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1、第5章 数值积分,5.1 牛顿-柯特斯求积公式,5.2 复合求积公式及其误差,5.3 龙贝格求积法,Home,目录,引言,Home,目录,引言,本章的问题： 计算定积分abf(x)dx的近似值。,必要性: 如果f(x)的原函数是F(x)，则,等. 实际问题中常有些被积函数没有表达式,而只是通过观测得到一些离散的数据点,比如求一条河道的某个截面积,这样的定积分只能用近似计算方法.,（牛顿-莱布尼兹公式）,但有些定积分的被积函数的原函数不能用初等函数明显表示, 牛顿-莱布尼兹公式不能用,如,5.1 牛顿-柯特斯求积公式,Home,目录,5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造,5.1.2 求积公式的
2、代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估计,Home,目录,5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造,建立数值积分公式的基本思想：,选取一个简单的函数(x)近似代替f(x)，得,牛顿-柯特斯的思想：选取(x) 为插值多项式Pn(x)，推导出实用的数值积分公式。,再推导出简便实用的计算公式，称为数值积分公式。,目录,在a, b作等距的插值基点 a=x0x1xn=b ，,令,Home,目录,由,积分作代换x= a+sh, 则,推导具体计算公式,dx=hds,当x=a时,s=0，,当x=b时,x=n，,xxj=(sj )h,=i(i-1)1(-1)(-2)(-(n-i) hn,= (-1)n-I i!
3、(n-i)! hn,Home,目录,由,略去余项得牛顿柯特斯求积公式,称为柯特斯求积系数,Home,目录,柯特斯求积系数表：,例如：n=2时，有,n=3时，有,Home,目录,柯特斯系数的性质：,(2) 系数有对称性。,(3) 当n8时开始出现负值的柯特斯系数。,(1),理由：取f(x)1，则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0，于是,Home,目录,梯形公式.,当n=1时, 有,牛顿柯特斯求积公式,此公式来源于,舍去余项的结果，,相当于用直线P1(x)代替f(x)计算积分。,Home,目录,抛物线公式,牛顿柯特斯求积公式当n=2时有,此公式来源于,舍去余项的结果，,相当于用抛物线P2(x)
4、代替f(x)计算积分。,Home,目录,Home,目录,Home,目录,例 用n=1,2,3,4的牛顿柯特斯求积公式计算下面定积分的近似值:,解,当n=1,当n=2,当n=4,当n=3,（梯形公式）,（抛物线公式）,Home,目录,Home,目录,5.1.2 求积公式的代数精度、梯形公式和抛物线公式的误差估计,的求积公式，如当 f(x)是 1,x,x2, xm 时成为准确的等式，但当f(x)= xm+1时，求积公式不能准确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。,定义 对一个形如,（Ai与f(x)无关）,牛顿柯特斯求积公式具有上面的形式，且余项为,Home,目录,定理 5.1 牛顿
5、柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。而且当n是偶数时，公式的代数精确度可达到n+1。,证明 当 f(x)是 1,x,x2, xm 时，,求积公式成为准确的等式。因此牛顿柯特斯求积公式的代数精确度至少为n。 （其余证明略）,定理 5.2 （梯形公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差可表达为,Home,目录,证,由于(x-a)(x-b)在a, b 中不变号，,在a, b 中连续，,根据定积分的第二中值定理，存在一点 a,b,使,定理 5.3（抛物线公式的误差）设f(x)在a,b上具有连续的四阶导数，则抛物线求积公式的误差可表达为,Home,目录,例 试证梯形公式的代数
6、精确度为1。,证明 梯形公式是,误差,当f(x)=x0,x 时，R1 (f ) = 0, 梯形公式成为准确等式.,当f(x)=x2 时，根据梯形公式，左=,右=,左,因此，公式的代数精确度为1。,Home,目录,例 试证抛物线公式的代数精确度为3。,证明 抛物线公式是,误差,当f(x)=x0,x,x2,x3 时，R2 ( f ) = 0, 抛物线公式成为准确等式.,当f(x)=x4 时，,因此，公式的代数精确度为3。,0，抛物线公式不能准确成立。,Home,Home,目录,5.2.1 复合梯形公式及其误差,5.2.2 复合抛物线公式及其误差,5.2 复合求积公式及其误差,5.2.3 变步长的梯
7、形公式,Home,目录,公式的构造思想：将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式再相加起来，得到实用的计算公式。,5.2.1 复合梯形公式及其误差,设f(x) 在a,b上有连续的二阶导数，n是正整数.,a,b等分成n个小区间,在,上运用梯形公式，,各式相加后得,目录,由于f(x)连续，且有,对f(x)应用连续函数的介值定理知存在a, b ,使,因此,略去余项后便得复合梯形公式,余项为,Home,目录,Home,目录,例 用n=6的复合梯形公式计算积分,的近似值。,解,1.827655,练习 用n=6的复合梯形公式计算积分,解,Home,目录,5.2.2 复合抛物线公式及其误
8、差,n取为偶数。,在区间,分别应用抛物线求积公式（设f(x) 在a,b上有连续的4 阶导数）,各式相加，舍去余项可得复合抛物线求积公式,Home,目录,当n=2时即为上节的抛物线公式。,可推得Sn 的余项为,利用连续函数的介值定理 有,n为偶数,Home,目录,Home,目录,例 用n=6的复合抛物线公式计算积分,的近似值。,解,使绝对误差小于10 6。,例 用复合抛物线公式计算积分,的近似值,解,解不等式,求得 n=6。,用n=6的复合抛物线公式计算积分，见上例。,Home,目录,用复合抛物线求积公式计算定积分的一般步骤：,（1）由被积函数和积分区间，计算,，并作出估计:,（2）由不等式,解
9、出偶数n的最小值。,（3）计算函数值,计算出Sn。,Home,目录,5.2.3 变步长的梯形公式,分别按复合梯形公式计算的结果记为T(0) , T(1) ,T(2) ,T(m) ,.,让n 依次取1,21,22,2m,对应的步长序列为,，,，.,上式中，当k取偶数时，令,当k取奇数时，令,注意,Home,目录,即变步长的梯形公式为,对于指定的误差限，当,|T(m)- T(m-1) | (为绝对误差限）,时结束计算。理由如下：,或 |T(m)- T(m-1) |T(m)| (为相对误差限）,Home,目录,所以|T(m) T(m-1 )|可以用来估计T(m)的误差。,理由 T(m)的余项 为,记
10、,设f(x)连续且变化不大，当m时显然T(m)J。当m充分大时， f(m-1 ) f(m ) ,可得近似式：,注意：由上述近似式还可推得：,此式可用于构造加速收敛的计算公式。,Home,目录,Home,Home,目录,5.3 龙贝格（Romberg)求积法,可以预料它比T(m)的准确性更高。事实上，分别取步长(b-a)/n, (b-a)/(2n) (n是正整数), 用复合梯形公式计算Tn, T2n,则有,可见,由复合梯形公式所作出的线性组合,正好是代数精确度达到3的复合抛物线公式。,在变步长的梯形公式中，得到近似式,Home,目录,龙贝格求积法的基本思想 ：运用一个代数精确度较低的求积公式（例
11、如梯形公式），相继以步长和求得定积分的两个近似结果，然后再作它们适当的线性组合，则可以得到一个代数精确度更高的公式。,设依次用步长为,的复合梯形公式的计算结果记为,这是第1个积分序列，其计算公式由上节可知为,由第1个积分序列（复合梯形公式积分序列），根据关系,可得出较为准确的第二个积分序列（即复合抛物线公式积分序列）,龙贝格求积法：,Home,目录,用类似的推理可证由关系,可得出更为准确的第三个积分序列 ， 可验证其中T2,0的代数精确度至少是5. 一般说来，由已得序列,推导下一序列的公式 为,Home,目录,龙贝格积分法可以按下面的“T数表”的顺序进行：,T0,0 (1) T0,1 (2) T1,0 (3),T0,2 (4) T1,1 (5) T2,0 (6),T0,3 (7) T1,2 (8) T2,1 (9) T3,0 (10), ,当对角线上最后两个相邻项满足,时,可停止计算并取,作为所求积分的近似值 .,例 用龙贝格积分法计算积分,使精确度达到10-4。,解,最后得到,Home,目录,Home,目录,龙贝格积分法：,