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1、线性空间的直和分解及相关性质 摘 要：线性空间直和分解问题在数学的许多领域有着广泛的应用。本文给出了线性空间V分解为它的线性变换的核Ker与象Im的直和的一个充分条件为为幂等变换，并且给出了线性空间在线性变换多项式下的直和分解定理以及线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解的关系。此外，也探究了直和运算的相关性质及无穷维线性空间的直和分解问题。关键词：线性变换；幂等变换；Jordan标准型；直和分解；直和运算The straight sum decomposition of linear space and related propertiesZhang Haicheng School
2、 of mathematics and computer scienceAbstract:The theorem which is the straighe sum decomposition of linear space has been widely applied in many fileds of mathematics. In this paper,we have established a sufficient condition that linear space V is decomposed to the direct sum of Linear transformatio
3、n kernel Ker and image Im,which is the idempotent transformation.Besides,A theorem which is the straight sum decomposition of linear space under a linear transformation polynomial is given,and the relate result is generalized.In addition,wo have also explored some related properties of the operation
4、s for direct sum,and the straight sum decomposition of infinite dimensional linear space.Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard; straighe sum decomposition; straighe sum operation线性空间写成其子空间直和的若干方法:一. V分解为Ker与Im的直和的条件1. 问题的提出设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，在V是有限维向量空间的情形，我们有：的核K
5、er与的象Im的维数之和等于V的维数，即：dim Ker+dim Im=dim V这就提出这样一个问题：V能否分解为的核Ker与象Im的直和？虽然子空间Ker与Im的维数之和等于dim V，但是Ker+ Im并不一定是整个空间V。例如，在线性空间中，求导数的象= ，的核=F.显然，F+,更不会有=F成立.那么，满足什么条件，V能分解为Ker与Im的直和呢？1.1 V分解为Ker与Im的直和的条件我们先证明一个引理. 引理1.1.1 设是数域F上线性空间V上的一个线性变换，并且满足=（为幂等变换），则 Ker= -（）：V . 证明 令W= -（）：V, 先证明Ker W.对任意的 Ker，有（
6、）=，因此=-=-（）W，即得Ker W.其次证明，W Ker.对任意的 W，存在V，使得=-（）.由于=，则对任意的V，有.于是=（-（）=.即：=，可得：，因此W Ker.综上所证，可得Ker=W，引理得证.由引理可得如下定理：定理1 设是数域F上线性空间V的一个线性变换，并且满足=，则有证明 由引理 Ker= -（）：V.则对任意的V，有=（-（）+（）.即：，所以V Ker+.而显然有Ker+V，于是V= Ker+.此外，对任意的 Ker ，有： Ker且.由 Ker，得（）=;而，故存在V，使得=（）.此时，=（）=（）=.即：对任意的 Ker ，有=.由此 Ker =，因此.1.2
7、上述定理，条件=不是必要的.我们看下面的例子例1 令表示数域F上四元列空间，取矩阵A= 对任意的，令（）=A，则阵乘变换是一个线性变换，且的核Ker是以A为系数矩阵的四元齐次线性方程组的解空间.求解齐次线性方程组AX=，得一组基础解系，. 因此Ker=L（，）.而的象Im为A的列空间，可得Im=L（，）,这里，.因为，线性无关，从而作成的一个基，故：= Ker+ Im.并且有dim =dim Ker+dim Im，因此= Ker Im.但此时，. 事实上，存在=，使得=，（）=A=，即：， 因此，.所以，在定理中，条件=不是必要的.定理1说明了线性空间V上的幂等变换能够使V= KerIm成立，
8、即给V带来了直和分解. 为幂等变换是V分解为Ker与 Im的直和的充分而不必要条件.然而，如果已知线性空间V的一个直和分解，则由该直和分解同样也可带来幂等变换.定理2 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW.任取V，设=+，其中U，W.令：VV，=+.则是V上的一个线性变换，称是平行于W在U上的投影，它满足（）=（1）且满足（1）式的V上的线性变换是唯一的.证明 由于V=UW，因此表示成U的一个向量与W的一个向量之和的方式唯一，从而是V到V的一个映射。任取V中两个向量=+，其中、U，、W，则+U，+W.从而（+）=（+）+（+）=+=（）+（）.（k）=（k+k）=k
9、=k（），kF.因此，是V上的一个线性变换.如果U，则=+，从而（）=；如果W，则=+，从而（）=.设V上的线性变换也满足（1）式，任取V，设=+,其中U，W.则（）=（+）=（）+（）=+=（），因此，=.类似地，定义（）=，则也是V上的一个线性变换，称它为平行于U在W上的投影.系1 设V是数域F上的一个线性空间，U，W是V的两个子空间，且V=UW，则投影变换、均是V上的幂等变换，而且与是正交的.证明 任取V，设=+，U，W，则（）=（）=（）=（）；（）=（）=（）=；（）=（）=（）=;因此，=，=，类似有=.以上定理说明线性空间V上的幂等变换与线性空间的直和分解有着密切的关系，我们有必
10、要研究幂等变换的性质.系2 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，是幂等变换的充要条件是rank（）+rank（-）=n.二. 线性空间在线性变换多项式下的直和分解首先给出线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解定理：引理2.1 ，且=1，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，. 则Im（）=Ker（），Ker（）=Im（）.证明 任取 Im（），则存在使得：=.所以=.从而 Ker（），即Im（）Ker（）.另一方面 因为（，）=1，所以存在，使得 即：.任意 Ker（），即=.所以= Im（）.因此Ker（） Im（）. 故：Im（）=Ker（）.同理可证Ker（）=Im（）.定理3（
11、空间分解定理） 设， 为不可约多项式且彼此不同，是数域P上的n维线性空间V上的线性变换，. 则，其中.证明 分3步完成1） 令则（）=1，=.所以=Im（），.2） 又，则存在使得.即：.任取V，则=，其中=，.所以V=.3） 假设= Im（），=即，= .又（，则=（）.而（）=，所以=，.又（）=1，所以有多项式，使得：，即有：，故：.定理4 设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积：.则V可以分解成不变子空间的直和：，其中.定理5 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，为的最小多项式，且=，其中为不可约因子且（）=1（，.则，其中，.以上三个直和分解定理均是Hamilton
12、-Cayley定理的重要应用.线性空间直和分解问题在数学、力学、物理学及许多领域有着广泛的应用.现在给出直和分解定理应用的例子.例2 考虑4维线性空间V=中由矩阵A决定的线性变换：=A,任意V，的直和分解问题.其中A=.此时，线性变换的特征多项式为：它在实数域R上只有特征值，在R上不可约.由直和分解定理，可以计算出，；=，容易验证，为V的一组基. 显然V=为的直和.三. 线性变换的Jordan标准型与线性空间的直和分解定理6 复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有Jordan标准型，并且这个Jordan标准型矩阵除去其中若尔当的排列次序外是被线性变换唯一决定的.Jordan标准型的求法：1
13、） 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.2） 每一个初等因子对应一个若而当块.3） 就是A的Jordan标准型.例3 求复数域上下述矩阵的Jordan标准型 A=.首先求的初等因子：=.因此，A的初等因子是，A的Jordan标准型为.定义1 ： V上线性变换的一个Jordan基是V的一个基，它使得在这个基下的矩阵为Jordan形矩阵.当我们已经求出的Jordan标准型J以后，为了求出的一个Jordan基，只要把原来的基到Jordan基的过渡矩阵P求出即可.由于J=，
14、所以P是矩阵方程AX=XP(*)的解并且应为可逆矩阵.如果dimV=n，则（*）是个未知量的由个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出X=（），选取可逆矩阵（因为的Jordan标准型存在，所以满足方程（*）的可逆矩阵一定存在），便可作为过渡矩阵P.例4 求例2的线性变换的一个Jordan基.解 设X=，由的Jordan标准型以及方程（*）得：，所以=，=3，=由此看出，是的属于1的一个特征向量，解方程组（E-A）Y=，得.同理，是的属于3的一个特征向量，解方程组（3E-A）Y=，得.再去解方程组（A-3E）Y=，.它的一个特解是，取，则.容易看出X是可逆矩阵，它就可作为V的原来的基到的
15、一个Jordan基的过渡矩阵. 所以：，即的一个Jordan基是：.定理7 设是数域F上n维线性空间V上的线性变换，则V能分解成的一些非平凡不变子空间的直和当且仅当V中存在一个基，使得在此基下的矩阵为分块对角矩阵：.（2）证明 必要性. 设V是的一些非平凡不变子空间的直和：.在每个中取一个基，从（2）式得出：（3） 是V的一个基. 由于是-子空间，因此从而在（3）式给出的基下的矩阵为 . 充分性. 设在V的一个基 下的矩阵A=diag，其中是级方阵， 令 由于因此.从而是-子空间，显然是非平凡的，由于的一个基当时，合起来是V 一个基，因此是直和,从而. 从定理7的证明中可以看出，（2）式给出的
16、矩阵中，就是在的一个基下的矩阵，其中.推论 设是复数域上n维线性空间V上的线性变换，（，）是的一个Jordan基，则，其中，.例5 设是复数域上线性空间V上的线性变换，是V的一个基，在这组基下的矩阵为A=，求线性空间V的一个直和分解.由例2知 A的Jordan标准型为.由例3知的一个Jordan基是：.则由推论，令，. 则.线性空间直和分解的若干性质：1. 维数命题1.1 设都是数域F上有限维线性空间V上的子空间，当且仅当，.2. 向量表示命题2.1设都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，当且仅当且零向量的表示法唯一.命题2.2设都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，若子空间的和不
17、是直和，则V的每个向量的表示法都不唯一.证明 设V中有向量表为，且表法唯一.又设，则得=+=.但表示法唯一，故=，=.从而，即表示法唯一，所以是直和，与假设矛盾. 因此，W中每个向量的表示法都不唯一.系3 上述命题表明，子空间的和V中只要有一个向量表示法唯一，就能保证其中所有向量都表示法唯一，从而必为直和.3. 交命题3.1设都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，当且仅当且.命题 3.2 设都是数域F上（有限维）线性空间V上的子空间，子空间的和是直和当且仅当 （4）证明 由于，故：.因此，若是直和，则由命题3.1知，（4）式成立.反之，设（4）成立，但不是直和，则表示法不唯一，即存在不全
18、为零的向量使.设且，则由上得这与（4）矛盾，故是直和.4. 运算律命题4.1 直和可以“代入” 若，则.证明 （5）显然.又若，则.于是由（5）得.但是，故.因此.命题4.2 直和可以“加括号”若，则证明 显然.又若.可设，则.但是直和，故.从而.因此，系4 由命题4.2知直和运算结合律成立，即.无限维线性空间的直和分解定义2：设B是数域F上线性空间V的一个非空子集，若B中任意有限个向量线性无关，且V中每个向量都可由B中有限个向量线性表示，则称B是V的基. 定理8 设分别是数域F上线性空间V的子空间的一基，则是直和当且仅当.证明 若是直和，则，从而.又若，其中.则因为是直和，故必有.但因为是子
19、空间的基，故.即中任意有限个向量均线性无关. 再任取，则由可由中有限个向量线性表示，可由中有限个向量线性表示，故可由中有限个向量线性表示. 从而是的基.反之，若，则任取，并令：，则. 但因为，线性无关，故.于是，故是直和.参考文献1北京大学数学系.高等代数M.第三版.北京：高等教育出版社，20032国防科技大学大学数学竞赛指导组.大学数学竞赛指导M.北京：清华大学出版社，20093查建国等.线性代数M.合肥：中国科学技术大学出版社，20054杨子胥.高等代数精选题解C.北京：高等教育出版社，20085丘维声.高等代数M.第二版（下册）.北京：高等教育出版社，20036梁聪刚，赵伟杰.线性空间在一类线性变换多项式下的直和分解J.平顶山学院学报，2009（2）：61-62