2020版数学人教A版必修3学案：第三章 专题突破四 Word版含解析.pdf

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1、专题突破四 用两种概型计算时的几个关注点专题突破四 用两种概型计算时的几个关注点 一、关注基本事件的有限性和等可能性 例 1 袋中有大小相同的 3 个白球， 2 个红球， 2 个黄球， 每个球有一个区别于其他球的编号， 从中随机摸出一个球 (1)把每个球的编号看作一个基本事件建立的概率模型是不是古典概型？ (2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立的概率模 型是不是古典概型？ 思维切入 将基本事件列出来，分析是否有限和等可能 解 (1)因为基本事件个数有限，而且每个基本事件发生的可能性相同，所以是古典概型 (2)把球的颜色作为划分基本事件的依据，可得到“取得一

2、个白球”“取得一个红球”“取得 一个黄球” ，共 3 个基本事件这些基本事件个数有限，但“取得一个白球”的概率与“取得 一个红球”或“取得一个黄球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型 点评 只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一 个不满足就不是古典概型 跟踪训练 1 一个口袋内装有大小相等的 1 个白球和已有不同编号的三个黑球，从中任意摸 出 2 个球 (1)共有多少个不同的基本事件，这样的基本事件是否为等可能的？该试验是古典概型吗？ (2)摸出的两个球都是黑球记为事件 A，问事件 A 包含几个基本事件？ (3)计算事件 A 的概率 解 (1)任

3、意摸出两球，共有白球和黑球 1，白球和黑球 2，白球和黑球 3，黑球 1 和 黑球 2，黑球 1 和黑球 3，黑求 2 和黑球 36 个基本事件 因为 4 个球的大小相同，所以摸出每个球是等可能的，故 6 个基本事件都是等可能事件 由古典概型定义知，这个试验是古典概型 (2)从 4 个球中摸出 2 个黑球包含 3 个基本事件故事件 A 包含 3 个基本事件 (3)因为试验中基本事件总数 n6，而事件 A 包含的基本事件数 m3.所以 P(A) . m n 3 6 1 2 二、关注基本事件的计算，做到不重不漏 例 2 一只口袋内装有 5 个大小相同的球，白球 3 个，黑球 2 个，从中一次摸出

4、2 个球 (1)共有多少个基本事件？ (2)“2 个都是白球”包含几个基本事件？ 思维切入 将结果一一列举，再计算基本事件数 解 方法一(1)(列举法) 分别记白球为1,2,3号， 黑球为4,5号， 则所有的基本事件如下 ： 1,2， 1,3， 1,4， 1,5， 2,3， 2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，共 10 个(其中1,2表示摸到 1 号球和 2 号球) (2)由(1)中知，“2 个都是白球”包含1,2，1,3，2,3，共 3 个基本事件 方法二(2)(列表法) (1)设 5 个球的编号分别为 a，b，c，d，e，其中 a，b，c 为白球，d，e 为黑球列表如下： abcde

5、aa，ba，ca，da，e bb，ab，cb，db，e cc，ac，bc，dc，e dd，ad，bd，cd，e ee，ae，be，ce，d 由于每次取 2 个球，每次所取 2 个球不相同，而摸到b，a与a，b是相同的事件，故共有 10 个基本事件 (2)由(1)中知，“2 个都是白球”包含a，b，b，c，a，c，共 3 个基本事件 点评 计算基本事件的个数时， 要做到不重不漏， 就需要按一定程序操作， 如列举法， 列表法， 还可以用树状图法求解 跟踪训练 2 从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取三个不同的数字，求下列事件的概率： (1)A三个数字中不含 1 和 5； (2)B三个数字中

6、含 1 或 5 解 这个试验的所有可能结果为 ： (1,2,3)， (1,2,4)， (1,2,5)， (1,3,4)， (1,3,5)， (1,4,5)， (2,3,4)， (2,3,5)， (2,4,5)，(3,4,5)，共 10 种 (1)事件 A 为(2,3,4)，故 P(A). 1 10 (2)事件 B 的所有可能结果为 ： (1,2,3)， (1,2,4)， (1,2,5)， (1,3,4)， (1,3,5)， (1,4,5)， (2,3,5)， (2,4,5)， (3,4,5)，共 9 种故 P(B). 9 10 三、关注事件间的关系，优化概率计算方法 例 3 有 3 个完全相同

7、的小球 a，b，c，随机放入甲、乙两个盒子中，求两个盒子都不空的概 率 思维切入 先分析三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件，再确定两个盒子都不空的 对立事件是至少有一个盒子为空所包含的事件，从而确定该事件的概率 解 a，b，c 三个小球随机放入甲、乙两个盒子的基本事件为： 甲盒a，b，ca，baa，cb，cbc空 乙盒空cb，cbac，aa，ba，b，c 两个盒子都不空的对立事件是至少有一个盒子为空，所包含事件 ： 甲盒子 a，b，c，乙盒子空 ； 甲盒子空，乙盒子 a，b，c，共 2 个，故 P1 . 2 8 3 4 点评 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事

8、件，由公式 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)求得或采用正难则反的原则，转化为其对立事 件，再用公式 P(A)1P( )求得A 跟踪训练 3 袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中任取 1 只，有放回地抽取 3 次， 求 3 只颜色不全相同的概率 解 记“3 只颜色全相同”为事件 A，则所求事件为 A 的对立事件因为“3 只颜色全相同” 又可分为“3 只全是红球(事件 B)” ，“3 只全是黄球(事件 C)” ，“3 只全是白球(事件 D)” ，且 它们彼此互斥， 故 3 只颜色全相同即为事件 BCD， 由于红、黄、白球的个数一样，基本事件的总数为 27， 故有 P(B

9、)P(C)P(D)， 1 27 所以 P(A)P(BCD)P(B)P(C)P(D) ，因此有 P( )1 . 1 9 A 1 9 8 9 四、关注事件的测度，规避几何概型易错点 例 4 (1)在 RtABC 中， A90， ABAC， 过点 A 作一射线交线段 BC 于点 M， 求 BMAB 的概率； (2)在 RtABC 中，A90，ABAC，在线段 BC 上取一点 M，求 BMAB 的概率 思维切入 (1)“过点 A 作一射线”等可能地分布在BAC 内，测度为角度 (2)“在线段 BC 上取一点 M” ，等可能地分布在线段 BC 上，测度为长度 解 (1)记“过点 A 作一射线交线段 BC

10、 于点 M，使 BMAB”为事件 ，由于是过点 A 作一 射线交线段BC于点M， 所以射线在BAC内是等可能出现的， 又当ABBM时BAM67.5， 所以 P() . d的测度 D的测度 67.5 90 3 4 (2)设 ABAC1，则 BC，设“在线段 BC 上取一点 M，使 BMAB”为事件 ，2 则 P(). d的测度 D的测度 1 2 2 2 点评 当试验是“过点 A 作一射线”时，用角度作测度 ； 当试验是“在线段 BC 上取一点”时， 用线段长度作测度一般地，试验是什么，可以确定基本事件是什么基本事件累积起来， 就可以确定区域是角度、长度还是面积等 跟踪训练 4 (1)如图，在单位

11、圆 O 的某一直径上随机的取一点 Q，求过点 Q 且与该直径垂直 的弦长长度不超过 1 的概率 解 弦长不超过 1，故 OQ，因为 Q 点在直径 AB 上是随机的，设事件 A 为“弦长长度 3 2 超过 1” ，由几何概型的概率计算公式得，P(A). 3 2 2 2 3 2 所以其对立事件 “弦长不超过 1”的概率为 P( )1P(A)1.AA 3 2 (2)设 A 为单位圆 O 圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点 B 与 A 连接，则弦长超过的2 概率是_ 答案 1 2 解析 在圆 O 上有一定点 A，任取一点 B 与点 A 连接，且弦长超过，即为AOB 的度数2 大于 90，而小于 27

12、0. P(A) . 27090 360 1 2 1 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球， 这些小球除标注的数字不同外其他 完全相同 现从中随机取出 2 个小球， 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( ) A. B. C. D. 3 10 1 5 1 10 1 12 答案 A 解析 随机取出 2 个小球得到的结果有 10 种， 取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的结果为 1,2，1,5，2,4，共 3 种，所以 P，故选 A. 3 10 2从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合a，b，c的子集的 概率是( ) A. B.

13、C. D. 3 5 2 5 1 4 1 8 答案 C 解析 集合a，b，c，d，e共有 2532(个)子集，而集合a，b，c的子集有 238(个)，所 以所求概率为 P . 8 32 1 4 3盒子里有 25 个外形相同的球，其中有 10 个白球，5 个黄球，10 个黑球，从盒子中任意取 出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为( ) A. B. C. D. 1 5 2 5 1 3 2 3 答案 D 解析 试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有 51015(种)结果， 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有 10 种结果， 因此它是黑球的概率 P .故选 D. 10 15

14、 2 3 4 在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a， 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b，则“ 不是整数”的概率为_ a b 答案 2 3 解析 在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a， 再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为 b， 基本事件总数 n4312. “ 不是整数”包含的基本事件有 ，共 8 个 a b 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 2 3 4 4 3 “ 不是整数”的概率 P . a b 8 12 2 3 5在区间0,2中随机地取出两个数，求两数之和小于 1 的概率 解 设 x，y 表示所取的任意两个数， 由于 x0,2，y0,2

15、， 以两数 x，y 为坐标的点在以 2 为边长的正方形区域内， 设 “两数和小于 1” 为事件 A， 则事件 A 所在区域为直线 xy1 的下方且在正方形的区域内， 设其面积为 S. 则 S ， 1 2 P(A) . S 4 1 8 6已知关于 x 的二次函数 f(x)ax2bx1，设集合 P1,2,3，Q1,1,2,3,4，分别从 集合 P 和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到数对(a，b). (1)列举出所有的数对(a，b)，并求函数 yf(x)有零点的概率； (2)求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率 解 (1)(a， b)有(1， 1)， (1,1)， (1,2)， (1

16、,3)， (1,4)， (2， 1)， (2,1)， (2,2)， (2,3)， (2,4)， (3， 1)， (3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，共 15 种情况 函数 yf(x)有零点等价于 b24a0，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共 6 种 情况满足条件 所以函数 yf(x)有零点的概率为 . 6 15 2 5 (2)因为 a0，函数 yf(x)图象的对称轴为直线 x，在区间1，)上是增函数，所以有 b 2a 1， 满足条件的(a， b)为(1， 1)， (1,1)， (1,2)， (2， 1)， (2,1)， (2,2)， (

17、2,3)， (2,4)， (3， 1)， (3,1)， b 2a (3,2)，(3,3)，(3,4)，共 13 种 所以函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率为. 13 15 一、选择题 1一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖的概率为( ) A. B. C. D. 1 8 7 9 2 9 7 16 答案 C 解析 由题意知，这是一个与面积有关的几何概型题这只小狗在任何一个区域的可能性一 样图中有大小相同的方砖共 9 块，显然小狗停在阴影方砖的概率为 . 2 9 2甲在微信群中发布 6 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若三人均领到整数 元，且每人至少领到 1 元，

18、则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概 率是( ) A. B. 3 4 1 3 C. D. 3 10 2 5 答案 D 解析 用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为 x 元、y 元、z 元 乙、丙、丁三人抢完 6 元钱的所有不同的可能结果有 10 种，分别为(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)， (1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2) 乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有 4 种，分别为(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2) 根据古典概型的概率计算公式，得乙

19、获得“手气最佳”的概率 P . 4 10 2 5 3(2018自贡模拟)已知 a0,1,2，b1,1,3,5，则函数 f(x)ax22bx 在区间(1，) 上为增函数的概率是( ) A. B. 5 12 1 3 C. D. 1 4 1 6 答案 A 解析 a0,1,2，b1,1,3,5， 基本事件总数 n3412. 函数 f(x)ax22bx 在区间(1，)上为增函数， 当 a0 时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)，即 a0，b1； 当 a0 时，需要满足 1，符合条件的有(1，1)，(1,1)，(2，1)，(2,1)，共 4 种 b a 函数 f(x)ax22bx 在区间(1，)上

20、为增函数的概率是 P. 5 12 4(2018郑州检测)每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需 选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为( ) A. B. C. D. 3 5 2 5 1 5 3 10 答案 B 解析 设男生为 A， B， C， 女生为 a， b， 从 5 人中选出 2 名志愿者有 ： (A， B)， (A， C)， (A， a)， (A， b)， (B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共 10 种等可能情况，其中选出的 2 名志 愿者性别相同的有(A，B)，(A，C)

21、，(B，C)，(a，b)，共 4 种等可能的情况，则选出的 2 名志 愿者性别相同的概率为 P . 4 10 2 5 5 设 m， n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数， 则在先后两次出现的点数中有 5 的条件下， 方程 x2mxn0 有实根的概率为( ) A. B. C. D. 11 36 7 36 7 11 7 10 答案 C 解析 先后两次出现的点数中有 5 的情况有 ： (1,5)， (2,5)， (3,5)， (4,5)， (5,5)， (6,5)， (5,1)， (5,2)， (5,3)， (5,4)， (5,6)， 共 11 种， 其中使方程 x2mxn0 有实根的情况有 ： (

22、5,5)， (6,5)， (5,1)， (5,2)， (5,3)，(5,4)，(5,6)，共 7 种故所求事件的概率 P. 7 11 6从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一 张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A. B. C. D. 1 10 1 5 3 10 2 5 答案 D 解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图： 基本事件总数为25， 第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10， 所求概率P . 10 25 2 5 7.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为

23、 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 M ABCD 的体积小于 的概率为( ) 1 6 A. B. C1 D2 1 3 1 2 答案 B 解析 过点 M 作平面 RST平面 ABCD(图略)， 则两平面间的距离是四棱锥 MABCD 的高， 显然点 M 在平面 RST 上任意位置时，四棱锥 MABCD 的体积都相等若此时四棱锥 M ABCD 的体积等于 ，只要 M 在截面以下即可小于 ，当 VMABCD 时，即 11h ， 1 6 1 6 1 6 1 3 1 6 解得 h ，此时点 M 到底面 ABCD 的距离为 ，所以所求概率 P . 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 8

24、(2018衡水联考)2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行 了以此为主题的金银纪念币如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 mm，面额 100 元为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在 军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A. mm2 B. mm2 363 10 363 5 C. mm2 D. mm2 726 5 363 20 答案 A 解析 向硬币内投掷 100 次，恰有 30 次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是 S 30 100 112(mm2) 363 10 9.如图，

25、在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自空白部分的概率是( ) A1 B. 2 1 2 1 C. D. 2 1 答案 C 解析 设分别以 OA， OB 为直径的两个半圆交于点 C， 分别取 OA， OB 的中点为 D， E， 如图， 连接 OC，DC，CE， 不妨令 OAOB2， 则 ODDADCOECE1. 在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S1 111， 4 1 2 ( 4 1 2 1 1) 所以整个图形中空白部分面积 S22S12. 又因为 S扇形 OAB 22， 1 4 所以所求概率 P . 2 二、填空题

26、10在集合Error!Error!中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 cos x 的概率是_ 1 2 答案 3 10 解析 基本事件总数为 10，满足方程 cos x 的基本事件数为 3，故所求概率 P. 1 2 3 10 11现有 5 根竹竿，它们的长度(单位 ： m)分别为 2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中随机抽取 2 根 竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为_ 答案 0.2 解析 从5根竹竿中随机抽取2根竹竿的基本事件有10个， 它们的长度恰好相差0.3 m的是2. 5 和 2.8,2.6 和 2.9 两个，故它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为0.2.

27、2 10 12一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路 径，则它能获得食物的概率为_ 答案 1 3 解析 该树枝的树梢有 6 处，蚂蚁到达各处的可能性相同，有 2 处能找到食物，所以获得食 物的概率为 . 2 6 1 3 三、解答题 13某地区有 21 所小学，14 所中学，7 所大学，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目； (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，求抽取的 2 所学校均为小学 的概率 解 (1)63,62,61，所以从小学、中学、大学

28、中分 21 21147 14 21147 7 21147 别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)在抽取到的 6 所学校中，将 3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为 A4，A5，大 学记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为 A1， A2， A1， A3， A1， A4， A1， A5， A1， A6， A2， A3， A2， A4， A2， A5， A2， A6， A3， A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 15 种 从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 A)的所有可能结果为A1，A2，A1，A3， A2，A3，共

29、3 种，所以 P(A) . 3 15 1 5 14设有一质地均匀的蛇螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间0,1上的数字，另一半均匀地 刻上区间1,3上的数字，旋转它，则它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于上的概率 1 2， 3 2 是_ 答案 3 8 解析 由题意，记事件 A 为“陀螺停止时，其圆周上触及桌面的刻度位于” 设圆的周 1 2， 3 2 长为 C，则 P(A) . 1 2 1 2C 1 4 1 2C C 3 8 15(1)在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M，求事件“|AM|1”的概率； (2)某班在一次数学活动中，老师让全班 56 名同学每人随机写下一对都小于 1 的正实

30、数 x，y， 统计出两数能与 1 构成锐角三角形的三边长的数对(x，y)共有 12 对，请据此估计 的近似值 (精确到 0.001) 解 (1)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 M，满足条件的点 M 落在扇形 BAD 内 (图中阴影部分) 由几何概型的概率计算公式， 有P(|AM|1) ， 故事件 “|AM|1” S阴影部分 S正方形ABCD 4 的概率为 . 4 (2)以点 A 为坐标原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 任取两个小于 1 的正数 x，y，所有基本事件构成区域 Error!Error!，即正方形 ABCD 内部 事件 “以 x

31、， y 与 1 为边长能构成锐角三角形” 包含的基本事件构成区域 NError!Error!， 即扇形 BAD 以外正方形 ABCD 以内的阴影部分易知区域 中任取一点来自区域 N 的概率 P(N)1 . 4 全班 56 名同学每人随机写下一对都小于 1 的正实数 x， y， 可以看作在区域 中任取 56 个点， 满足“以 x，y 与 1 为边长能构成锐角三角形”的数对(x，y)共有 12 对，即有 12 个点落在区 域 N 中，故其频率为，用频率估计概率，有 1 ，即 ， 12 56 3 14 4 3 14 4 11 14 所以 43.143，即 的近似值为 3.143. 11 14 22 7