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1、第四章统计 推断与假设检验 第五节 2检验 0.5 f(x) 0.3 0.4 0.2 0.1 0.0 2 = u1 2 2 +uk 2 = ui2 = ( + u 1 2 分布 同自由度df值的曲线。 2值最小为0，最大为+ ，因而在坐标轴的右边。 024681012 x df=3 df=5 df=10 k k 2 i=1 1 2分布图形为一组具有不 x (k 1)s2 2 )2 = df=1 = = 1 2 分布 用于计数资料(或属性资料)分析的2公式： 任何一组的理论次数Ei都必需大于5； 在自由度df=1时需要进行连续性校正： 2 k i=1 (Oi Ei)2 Ei c2 k i=1 |
2、Oi Ei |0.5)2 Ei (k 1)s /2,k1 (k 1)s 可用来检验单 个样本方差s2所代表的 总体方差与给定的方差值C 是否有显著差异， 简称为一个样本与给定总体方差的比较。 总体方差2的置信区间 2 样本方差的同质性检验 (k 1)s2 2 2 = 2 2 2 2 2 1 /2,k1 (k 1)s = = = 10.54 2 样本方差的同质性检验 例硫酸铵施于水田表层试验 ，得4 个小区的稻谷产量为 517、492、514、522(kg)，计得样本方差为175.6(kg)2。现 要测验H0：2=50 (kg)2对HA：2 50 (kg)2，取0.05。 2 2 2 (41)1
3、75.6 50 查附表4，在df=n-1=3时， 2的临界值为： 现2=10.54,在0.22-9.35的范围之外，H0被否定。 2 0.025 = 9.35 2 0.975 = 0.22 s= (x1 = 2 s x1) s= 2 样本方差的同质性检验 多个样本方差的同质性检验 由Bartlett(1937) 提出，故又称为Bartlett检验 假如有k个独立的方差估计值 ： 2 1 1 n11 2 2 (x2x2)2 1 n21 22 k 1 nk 1 (xk xk) s = (n 1) 2.3026 1 i = 1 i (ni 1)lg lgs2 (ni 1) s2 合并的方差为： 2
4、样本方差的同质性检验 2 p k si2(ni 1) i=1 k i i=1 Bartlett2值为： k C = 3(k 1) i=1 ni 1 k k 2 C = df=k-1 3 适合性检验 适合性检验(test for goodness-of-fit):比较实验 数据与理 论假设是否符合的假设测验 。 现以玉米花粉粒碘染反应为例，予以说明： 玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数 碘反应 蓝色 非蓝色 总数 观察次数(O) 3437(O1) 3482(O2) 6919 理论次数(E) 3459.5(E1) 3459.5(E2) 6919 O-E -22.5 +22.5 0 (O-E)2/E
5、 0.1463 0.1463 0.2926 1、设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差异由抽 样误差所引起。本例 H0：花粉粒碘反应比例为1:1与 HA：花粉粒碘反应比例不成1:1。 2、确定显著水平=0.05。 3、在无效假设为正确的假设下，计算超过观察2值的概率 。试验观 察的2值愈大，观察次数与理论次数之间相差 程度也愈大，两者相符的概率就愈小。 3 适合性检验 若实得 ,df 否定H0； 时，则 H0 被接受。 2分布是连续的，而次数资料则是间断的。由间断性 资料算得的2值有偏大的趋势(尤其是在df=1时)，需作 连续性矫正。 3 适合性检验 4、依所得概率值的大小，接受或否定无效
6、假设。 2 2 若实得 2 2,df |Oi Ei |0.5)2 = 0.2798 本例 查附表6，当df=k-1=2-1=1时 所以接受H0。即认为观 察次数与理论次数相符，接受 玉米F1代花粉粒碘反应比率为1:1的假设。 3 适合性检验 k c2 i=1 Ei 2 0.05,1 = 3.84 次数分布的适合性检验:适合性检验还经 常用来检验试验 数据 的次数分布是否和某种理论分布相符，以推断实际的次数分布 究竟属于哪一种分布类型。 例 在大豆品种Richland田间考察单株粒重的变异是否符 合正态分布。考查数据归成次数分布表(如下)，组距为5g， 该分布的次数n、平均数、标准差均列于表基部
7、。 3 适合性检验 大豆单株粒重观察分布与理论正态分布的适合性测验 单 株 产 量 组限(y) 0.55.5 5.510.5 10.515.5 15.520.5 20.525.5 25.530.5 30.535.5 35.540.5 40.545.5 45.550.5 50.555.5 55.560.5 60.565.5 65.570.5 组中点 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68 次数 (O) 7 5 7 18 32 41 37 25 22 19 6 6 3 1 p 0.0195 0.0277 0.0525 0.0863 0.1219 0.1477
8、 0.1545 0.1386 0.1068 0.0712 0.0405 0.0201 0.0084 0.0014 理论次 数(E) 4.5 6.3 12.0 19.8 27.9 33.8 35.4 31.7 24.5 16.3 9.3 4.6 1.9 1.0 2 1.39 0.27 2.08 0.16 0.60 1.53 0.07 1.42 0.26 0.45 1.17 0.43 0.64 0.00 n=229=31.93s=12.80df=14-3=112=10.47 y y -26.43 -21.43 -16.43 -11.43 -6.43 -1.43 3.57 8.57 13.57 18
9、.57 23.57 28.57 33.57 38.57 y y s -2.065 -1.674 -1.284 -0.893 -0.502 -0.112 0.279 0.670 1.060 1.451 1.841 2.232 2.623 3.013 y y s 3 适合性检验 1、假设H0：观察分布符合理论分布，对HA：观察分布不符 合理论分布。 2、计算各组的理论次数： 理论次数=理论频率(p) 总观察次数(n) ) 5.5 31.93 12.80 第1组 P(y 5.5) = P(u = = P(u 2.065) 0.0195 理论次数=0.0195229=4.5 = 第2组 理论次数=0.
10、0276229=6.3 余类推，将计算结果列入表中。 查附表，自由度为11时，2=10.47的概率P在0.25- 0.50范围内，观察分布与理论分布无显著差异，接受H0，说 明大豆单株粒重的分布符合正态分布。 3 适合性检验 P(5.5 y 10.5) = P(2.065 u 1.674) = 0.04710.0195 = 0.0276 次数分布的适合性检验时 ，应注意： 1、总观察次数n应较大，一般不小于50。 2、分组数最好在5组以上。 3、每组理论次数不宜太少，至少为5，尤其首尾各组。若组 理论次数少于5，最好将相邻组的次数合并为一组。 3 适合性检验 独立性检验(test for in
11、dependence)，主要为探求两个 变数间是否独立。这是次数资料的一种相关性研究。 假设H0：两个变数相互独立，对HA：两个变数彼此相关。 当观察的220.05时，接受H0，即两个变数相互独立； 当观察的2 20.05时，否定H0，接受HA，即两个变数 相关。 4 独立性检验 22表的独立性检验: 22表是指横行和纵行皆分为两组 的资料。其df=(2-1)(2-1)=1，计算2值需作连续性矫正。 例调查经过 种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小麦发 生散黑穗病的穗数，得相依表如下，试分析种子灭菌与否和 散黑穗病穗多少是否有关。 4 独立性检验 处理项目 种子灭菌 种子未灭菌 总数 发病穗数
12、26(34.7) 184(175.3) 210 未发病穗数 50(41.3) 200(208.7) 250 总数 76 384 460 H0：种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无关；HA：种子灭菌 与否和散黑穗病病穗多少有关。显著水平=0.05。 在H0为正确的假设下，对于11细格，由于它是属于种子灭菌的 ，故种子作灭菌处理的概率为76/460；它又是属于发病穗数的 ，发病穗数的概率为210/460。因此任一经种子作灭菌处理而 又发病的麦穗的概率为p11=(76/460) (210/460)，故格子11的理 论次数为：E11=p11n= (76/460) (210/460) 460=34.7 4
13、独立性检验 (|26 34.7|0.5) (|5041.3|0.5)2 用同样的方法算出其余格子的理论次数，并将其写入上表的 括号中。 4 独立性检验 2 即种子灭菌与否和散黑穗病发病高低有关，种子灭菌对防治 小麦散黑穗病有一定效果。 2 34.7 41.3 4.267 C 2 + 2 + + = rc表的独立性检验 若横行分r组，纵行分c组，且r3，c3，则为rc相依表 ，其df=(r-1)(c-1) 例下表为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查资 料。 试测验 稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。 4 独立性检验 灌溉方式 深水 浅水 湿润 总计 绿叶数 146(140.69) 183(180.26) 152(160.04) 481 黄叶数 7(8.78) 8(11.24) 14(9.98) 30 枯叶数 7(10.53) 13(13.49) 16(11.98) 36 总计 160 205 182 547 (146140.69) (78.78) (1611.98) + + = 5.62 假设H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；对HA：稻叶衰老情 况与灌溉方式无关。取=0.05。 4 独立性检验 2 2 2 2 140.69 8.78 11.98 2 情况没有显著影响。