+G3+G5)Un3=0,例3.,支路法、回路（网孔）法和节点法的比较,(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(3) 回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。,(1) 方程数的比较,运算放大器(operational amplifier),是一种有着十分广泛用途的电子器件。
16、最早开始应用于1940年，1960年后，随着集成电路技术的发展，运算放大器逐步集成化，大大降低了成本，获得了越来越广泛的应用。,2.4 含运算放大器的电阻电路,一、简介,应用,主要用于模拟计算机，可模拟加、减、积分等运算，对电路进行模拟分析。在信号处理、测量及波形产生方面也获得广泛应用。,外形结构,电路,符号,8个管脚：,2：反相输入端 3：同相输入端 4、7：电源端 6：输出端 1、5：外接调零电位器 8：空脚,单向放大,电路符号,a： 反相输入端，输入电压 u,b：同相输入端，输入电压 u+,o： 输出端, 输出电压 uo,在电路符号图中一般不画出直流电源端，而只有a,b,o三端和接地端。
17、,其中参考方向如图所示，每一点均为对地的电压，在接地端未画出时尤其需要注意。,A：开环电压放大倍数，可达十几万倍,: 公共端(接地端),在 a,b 间加一电压 ud =u+-u-,可得输出uo和输入ud转移特性曲线如下：, 线性工作区：,|ud| ，则 uo=Aud,正向饱和区：,反向饱和区：,ud 则 uo= Usat,ud- 则 uo= -Usat,二、运算放大器的静特性,是一个数值很小的电压，例如Usat=13V,A =105，则=0.13mV。,电路模型,输入电阻,输出电阻,当: u+= 0, 则uo=Au,当: u= 0, 则uo=Au,在线性放大区，将运放电路作如下的理想化处理：,
18、 A,uo为有限值，则ud=0 ,即u+=u-，两个输入端之间相当于短路(虚短路), Ri ,理想运算放大器,i+=0 , i=0。 即从输入端看进去，元件相当于开路(虚断路)。,三、含运算放大器的电路的分析,1. 反相比例器,“虚短”： u+ = u- =0，i1= ui/R1 i2= -uo /Rf,“虚断”： i-= 0，i2= i1,表明 uo / ui只取决于电阻Rf与R1比值，负号表明uo和ui总是符号相反(反相比例器)。,由理想运放构成的反相比例器,(1) 当 R1 和 Rf 确定后，为使 uo 不超过饱和电压(即保证工作在线性区)，对ui有一定限制。,(2) 运放不工作在开环状
19、态(极不稳定，振荡在饱和区)，都工作在闭环状态，输出电压由外电路决定。,注意：,2. 同（正）相比例器,uo =(R1 + R2)/R2 ui =(1+ R1/R2) ui,(uo-u-)/R1= u-/R2,3. 电压跟随器,特点：, 输入阻抗无穷大(虚断)；, 输出阻抗为零；,应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。, uo= ui。,例,可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。,具有两个输入的加法放大器。用节点电压方程求得uo与u1、u2的关系式。,i,练习,利用自电导、互电导概念，在反相输入端得,上式已考虑到输入电流为零。由于u- =u+ =0，得,答案一,反相输入端运用KC
20、L。由于输入端没有电流流入，得,由于u+ =u-=0，得,答案二,一、网络对偶的概念,1. 平面电路；,3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶电路。,2. 两个电路所涉及的量属于同一个物理量；,2.5 电路的对偶性 (Dual Principle),电阻 R 电压源 us 网孔电流 iM KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点,对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。,网孔电流方程：,(R1 + R2)iM = us,节点电压方程：,(G1 + G2 )un = is,对偶元素：,二、对偶原理,只有平面电路才可能有对偶电路。,注意：,本章小结,电路分析方法总结,支路分析法 网孔分析法 节点分析法,互易定理 对偶原理,电路定理总结,