《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十五5.1平面向量的概念及其线性运算理含解析新人教A版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十五5.1平面向量的概念及其线性运算理含解析新人教A版.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、核心素养提升练二十五核心素养提升练二十五 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 (25 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.在ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,则= ( ) A.+ B.+ C.+ D.+ 【解析】选 D.如图,因为=,又因为=+,所以=+. 【变式备选】如图,向量 a a-b b 等于( ) A.-4e e1-2e e2 B.-2e e1-4e e2 C.e e1-3e e2D.3e e1-e e2 【解析】选 C.由题图可知 a a-b b=e e1-3e e2. 2.下列说法正确的是( ) A.方向相同
2、或相反的向量是平行向量 B.零向量是 0 0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 【解析】选 B.对于选项 A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于 选项 B,因为零向量就是 0 0,所以该说法正确;对于选项 C,方向相同且长度相等的向量叫相等向 量,所以该说法错误;对于选项 D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误. 3.在ABC 中,点 D 满足=3,则( ) A.=- B.=+ C.=- D.=+ 【解析】选 D.因为点 D 满足=3,因为=+=+=+(-)= +. 【变式备选】 已知向量 a a,b b 不共线, c
3、 c=ka a+b b(kR), d d =a a-b b,如果 c cd d,那么 ( ) A.k=1 且 c c 与 d d 同向 B.k=1 且 c c 与 d d 反向 C.k=-1 且 c c 与 d d 同向 D.k=-1 且 c c 与 d d 反向 【解析】选 D.由题意可设 c c=d d,即 ka a+b b=(a a-b b),(-k)a a=(+1)b b.因为 a a,b b 不共线,所以 所以 k=-1,所以 c c 与 d d 反向. 4.设平行四边形 ABCD 的对角线交于点 P,则下列命题中正确的个数是 ( ) =+; =(+); =-; =. A.1B.2C
4、.3D.4 【解析】选 C.因为由向量加法的平行四边形法则,知=+,=(+)都 是正确的,由向量减法的三角形法则,知=-是正确的,因为,的大小相同, 方向相反,所以=是错误的. 【变式备选】 在四边形 OABC 中,=,若=a a,=b b,则=( ) A.a a-b b B.a a-b b C.a a+b bD.-a a+b b 【解析】选 D.=-,=+=b b+a a,所以=b b+a a-a a=b b-a a. 5.如图所示,在ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N, 若=m,=n,则 m+n 的值为 ( ) A.1 B.2
5、C.3D.4 【解析】选 B.由 O 是 BC 中点,可得=+,由题意知=m+n,因为 O,M,N 三点共线, 所以m+n=1,则 m+n=2. 6.已知 a a,b b 是两个非零向量,且|a a+b b|=|a a|+|b b|,则下列说法正确的是 ( ) A.a a+b b=0 0 B.a a=b b C.a a 与 b b 共线反向 D.存在正实数 ,使 a a=b b 【解析】选 D.由已知得,向量 a a 与 b b 为同向向量,即存在正实数 ,使 a a=b b. 【变式备选】 (2018山师大附中模拟)已知平面内一点P及ABC,若+=,则点P 与ABC 的位置关系是 ( ) A
6、.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 BC 上 C.点 P 在线段 AC 上 D.点 P 在ABC 外部 【解析】选 C.由+=得+=-=,即=-=2,所以 点 P 在线段 AC 上. 7.设 O 在ABC 的内部,D 为 AB 的中点,且+2=0 0,则ABC 的面积和AOC 的面积的 比值为( ) A.3B.4C.5D.6 【解析】选 B.因为 D 为 AB 的中点, 则=(+), 又+2=0 0,所以=-, 所以 O 为 CD 的中点,又因为 D 为 AB 的中点, 所以 SAOC=SADC=SABC,则=4. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.(2018衡阳模拟
7、)在如图所示的方格纸中,向量 a a,b b,c c 的起点和终点均在格点(小正方形顶 点)上,若 c c 与 xa a+yb b(x,y 为非零实数)共线,则的值为_. 【解析】设 e e1,e e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量 c c=e e1- 2e e2,a a=2e e1+e e2,b b=-2e e1-2e e2,由 c c 与 xa a+yb b 共线,得 c c=(xa a+yb b),所以 e e1-2e e2=2(x-y)e e1+(x- 2y)e e2, 所以所以 则的值为. 答案: 【 变 式 备 选 】 在 平 行 四 边 形 ABCD
8、中 ,=e e1,=e e2,=,=,则 =_.(用 e e1,e e2表示) 【解析】如图所示, =-=+2 =+=-+(-) =-e e2+(e e2-e e1)=-e e1+e e2. 答案:-e e1+e e2 9.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cos )+ sin ( 是锐角)总成立,则 =_. 【解析】因为直线l上有不同的三点 A,B,C,所以存在实数 ,使得=, 所以-=(-), 即=+, 所以所以 sin =cos , 因为是锐角,所以=45. 答案:45 10.在梯形 ABCD 中,已知 ABCD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC
9、的中点,若=+,则 +=_. 【解析】 由=+,得=(+)+(+),则 + +=0 0,得+ +=0 0, 得+=0=0. 又因为,不共线, 所以 解得所以+=. 【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决.连接 MN 并延长交 AB 的延长线于点 T, 由已知易得 AB=AT, 所以=+, 即=+, 因为 T,M,N 三点共线,所以+=1,所以+=. 答案: (20 分钟 40 分) 1.(5 分)在ABC 中,设三边 AB,BC,CA 的中点分别为 E,F,D, 则+= ( ) A.B.C.D. 【解析】选 A.如图, =(+),=(+),所以+=. 2.(5 分)如图,在ABC 中,点 D
10、 在线段 BC 上,且满足 BD=DC,过点 D 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若=m,=n,则( ) A.m+n 是定值,定值为 2 B.2m+n 是定值,定值为 3 C.+是定值,定值为 2 D.+是定值,定值为 3 【解析】选 D.如图, 过点 C 作 CE 平行于 MN 交 AB 于点 E.由=n可得=,所以=,由 BD= DC 可得=,所以=,因为=m,所以 m=,整理 可得+=3. 【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决: 选 D.因为 M,D,N 三点共线,所以=+(1-).又=m,=n,所以= m+(1-)n.又=,所以-=-,所以=+. 比 较系数知
11、m=,(1-)n=,所以+=3. 3.(5 分)若|=|=|-|=2,则|+|=_. 【解析】 因为|=|=|-|=2,所以ABC 是边长为 2 的正三角形,所以|+| 为ABC 的边 BC 上的高的 2 倍,所以|+|=2. 答案:2 4.(12 分)设 e e1,e e2是两个不共线的向量,已知=2e e1-8e e2,=e e1+3e e2,=2e e1-e e2. (1)求证:A,B,D 三点共线. (2)若=3e e1-ke e2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. 【解析】(1)由已知得=-=(2e e1-e e2)-(e e1+3e e2)=e e1-4e e2,因为=2e
12、 e1-8e e2, 所以=2. 又因为与有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线. (2)由(1)可知=e e1-4e e2, 因为=3e e1-ke e2,且 B,D,F 三点共线, 所以=(R),即 3e e1-ke e2=e e1-4e e2, 得解得 k=12. 【变式备选】 平行四边形OADB的对角线交点为C,=,=,=a a,=b b,用a a, b b 表示,. 【解析】=a a-b b,=a a-b b,=+=a a+b b,=a a+b b, =a a+b b,=-=a a-b b. 5.(13 分)经过OAB 的重心 G 的直线与 OA,OB 分别交于点 P,Q,设=m,=n,m,nR+, 求 m+n 的最小值. 【解析】设=a a,=b b,由题意知 =(+)=(a a+b b), =-=nb b-ma a, =-=a a+b b, 由 P,G,Q 三点共线得,存在实数,使得=,即 nb b-ma a=a a+b b, 从而消去得+=3. 于是 m+n=(m+n) =(2+2)=. 当且仅当 m=n=时,m+n 取得最小值.