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1、课时跟踪检测（三十八） 空间几何体及表面积与体积课时跟踪检测（三十八） 空间几何体及表面积与体积 A 级 保分题准做快做达标 1.关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是( ) A棱柱的侧棱长都相等 B棱锥的侧棱长都相等 C三棱台的上、下底面是相似三角形 D有的棱台的侧棱长都相等 解析：选 B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等 2一个球的表面积为 16，那么这个球的体积为( ) A. B. 16 3 32 3 C16D24 解析 ： 选B 设球的半径为R， 则由4R216， 解得R2， 所以这个球的体积为 R3 4 3 . 32 3 3如图所示，等腰ABC是ABC的直观图，
2、那么ABC是( ) A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D钝角三角形 解析 ： 选 B 由题图知ACy轴，ABx轴， 由斜二测画法知， 在ABC中，AC y轴，ABx轴，ACAB.又因为ACAB，AC2ABAB，ABC是直角三 角形 4下列说法中正确的是( ) A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 解析：选 D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时， 尽管各面都是三角形，但它不
3、是三棱锥，故 A 错误 ； 若三角形不是直角三角形或是直角三角 形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故 B 错误 ； 若六棱锥的所有棱都 相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于 底面边长，故 C 错误选 D. 5(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的 角为 30，则该长方体的体积为( ) A8B6 2 C8D823 解析 ： 选C 如图， 连接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C， AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所 成的角， AC1B30.又ABBC2， 在 RtA
4、BC1中，AC14.在 RtACC1中， 2 sin 30 CC12，V长方体ABBCCC12228.AC2 1AC2422222222 6下列几何体是棱台的是_(填序号) 解析 ： 都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故不满足题意中的截面 不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题意符合棱台的定义，故填. 答案： B 级 难度题适情自主选做 1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个 正方形， 则原来的图形是( ) 解析：选 A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形2 为平行四边形，位于y轴上的对角线长为 2.2 2平面截球O的球面所得圆的半
5、径为 1，球心O到平面的距离为，则此球的2 体积为( ) A.B463 C4D663 解析 ： 选B 设球的半径为R， 由球的截面性质得R， 所以球的体积V 22123 R34. 4 3 3 3若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面 2 3 积的比为( ) A32B21 C43D53 解析 ： 选 C 底面半径rll， 故圆锥的S侧 l2，S表 l2 2 l2， 2 3 2 1 3 1 3 1 3( 1 3l) 4 9 所以表面积与侧面积的比为 43. 4(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面 截该圆柱所得的截面是面积
6、为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A12B122 C8D102 解析 ： 选 B 设圆柱的轴截面的边长为x，则x28，得x2，S圆柱表2S底S侧2 2()22212.故选 B.222 5已知正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的 表面积为( ) A.B16 81 4 C9D.27 4 解析 ： 选 A 如图，设球心为O， 半径为r， 则在 RtAOF中，(4 r)2()2r2，解得r ，所以该球的表面积为 4r24 2 2 9 4( 9 4) . 81 4 6(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC为等 边三角形
7、且其面积为 9，则三棱锥DABC体积的最大值为( )3 A12B1833 C24D5433 解析 ： 选 B 由等边ABC的面积为 9， 可得AB29， 所以AB6，3 3 4 3 所以等边ABC的外接圆的半径为rAB2.设球的半径为R，球心到等边ABC的外接 3 3 3 圆圆心的距离为d，则d2.所以三棱锥DABC高的最大值为 246，R2r21612 所以三棱锥DABC体积的最大值为 9618. 1 3 33 7(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面 体的体积为_ 解析 ： 由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱2 锥组
8、合而成的，正四棱锥的高为 1，所以这个八面体的体积为 2V正四棱锥2 ()21 1 3 2 . 4 3 答案：4 3 8.鲁班锁是中国传统的智力玩具， 起源于中国古代建筑中首创的榫卯 结构， 它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称， 六根等长的正四棱柱分成三组，经 90榫卯起来若正四棱柱的高为 5， 底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容 器的表面积至少为_(容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ) 解析：该球形容器最小时，两个正四棱柱组成的四棱柱与球内接，此时球的直径 2R等 于四棱柱的体对角线，即 2R，故球形容器的表面积为 4R230.52221
9、230 答案：30 9(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆 7 8 锥底面所成角为 45，若SAB的面积为 5，则该圆锥的侧面积为_15 解析：如图，SA与底面成45角，SAO为等腰直角三角形 设OAr，则SOr，SASBr.2 在SAB中，cosASB ， 7 8 sinASB， 15 8 SSABSASBsinASB (r)25，解得r2， 1 2 1 2 2 15 8 1510 SAr4，即母线长l4，255 S圆锥侧rl2440.1052 答案：402 C 级 难度题适情自主选做 1.如图，一个圆锥的底面半径为 2，高为 4，在其中有一个高为
10、x的内接 圆柱 (1)求圆柱的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧2rx. ，r (4x) r 2 4x 4 1 2 代入，S圆柱侧2x (4x)(x24x)(0x4) 1 2 (2)S圆柱侧(x24x)(x2)24， x2 时，S圆柱侧最大4. 2有一矩形ABCD硬纸板材料(厚度忽略不计)，边AB的长为 6 分米，其邻边足够 长现从中截取矩形EFHG(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，剩下的部分恰好能折成一 个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示， 重叠部分忽略不计)， 其中OEMF是以O为圆心、 EOF120为圆心角的扇形，且弧，
11、分别与边BC，AD相切于点M，N.EFGH (1)当BE的长为 1 分米时，求折成的包装盒的容积； (2)当BE的长是多少分米时，折成的包装盒的容积最大？ 解：(1)在题图甲中，连接MO交EF于点T.设OEOFOMR分米， 在 RtOET中，因为EOT EOF60， 1 2 所以OT ，则MTOMOT . R 2 R 2 从而BEMT ，即R2BE2. R 2 故所得柱体的底面积SS扇形OEFSOEF R2R2sin 120平方分米 1 3 1 2( 4 3 3 ) 又柱体的高EG4 分米， 所以VSEG立方分米 ( 16 3 4 3) 故当BE长为 1 分米时，折成的包装盒的容积为立方分米 ( 16 3 4 3) (2)设BEx分米，则R2x分米， 所以所得柱体的底面积 SS扇形OEFSOEF R2R2sin 120x2平方分米 1 3 1 2( 4 3 3 ) 又柱体的高EG(62x)分米， 所以VSEG(x33x2)，其中 0x3. ( 8 3 2 3) 令f(x)x33x2，x(0,3)， 则由f(x)3x26x3x(x2)0，解得x2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下： x(0,2)2(2,3) f(x)0 f(x)极大值 所以当x2 时，f(x)取得极大值，也是最大值 故当BE的长为 2 分米时，折成的包装盒的容积最大