《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练四十五9.6利用空间向量证明空间中的位置关系理含解析新人教A版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练四十五9.6利用空间向量证明空间中的位置关系理含解析新人教A版.pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、核心素养提升练四十五核心素养提升练四十五 利用空间向量证明空间中的位置关系利用空间向量证明空间中的位置关系 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.设直线l的方向向量为(1,-1,1),平面 的一个法向量为(-1,1,-1),则直线l与平面 的 位置关系是( ) A.lB.l C.lD.不确定 【解析】选 C.因为直线l的方向向量为(1,-1,1),平面 的一个法向量为(-1,1,-1),显然它 们共线,所以直线l与平面 的位置关系是垂直即l. 2.已知平面 , 的法向量分别为 =(-2,3,-5),v v=(3,-1,4),则( ) A. B. C., 相交
2、但不垂直 D.以上都不正确 【解析】选 C.因为,所以 与 v v 不是共线向量,又因为 v v= - 23+3(-1)+(-5)4=-290,所以 与 v v 不垂直,所以平面 与平面 相交但不垂直. 3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上且AM平面BDE. 则 M 点的坐标为( ) A.(1,1,1)B. C.D. 【解析】 选 C.因为点 M 在 EF 上,设 ME=x,所以 M,因为 A, D ,E(0,0,1),B(0,0), 所以=(,0,-1),=(0,-1), =. 设平面 BDE 的法向量 n n=(a,b,c), 由得 a=b
3、=c. 故可取一个法向量 n n=. 因为 n n=0,所以 x=1,所以 M. 4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且 BP平面 ABC,则实 数 x,y,z 分别为( ) A.,-,4B.,-,4 C.,-2,4D.4,-15 【解析】选 B.因为,所以=0,所以 3+5-2z=0,解得 z=4. 又因为 BP平面 ABC,所以, 所以, 解得 x=,y=-, 所以 x=,y=-,z=4. 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 的值为( ) A.a2B.a2C.a2D.a2 【解析】选 C.如图
4、,设=a a,=b b,=c c, 则|a a|=|b b|=|c c|=a,且 a a,b b,c c 三向量两两夹角为 60. =(a a+b b),=c c, 所以=(a a+b b)c c =(a ac c+b bc c)=(a2cos 60+a2cos 60)=a2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.设平面 与向量 a a=(-1,2,-4)垂直,平面 与向量 b b=(-2, 4, -8)垂直,则平面 与 位 置关系是_. 【解析】因为 2a a=b b,所以 a ab b.因为平面 与向量 a a 垂直,所以平面 与向量 b b 也垂直.而平 面 与向量 b b
5、垂直,所以 . 答案:平行 7.如图,四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点 M 在线段 PQ 上,E,F 分别为 AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 ,则 cos 的最大值为_. 【解析】如图,建立空间坐标系, 设正方形的边长为 2,则 A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0), 设 M(0,m,2)(0m2), 则=(2,1,0), =(1,-m,-2), cos =,令 t=2-m(0t2), cos = =. 答案: 8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1与
6、直线 AB1夹角的 余弦值为_. 【解析】不妨设 CA=CC1=2CB=2,则 A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0),所以=(- 2,2,1),=(0,2,-1),所 以 直 线 BC1与 直 线 AB1夹 角 的 余 弦 值 是 cos = =,所以直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 . 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点, 过 A1,D,E 的平面交 CD1于 F. (1)证明:EFB1C. (2)求二面角 E-A
7、1D-B1的余弦值. 【解析】(1)因为 A1DB1C,A1D平面 A1DE,B1C平面 A1DE,所以 B1C平面 A1DE,又 B1C平面 B1CD1,平面 A1DE平面 B1CD1=EF,所以 EFB1C. (2)设正方形边长为 1,以 A 为原点,分别以 ,为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), A1(0,0,1),B1(1,0,1), D1(0,1,1),而E是B1D1的中点, 所以点 E 的坐标为(0.5,0.5,1).设平面 A1DE 的法向量 n n1=(r1,s1,t1),又=(0.5,0.5,0), =(0,
8、1,-1),由 n n1,n n1得:, 令 s1=t1=1,则 n n1=(-1,1,1), 设 平 面 A1B1CD 的 法 向 量 n n2=(r2,s2,t2),又=(1,0,0),=(0,1,-1),同 理 可 得 :n n2=(0,1,1),所 以 结 合 图 形 可 得 二 面 角 E-A1D-B1的 余 弦 值 为= =. 10.(2018黄冈模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E, F 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:EFCD. (2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF平面 PCB,并证明你的结论. (3)求
9、DB 与平面 DEF 所成角的正弦值. 【解析】以 DA,DC,DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图),设 DA=a,则 D(0,0,0),A(a,0,0), B(a,a,0),C(0,a,0), E,F,P(0,0,a). (1)因为=(0,a,0)=0,所以 EFCD. (2)点 G 为 AD 的中点时,满足题意,理由如下: 设 G(x,0,z),则 G平面 PAD, =, =(a,0,0)= a =0,所以 x=, =(0,- a, a)= a z=0, 所以 z=0,所以 G 点坐标为, 即 G 点为 AD 的中点. (3)设平面 DEF 的法向量为 n n
10、=(x,y,z). 由得, 即, 取 x=1,则 y=-2,z=1,得 n n=(1,-2,1). cos=, 因为 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值 sin =|cos| 所以,DB 与平面 DEF 所成角的正弦值的大小为. (20 分钟 40 分) 1.(5 分)如图,点 C 在圆锥 PO 的底面圆 O 上,AB 是直径,AB=8,BAC=30,圆锥的母线与底面 成的角为 60,则点 A 到平面 PBC 的距离为( ) A.B.2 C.D. 【解析】选 C.如图,过点 O 作 AB 的垂线 Ox,以 Ox,OB,OP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 由题意可得 A(0,-4
11、,0), B(0,4,0),C(-2,2,0), P(0,0,4). 设平面 PBC 的法向量为 m m=(x,y,z),则 m m=0,m m=0,所以 2x+2y=0,-4y+4z=0, 所以 y=z=-x,所以取 m m=(-1,1), 因为=(0,4,4),所以 d=,所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . 2.(5 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PB底面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,ADBC,ADAB,且 PB=AB=AD=3,BC=1.在线段 PD 上存在一点 M,使得 CMPA,则 PM 的长为 ( ) A.B.3C.D. 【解析】选 C.因为在梯形 ABCD 中
12、,ADBC,ADAB,所以 BCAB. 因为 PB平面 ABCD,所以 PBAB,PBBC, 如 图 ,以 B 为 原 点 ,BC,BA,BP 所 在 直 线 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,所 以 C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3). 设=(3,3,-3), 所以=+=(-1+3,3,3-3),所以=-9+3(3-3)=0,解得 =, 所以存在点 M,且 PM=PD=. 3.(5 分)给出下列命题: 直线l的方向向量为 a a=(1,-1,2),直线 m 的方向向量 b b=,则l与 m 垂直; 直线l的方向向量 a a=(0,1
13、,-1),平面 的法向量 n n=(1,-1,-1),则l; 平面 , 的法向量分别为 n n1=(0,1,3),n n2=(1,0,2),则 ; 平面 经过三点 A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量 n n=(1,u,t)是平面 的法向量,则 u+t=1.其中真命题是_.(把你认为正确的命题的序号都填上) 【解析】对于,因为 a a=(1,-1,2),b b=(2,1,-),所以 a ab b=12-11+2=0, 所以 a ab b,所以直线l与 m 垂直,正确; 对于,a a=(0,1,-1),n n=(1,-1,-1),所以 a an n=01+1(-1)+(
14、-1)(-1)=0, 所以 a an n,所以l 或l,错误; 对于,因为 n n1=(0,1,3),n n2=(1,0,2),所以 n n1与 n n2不共线,所以 不成立,错误; 对于,因为点 A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),向量 n n=(1,u,t)是 平 面 的 法 向 量 ,所 以,即,则 u+t=1,正确. 综上,真命题的序号是. 答案: 4.(12 分)如图,在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中,PA底面 ABCD,E,F 分别是 PC,PD 的中 点,PA=AB=1,BC=2.求证: (1)EF平面 PA
15、B. (2)平面 PAD平面 PDC. 【证明】(1)以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0), P(0,0,1),所以 E,F, =,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0), =(1,0,0),=(1,0,0).因为=-,所以,即 EFAB, 又 AB平面 PAB,EF平面 PAB,所以 EF平面 PAB. (2)因为=(0,0,1)(1,0,0)=0, =(0,2,0)(1,0,0)=0, 所以
16、,即 APDC,ADDC. 又 APAD=A,所以 DC平面 PAD. 因为 DC平面 PDC,所以平面 PAD平面 PDC. 5.(13 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45,底面 ABCD 为直 角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC=AD=1. (1)求证:面 PAC面 PCD. (2)在棱PD上是否存在一点E,使CE面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)因为 PA面 ABCD, PB 与面 ABCD 所成的角为PBA=45, 所以 AB=1,由ABC=BAD=90, 易得 CD=AC=, 由勾股定理逆
17、定理得 ACCD. 又因为 PACD,PAAC=A, 所以 CD面 PAC,CD平面 PCD, 所以平面 PAC平面 PCD. (2)分别以 AB,AD,AP 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),设 E(0,y,z), 则=(0,y,z-1),=(0,2,-1), 因为与共线, 所以 y(-1)-2(z-1)=0, 因为=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量, 又=(-1,y-1,z),CE面 PAB. . 所以(-1,y-1,z)(0,2,0)=0,所以 y=1. 将 y=1 代入,得 z=. 所以 E 是 PD 的中点,所以存在 E 点使 CE面 PAB,此时 E 为 PD 的中点.