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1、14 个填空题专项强化练(十一) 直线与圆14 个填空题专项强化练(十一) 直线与圆 A 组题型分类练 题型一 直线的方程 1已知直线l：axy2a0 在x轴和y轴上的截距相等，则a的值为_ 解析：由题意可知a0.当x0 时，ya2. 当y0 时，x. a2 a 所以a2，解得a2 或a1. a2 a 答案：2 或 1 2将直线y3x绕原点逆时针旋转 90，再向右平移 1 个单位，所得到的直线方程为 _ 解析：将直线y3x绕原点逆时针旋转 90得到直线yx，再向右平移 1 个单位， 1 3 所得直线的方程为y (x1)，即x3y10. 1 3 答案：x3y10 3若直线y2x10，yx1，ya
2、x2 交于一点，则a_. 解析：直线y2x10 与yx1 的交点坐标为(9，8)，代入yax2，得8 a(9)2，解得a . 2 3 答案：2 3 4点A(1,1)到直线xcos ysin 20 的距离的最大值为_ 解析：由点到直线的距离公式，得 d2sin， |cos sin 2| cos2sin2 2 ( 4) 又R R，所以dmax2.2 答案：2 2 临门一脚 1求直线方程的一般方法 (1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出方程 (2)待定系数法：先设出方程，再根据条件求出待定系数 2五种直线方程灵活选择，要牢记用斜率首先考虑斜率不存在 ； 用截距要考虑截距为 0 或不
3、存在的情况，不能出现漏解的情况 题型二 圆的方程 1已知方程x2y22kx4y3k80 表示一个圆，则实数k的取值范围是 _ 解析：由(2k)2424(3k8)4(k23k4)0，解得k4. 答案：(，1)(4，) 2圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_ 解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|， 所以圆的方程为x2(yb)2b2. 因为点(3,1)在圆上， 所以 9(1b)2b2，解得b5. 所以圆的方程为x2(y5)225. 答案：x2(y5)225 3已知圆x2y22x4ya0 关于直线y2xb成轴对称图形，则ab的取值范 围是_ 解析：由题意知，直线y2x
4、b过圆心，而圆心坐标为(1,2)，故b4，圆的方程 化为标准方程为(x1)2(y2)25a，所以a0. 3如果遇到求解与三角形有关的圆的方程，应该研究三角形特征如等边三角形或直角 三角形的外接圆和内切圆，更容易用标准式求解 题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系 1若直线l1：yxa和直线l2：yxb将圆(x1)2(y2)28 分成长度相等的 四段弧，则a2b2_. 解析：不妨设ab，由题意可知，每段圆弧的圆心角为 90，故弦心距为 2，从而由 2 及2，得a21，b21，故a2b218. |12a| 2 |12b| 2 22 答案：18 2 (2018镇江高三期末)已知圆C与圆x2y210x10
5、y0相切于原点， 且过点A(0， 6)，则圆C的标准方程为_ 解析：由题意可知，圆C的圆心在直线yx上，设圆C的圆心为(a，a)，半径为r， 则r2a2a2a2(a6)2，解得a3，所以圆心为(3，3)，r218，圆C的标准方 程为(x3)2(y3)218. 答案：(x3)2(y3)218 3过点P(4,0)的直线l与圆C： (x1)2y25 相交于A，B两点，若点A恰好是线 段PB的中点，则直线l的方程为_ 解析：根据题意，由于(41)25，所以点P在圆C外，过圆心C作CMAB于M，连 结AC.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x4)，即kxy4k0，则CM ，AM.又点A恰好是线
6、段PB的中点， 所以PM3AM， |k4k| k21 |5k| k21 5( |5k| k21) 2 520k2 k21 在 RtPMC中，CM2PM2PC2，即25，得 180k220，即k ，故直 25k2 k21 45180k2 k21 1 3 线l的方程为x3y40. 答案：x3y40 4在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B(1，1)，P为圆x2y22 上 一动点，则的最大值是_ PB PA 解析：法一：设点P(x，y)，则x2y22， 所以 PB2 PA2 x12y12 x2y22 ， x2y22x2y2 x2y24y4 2x2y4 4y6 xy2 2y3 令， xy2
7、 2y3 则x(21)y320， 由题意，直线x(21)y320 与圆x2y22 有公共点， 所以，解得 04， |32| 1212 2 所以的最大值为 2. PB PA 法二：当AP不与圆相切时，设AP与圆的另一个交点为D， 由条件AB与圆C相切，则ABPADB， 所以ABPADB， 所以2， PB PA BD BA BD 2 2 2 2 所以的最大值为 2. PB PA 答案：2 临门一脚 1直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定较好 2涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，计算弦长时，要注意应用半径、 弦心距、半弦长构成的直角三角形 3根据相交、相切的位置关
8、系求直线方程时，要注意先定性再定量，不能漏解 4圆上存在一点的存在性问题可以通过求解动点轨迹转化为位置关系问题 B 组高考提速练 1“a1”是“直线axy2a0 与直线(2a1)xaya0 互相垂直”的 _条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析：两直线互相垂直，a(2a1)(1)a0，即 2a22a0，解得a0 或a1. 答案：充分不必要 2经过点P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 5 的直线方程是 _ 解析：由题意设所求方程为y4k(x5)，即kxy5k40.由 |5k4| 1 2 5，得k 或k ，故所求直线方程为 8x5y200 或 2x5
9、y100. | 4 k5| 8 5 2 5 答案：8x5y200 或 2x5y100 3圆心在直线 2xy70 上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C 的方程为_ 解析 ： 因为圆过A(0， 4)，B(0， 2)， 所以圆心C的纵坐标为3， 又圆心C在直线2xy 70 上，所以圆心C为(2，3)，从而圆的半径为rAC，故所求的圆C的方415 程为(x2)2(y3)35. 答案：(x2)2(y3)35 4已知圆C：x2y2mx40 上存在两点关于直线xy30 对称，则实数m的值 是_ 解析：因为圆上两点A，B关于直线xy30 对称，所以直线xy30 过圆心 ，从而 30，即m6
10、. ( m 2，0) m 2 答案：6 5过坐标原点且与圆x24xy220 相切的直线方程为_ 解析：圆x24xy220 的圆心为(2,0)，半径为，易知过原点与该圆相切时，直2 线有斜率设斜率为k，则直线方程为ykx，则， |2k| k21 2 所以k21，所以k1，所以直线方程为yx. 答案：yx 6已知圆C1： (x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10 对称，则圆C2 的方程为_ 解析 ： 由题意得C1(1,1)， 圆心C2与C1关于直线xy10对称， 且半径相等， 则C2(2， 2)，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21. 答案：(x2)2(y2)21 7已知直线xy
11、a0 与圆C：(x2)2(y2)24 相交于A，B两点，且ABC为 等腰直角三角形，则实数a_. 解析：由题意得圆的圆心为C(2，2)，半径为 2，由ABC为等腰直角三角形可知圆 心到直线的距离为，所以，所以a2.2 |22a| 2 2 答案：2 8 在平面直角坐标系xOy中， 若与点A(2,2)的距离为 1 且与点B(m,0)的距离为 3 的直 线恰有两条，则实数m的取值范围是_ 解析 ： 由题意知，以A(2,2)为圆心，1 为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3 为半径的圆相 交，所以 4(m2)2416，所以22m22，且m2.33 答案：(22，2)(2,22)33 9已知A(1,0)，
12、B(2,1)，C(5，8)，ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B 到直线l的距离为_ 解析：设ABC的外接圆的圆心为O(a，b)，线段AB的中点为D，线段BC的中点为E， 因为A(1,0)，B(2,1)，C(5，8)，所以D，E，kAB ，kBC ( 1 2， 1 2)( 7 2， 7 2) 10 21 1 3 3， 81 52 由ODAB，OEBC，得Error! 即Error!解得Error! 设直线l的斜率为k，则kkOA1，解得k ，故直线l的方程为y0 (x1)， 3 4 3 4 即 3x4y30，故点B到直线l的距离为1. |2 343| 3242 答案：1 10已知圆C：x2
13、y24x2y200，直线l：4x3y150 与圆C相交于A，B两 点，D为圆C上异于A，B两点的任一点，则ABD面积的最大值为_ 解析：因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)225，所以圆心C(2,1)，半径r5， 所以圆心C到直线l：4x3y150 的距离为d4，所以AB2 |4 23 115| 4232 26， 因为D为圆C上异于A，B两点的任一点， 所以D到直线AB即直线l： 4xr2d22516 3y150 的距离的最大值为dr9，所以ABD面积的最大值为 6927. 1 2 答案：27 11设ABC的一个顶点是A(3，1)，B，C的平分线方程分别为x0，yx，则 直线BC的方程是_
14、解析 ： 点A(3，1)关于直线x0，yx的对称点为A(3，1)，A(1,3)且都 在直线BC上，故得直线BC的方程为 2xy50. 答案：2xy50 12已知点P(t,2t)(t0)是圆C：x2y21 内一点，直线tx2tym与圆C相切， 则直线l：xym0 与圆C的位置关系是_ 解析 ： 由点P(t,2t)(t0)是圆C：x2y21 内一点，得|t|1.因为直线tx2tym5 与圆C相切，所以1，所以|m|1.圆C：x2y21 的圆心(0,0)到直线xym0 |m| 5| t| 的距离d1r.所以直线l与圆C的位置关系为相交 |m| 2 答案：相交 13在平面直角坐标系xOy中，过点M(1
15、,0)的直线l与圆x2y25 交于A，B两点， 其中A点在第一象限，且2，则直线l的方程为_BM MA 解析 ： 由题意， 设直线l的方程为xmy1， 与圆x2y25联立， 可得(m21)y22my4 0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y22y1，y1y2，y1y2， 2m m21 4 m21 联立解得m1，直线l的方程为xy10. 答案：xy10 14在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2y21，圆M：(xa3)2(y2a)21(a 为实数) 若圆O与圆M上分别存在点P，Q， 使得OQP30， 则a的取值范围为_ 解析：过Q作圆O的切线QR，切点为R， 根据圆的切线性质，有OQROQP30； 反过来，如果OQR30，则存在圆O上的点P，使得OQP30. 所以，若圆O上存在点P，使得OQP30，则OQR30. 因为OP1，所以OQ2 时不成立，所以OQ2， 即点Q在圆面x2y24 上 又因为点Q在圆M上， 所以圆M：(xa3)2(y2a)21 与圆面x2y24 有公共点，所以OM3. 因为OM2(0a3)2(02a)2， 所以(0a3)2(02a)29， 解得 a0. 6 5 答案：6 5，0