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1、3.3 二阶系统的动态性能,凡是由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。在控制工程中的许多系统都是二阶系统，如电学系统、力学系统等。即使是高阶系统，在简化系统分析的情况下有许多也可以近似成二阶系统。因此，二阶系统的性能分析在自动控制系统分析中有非常重要的地位。,或,为二阶系统的阻尼系数（阻尼比）， 称为二阶系统的无阻尼自然振荡频率,或,图3.3.1 标准化的二阶系统,1、数学模型的标准式,通常都把二阶系统的方程化成标准的微分方程形式：,二阶系统的传递函数为：,3.3.1 二阶系统的数学模型,2、学习过的二阶系统的数学模型,设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉普拉斯变换式为,闭环
2、特征方程,其特征根即为闭环传递函数的极点为,闭环极点的性质决定了二阶系统在单位阶跃信号下响应的不同性质。,3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应,1.无阻尼（=0）状态时,特征根,闭环特征方程,图3.12 =0时特征根,其输出量的拉普拉斯变换,上式取拉氏反变换，得,响应曲线为等幅振荡曲线，称为无阻尼状态。,系统有一对共轭纯虚根，见图3.12,图3.13 =0时二阶系统的单位阶跃响应曲线,2. 欠阻尼（ 01 ）状态,特征根,闭环特征方程,系统有一对共轭复根，见图3.14,阻尼自然振荡频率,图3.14 01时特征根,其输出量的拉普拉斯变换,上式取拉氏反变换，得,令,(1)衰减的正弦振荡曲线,振幅按
3、指数衰减,振荡频率为 ，称为阻尼 自然振荡频率；,(2) 越小，振荡越强；,(3) 阻尼角 只与阻尼系数有关。,图3.14 01时特征根,3.临界阻尼（=1）状态,闭环特征方程,特征根,系统特征根为一对相等的负实根，见图3.16,图3.16 =1时特征根,其输出量的拉普拉斯变换,上式取拉氏反变换，得出输出的表达式,1、响应具有非周期性，没有振荡和超调， 其响应曲线如图所示。,图3.17 =1时二阶系统的单位阶跃响应曲线,3、动态性能指标为：,4、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。,2、该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。,4.过阻尼（1）状
4、态,闭环特征方程,特征根,令,系统特征根为一对不等的负实根，见图3.18,图3.18 1时特征根,其输出量的拉普拉斯变换,上式取拉氏反变换，得,图3.19 1时二阶系统的单位阶跃响应曲线,1、响应具有非周期性，没有振荡和超调，该响应曲线不同于典型一阶系统的单位阶跃响应。,2、动态性能指标为：,3、稳态误差为0，说明典型二阶系统跟踪阶跃输入信号时，无稳态误差，系统为无静差系统。,4、需要说明的是，对于临界阻尼和过阻尼的二阶系统，其单位阶跃响应都没有振荡和超调，系统的调节时间随的增加而变大，在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。,图3.20 二阶系统在单位阶跃作用下的响应曲线,3.3
5、.3 典型二阶系统的动态性能指标,1. 欠阻尼二阶系统的动态性能指标,当01时,二阶系统的单位阶跃响应为,（1）上升时间tr,根据上升时间的定义,当t=tr时，y(tr)=1,上升时间tr是y(t)第一次达到稳态时间,弧度制计算,（2）峰值时间tP,tP处有极值，故该处导数值为0,峰值对应振荡第一个周期内极大值,（3）超调量%,当t=tP时,y(t)有最大值,上式表明，超调量仅是阻尼比的函数，与自然频率n无关。,图3.21 和的关系,（4）调节时间ts,可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为,当t=ts时，有：,由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收
6、敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。,当z 较小时，近似取 ，且,所以,（5）振荡次数N,由此可见振荡次数N仅与阻尼系数 有关。,阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在z 1的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但ts长。当z 0时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。,总结,在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。,注意到 只与 有关，所以一般根据 来选择 。,越大， （当 一定时）,为了限制超调量，并使 较小， 一般取
7、0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。最佳阻尼比0.707,此时超调量为4.3%.,2.过阻尼二阶系统的动态性能指标,阶跃响应是从0到1的单调上升过程，超调量为0。用ts即可描述系统的动态性能。,需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。,通常，都希望控制系统有较快的时间响应，即希望系统的阻尼系数在0.7左右。而不希望处于过阻尼情况(调节时间过长)。但对于一些特殊的不希望出现超调系统(如液位控制)和大惯性系统(如加热装置，舰船靠岸)，则可采用 1的过阻尼系统。,【例3-2】设控制系统方框图如图所示。当有一单位阶跃信号作用于系统时，试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts
8、、N和%.,解: 闭环传递函数为,因此有:,振荡次数：,性能指标：,【例3-3】一位置随动系统，K4。求该系统的阻尼比、自然振荡角频率和单位阶跃响应；系统的峰值时间、调节时间和超调量；若要求阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大系数K 值。,解：(1) 系统的闭环传递函数为,则单位阶跃响应为：,(2) 峰值时间为：,调节时间为：,超调量为：,从上可以看出，降低开环放大系数K 值能使阻尼比增大、超调量下降，可改善系统动态性能。但在以后的系统稳态误差分析中可知，降低开环放大系数将使系统的稳态误差增大。,(3) 要求=0.707时:,【例3-4】设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定系统
9、的传递函数。,解：根据题意,33,典型二阶系统响应特性的小结,1.极点位置与阶跃响应形式的关系,34, 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系,极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系,36, wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。,36, 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0Z0.8),对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。,ts=4,ts=2,ts=1,【例3-5】求如下随动系统的特征参数 ,分析与性能指标的关系。,若假设电枢电感 La=0，则 Ta=0，方程为,当只考虑 ua时，电动机的微分方程方程为,电动机传递函数为,电压放大器和功放的传递函数分别为 K1和 K2 ，可得方框图,因 所以,设,，则闭环传递函数为：,40,1、T 不变，K,下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设 ):, N。, z , d %, wn , wd, z wn =1/2T不变，ts 几乎不变,总之，K 增大振荡加剧；,2、K 不变，T, N。, z , d % , wn , wd , zwn =1/2T, ts,实际系统中T 往往不能变，要使系统性能好，则K，这对控制精度不利。,