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1、14 个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用14 个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用 A 组题型分类练 题型一 导数的概念与运算 1y的导数为_ ln x x 解析：y. ( ln x x) ln xxxln x x2 1 xxln x x2 1ln x x2 答案：1ln x x2 2已知aR R，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y 轴上的截距为_ 解析 ： 因为f(x)a ， 所以f(1)a1， 又f(1)a， 所以切线l的方程为ya 1 x (a1)(x1)，令x0，得y1. 答案：1 3 若曲线yacos x1在点处的切线与直线2xy3
2、0垂直， 则a ( 2 ，1) _. 解析：因为yacos x1 的导函数为yasin x，所以曲线在点处的切线的 ( 2 ，1) 斜率为ka，由于切线与直线 2xy30 垂直，则(a)(2)1，即a . 1 2 答案：1 2 4已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5) _. 解析 ： 对f(x)3x22xf(2)求导， 得f(x)6x2f(2) 令x2， 得f(2)12. 再令x5，得f(5)652f(2)6. 答案：6 临门一脚 1求导时应注意： (1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量 (2)对于商式的函数若在求导之前变形，则
3、可以避免使用商的导数法则，减少失误 2利用导数求切线方程时，函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值，求导之后 要注意代入的是切点横坐标，如果没有切点坐标，一般要设出切点坐标，再利用导数的几何 意义求切线方程 题型二 导数与函数的单调性 1函数f(x)xln x的单调递减区间为_ 解析 ： 函数f(x)的定义域是(0， )， 且f(x)1 ， 令f(x)0)，当x 0 时，有 00 且a13，解得 10 与f(x)为增函数的关系：f(x)0 能推出f(x)为增函数，但反之不一 定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0 是f(x)为 增函数的充分不必要条件 2用导数研
4、究含参函数单调性首先要求定义域，单调性的逆向问题应该解f(x)0 或f(x)0 的恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用 3函数在给定区间上单调、不单调、存在单调区间这三类问题要区分清楚 题型三 导数与函数的极值、最值 1函数y2x的极大值是_ 1 x2 解析：y2，令y0，得x1. 2 x3 当x0；当10，解得x ； 令f(x)a，则实数a的 x2 2 取值范围为_ 解析：f(x)3x2x2， 令f(x)0，得 3x2x20， 解得x1 或x ， 2 3 故f(x)在，(1,2)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x1 处取 (1， 2 3)( 2 3，1) 得极小值，且f(1)
5、 ，f(1)， 7 2 11 2 故f(x)min ，所以a0 时，x2. f(x)在(，2)，(2，)上是增函数，在(2,2)上是减函数 f(x)极小值f(2) 2342m 1 3 m . 16 3 4 3 m4. 答案：4 10已知函数f(x)(xR R)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)0 时，G(x)1，同理当x0，M(a2，a)，N(ln a，a)， 故MN的长l|a2ln a|， 设f(a)a2ln a(a0)，所以f(a)2a ，令f(a)0，得a，所以f(a) 1 a 2a21 a 2(a 2 2)(a 2 2) a 2 2 在上单调递增；令f(a)0， 所以l|a2l
6、n a|a2ln af(a)， 所以当a 2 2( 2 2) 1 2 2 2 时，线段MN的长取得极小值，也是最小值 2 2 答案： 2 2 14若函数f(x)exx3x1 的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)x3 1 2 的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1，P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集 m x 合是_ 解析 ： 设函数f(x)的图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则Q1(x1， y1)，Q2(x2， y2)， 故有Error! 即方程x3 在(， 0)(0， )上有两解， 即方程xexx2 (e xx31 2x1) m x 1 2 xm在(，0)(0，)上有两解，即函数h(x)xexx2x(x0)的图象与ym 1 2 的图象有两个交点， 令h(x)(ex1)(x1)0 得，x0(舍去)或x1， 作出函数h(x) 图象知，当且仅当x1 时有两解，所以mh(1). e2 2e 答案：e2 2e