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1、 毕业设计（论文） 题 目：从中国古算的“开方术”看形数结合思想院 系：数学与信息科学系专 业：数学与应用数学班 级： 数本班姓 名： 学 号： 指导教师： 2012年4月日从中国古算的“开方术”看形数结合思想【摘要】形数结合思想是重要的数学思想方法之一 。“数”和“形”是事物本质的两个表现形式，理解并领悟这点是数学学习的重要方面并极有利于解决问题。要注意正确地应用它，才能达到应有的目的。而且在现在教学中搞好数形结合思想的教学，关键是教学中结合各个知识模块的内容、结合学生的认知结构，循序渐进地渗透这一数学思想，从而提高学生的数学品质，全面提高学生的素养。本文以中国古算中的“开方术”及其相关问题
2、的研究为例，说明中国古算形数结合的思想及方法论意义。【关键词】中国古算 开方术 形数结合On the thought of combine number with form from algorithms on extrac-tion of a root in classic china【Abstract】Several combining ideas is an important form of one of the mathematical way of thinking. The number and form is the essence of two forms， understa
3、nd and comprehend this is the important aspect of learning mathematics and often very beneficial to solve the problem. To pay attention to the correct application of it， to achieve the purpose of due. And now in teaching of several form does well with the teaching thought， the key is combined with a
4、ll knowledge teaching module content， combined with the students cognitive structure， the progressive penetration the mathematical ideas， so as to improve the students mathematical quality， improve the quality of the students. This paper takes the Chinese ancient count of the open each situation and
5、 related research of the problem as an example， the number of Chinese ancient form of the combination of the count thought and methodological significance.【Key Words】 Classic China， algorithms on extraction of aroot ， combine number with form目 录1引言12形数结合思想12.1形数结合思想的出现12.2形数结合的定义12.3对形数结合思想的认识12.4形数
6、结合的思想方法培养的体会22.5形数结合的意义23“开方术”中的形数结合思想23.1“开方术”23.2“开方术”中的形数结合思想23.2.1“开方术”几何方法简介33.2.2“开方术”中形数结合思想的应用3结论6参考文献6附录8致谢9石家庄学院毕业论文1 引言“形数结合”思想是中国传统数学的基本方法之一。在我国古代，数学称为算术，反映出中国传统数学以计算为中心的特点， 对于形的问题，也往往归结为数的计算，并用形的解析去证明数的计算结果或说明算法的合理性。这一方法在先秦时期就已初见端倪， 到公元前1世纪成书的数学经典九章算术的少广、商功、勾股诸章中有更多方面的应用，以后的数学家也大多继承了这一方
7、法并有所发展。例如魏晋时期大数学家刘徽在他的九章算术注里， 就称自己的方法是“析理以辞， 解体用图”。他提出“令出入相补， 各从其类”的出入相补原理，用图形的分、合、移、补进一步证明了不少数学恒等式， 实际上即是对“形数结合”这一科学方法的进一步发展。以刘徽为代表的中国数学家在注九章算术时， 写下了若干优秀的注解， 也绘制了许多图， 可惜不少已散失。仅以“开方术”中开平方及其相关问题的研究为例，说明中国古算“形数结合”的思想及方法论意义。2 形数结合思想2.1 形数结合思想的出现数的产生源于计数，是对具体物体个数的计数，从而产生数的概念。产生数的概念之后，在古代各种各样的计数法中，都是以具体的
8、“图形”来表示抽象的“数”，直到出现表示“数”的各种抽象符号，“数”才脱去了“形”的束缚，使得数的表示更便捷、简约，从而极大地拓展了人们对数的认识和应用。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，可以看作是“形数结合”的雏形。2.2“形数结合”的定义所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。具体讲就是在解决数学问题时根据问题的背景、数量关系、图形特征或使“数”的问题，借助“形”去观察或将“形”的问题借助“数”去思考，这种解决的思想称为数形结合思想。2.3 对形数结合思想的认识“数”是数量关系的体现
9、，而“形”则是空间形式的体现，数学中两大研究对象数与形的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远一方面，借助于图形的性质，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化简单化，揭示出隐含在它内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；另一方面，将图形问题转化为代数问题，通过数量关系的研究解几何问题 。“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。2.4 形数结合的思想方法培养的体会数学中的概念是人类关于客观世界数量和空间的关系形式的认识结晶。数学概念是数学思想方法的载体，许多概念，
10、尤其是那些基础概念，都是某种数学思想的反映。数学中的“数形结合”思想大部分源于概念教学过程。加强对基本概念的教学，是掌握数形结合的基础。概念教学中，要有意识地赋抽象概念以直观的“形”。要揭示概念的不同表达形式，使学生加深对概念的理解和掌握，为以后利用基本概念的不同形式解决较复杂的数学问题奠定坚实的基础。2.5“形数结合”的意义对于形与数的关系，华罗庚曾经这样说“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”总之，“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起
11、来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。形数结合作为一种数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。因此，引导学生理解和掌握以数学知识为载体的这一数学思想方法，有助于提高学生思维水平，使其真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而成为发展数学、运用数学的重要保证，也是现代教学思想与传统教学思想根本区别之一。3 “开方术”中的形数结合思想3.1 开方术从代数意义上说，中国古算中的开平方就是数值解。九章算术给出了完整的开平方的程序，是代数运算过程。但另一方面， 开又有分开
12、、分割的意义，因而从几何意义上来说，我国传统的“开方”又是从已经给出的面积为S的正方形中不断割去正方形以及曲尺形( 宽度从厚到薄) 的运算。刘徽以其对开方术的几何解释，说明了开方程式的正确性，并使人们对开方术有了直观性的感性认识，这是“形数结合”的典范。3.2 “开方术”中的形数结合思想3.2.1 开方术几何方法简介刘徽用它的几何意义来说明算法的合理性。对此， 数学史家郭书春先生有详尽的论述: 首先提出开平方的几何意义是“求方幂之一面也。”“面”即是边。这句话即是说求有一定面积的正方形的边长， 这就把开平方问题化成了面积问题。将开方程式中“借一算”由右向左“超一位”， 议得第一位得数 后， 从
13、原正方形面积中减去以为边长的正方形面积即黄甲的面积， 如图1。在这里， 刘徽将九章算术程序中的以法除实， 改进为。即求第二位得数 ， 不仅要从原正方形面积中剩余部分减去黄乙的面积， 而且要减去以黄甲之面为长， 黄乙之面为宽的两长方形的面积即二朱幂， 议得第二位得数后，从原正方形的面积中减去的面积。求第三位得数以 为定法， 是黄丙两旁的小长方形( 两青幂) 的长。议得第三位得数后， 从原正方形的剩余面积中减去， 依此类推。 图1总之， 取已给面积( 方步数) 作为实， 把已给的方步数作为所求边长上正方形面积， 开方运算就是为了确定，和而对于开立方， 刘徽同样从几何的意义上，揭示了这种代数运算和性
14、质的几何意义。刘徽指出“方适等，求其一面也”。这句话就是说开立方就是相当于求体积为被开方数的立方体的边长，程序与分割图形完全可以依照开平方。3.2.2“开方术”中形数结合思想的应用程序开方术刘徽注几何意义1置积为实。借一算。开方， 求方幂之一面也。求面积为55225的正方形边长x2步之。超一等。言百之面十也，言万之面百也。 3议所得。以一乘所借一算为法。而以除。先得黄甲之面，上下相命， 是自乘而除也。割去边长为的黄甲，这里=2，余面积15225，y=x-1004除已。倍法为定法。其复除。折法而下。欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除，欲除朱幂之角黄乙之幂。其意如初之所
15、得也。10割去朱幂二、黄乙。这里z=y-10 5复置借算步之如初。6以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。7以所得副从定法。复除，折下如前。再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。 z1001割去朱幂二、黄丙，取z=5，无余数。8复置借算步之如初9以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。刘徽之所以采用几何化的方案或许出自如下原因：一、利用几何直观，更易于讲解和叙述开方法的过程。二、别出心裁，利用术文中遣词的“多义性”展示另一种开方法。结论中国古算“形数结合”的思维本质是数学辩证法思想。它与西方以欧几里德为代表的几何学独立于数量关系而单纯研究空间形式的风格迥然相异。然而，“形数结合”的辩证思想又是
16、数学发展的一个很重要的条件。正如吴文俊院士所说:“在中国的传统数学中， 数量关系与空间形式往往是形影不离并肩地发展着的。我国的传统数学在研究空间形式时着重于可以通过数量来表达的那种属性， 几何问题也往往归结为代数问题来处理解决。在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的，“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的。相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比较简捷比较
17、容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”。刘徽“开方术”几何方法的发明，正是中国这种传统思想。” 因此， 无论从数学方法论的角度， 还是从数学发展的角度分析， 中国古算“形数结合”的思想方法价值不容低估。参考文献1傅海伦;贾冠军.从中国古算的“开方术”看形数结合思想J.自然杂志.28卷5期2 马秀琴.初中数学数形结合思想的研究和应用J.科学大众科学教育 2009年第7期3 田 劲. 浅谈数学教学中的数形结合思想J. 科技 向导.2010年第32 期 42007年11、12期自然数概念的形成与发展及其对教学的启示Z 5张硕，石俊娟.关于中学数学思想方法教学的思考J.数
18、学通报，2007 ，(10):8. 6 洪利芳. 品教材，悟形数结合Z.宁波市2011年初中数学学科教学论文评比获二等奖 7 曲安京. 九章算术的开方术：几何的还是代数的？J.商洛师范专科学校学报.1988年12月 第9卷第4期 8 倪科社.九章算术及刘徽注开方术当议J.石河子农学院学报.1994年 第12卷（第1-2期）9 袁南桥.九章算术开方术今释J.川东学刊（自然科学版）.1996年4月第6卷第2期 10数形结合的思想方法(1)-应用篇Z附录1刘徽对九章算术开方法的理解是几何化的在开方术程序2）之下，刘徽注云：“先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除。”显见刘徽将方法与首商同位，皆命取黄甲之
19、边长。对于程序3）刘徽注云：“倍之者，豫张两面，朱幕定褒，以待复除，故曰定法。”朱幕定意，即黄甲的边长，为首商之结果，既定。复除，欲定其宽，即黄乙边长。此句再次表示方法是一维几何量。在程序6） 之下，刘徽云：“再以黄乙之面加定法者，是则张两青幕之褒， ”黄乙之面即术文“所得副”亦即次商的结果，青幕之褒是朱幕之褒与黄乙之面的和。刘徽直言“所得副”为黄乙之面，仍视其为一维几何量。在开方术刘徽注的文字中， “法”或“定法”被赋予一维几何量特征。因此刘徽对九章算术的理解是几何化的。2.刘徽“开方术”方法详解不妨设所求的被开方数的平方根为，它是面积为R的正方形（图中的外大方）的一边之长。又设“黄甲”、“
20、黄乙”、“黄丙”等正方形的一边之长依次为、。在开方过程中，第1次除法中的“法”为， 首商为，两者数值相同，所以刘徽称这种除法为 “上下相命，是自乘而除也”。第2次除法中的“法”是2（）+，次商为“法”中的前项，术文称之为“定法”，其几何意义，如刘徽所说，是“豫张两面朱幂定裹”；“法”中的后项，刘徽注称 “欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也”。此处所谓“如初之所得” ，应理解为象第1次除法那样，将“法”中的与次商。 通过“自乘而除”达到除去“黄乙之幂”的目的。同理，第3次除法中的“法”是，第3位商是 “法”中的前部分，术文也称之为“定法”，其几何意义，也如徽法所云 “是则张两青幕之裹”。上面总共进行了三次除法，从几何图形上看，第1次除去了“黄甲之幂”，第2次除去了“朱幂”与“黄乙之幂” ，第3次除去了“青幂”与“黄丙之幂” 。青幂黄丙朱 幂黄乙黄幂黄 甲朱幂致谢 9