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1、第九章第九章 直线与圆直线与圆 第第3节节 直线与圆直线与圆 知识梳理知识梳理 1.直线直线Ax+By+C=0与圆与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的位置关系 代数法代数法(解方程组解方程组) 几何法几何法(圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d) 相交相交两组解两组解dr 2.直线与圆相交直线与圆相交 半径、弦心距、半弦长构成一个直角三角形半径、弦心距、半弦长构成一个直角三角形. 若弦心距为若弦心距为d,圆的半径为圆的半径为r,弦长为弦长为l, 则则 22 2.lrd 3.求动点的轨迹方程的一般思路求动点的轨迹方程的一般思路 (1)建立适当的坐标系建立适当的坐标系; (2)设动点
2、为设动点为M(x,y); (3)寻找动点寻找动点M满足的等量关系满足的等量关系; (4)代入相关坐标代入相关坐标; (5)化简得方程化简得方程. 精选例题精选例题 【例例1】 已知直线已知直线l:3x+4y=b与圆与圆C:x2+y2-2x-2y+1=0. (1)若直线若直线l与圆与圆C相切相切,求求b的值的值; (2)若若b=6,求圆求圆C截直线截直线l所得的弦长所得的弦长. 11,1 ,1, |34| 1,212. 5 ( )()CrlC b Cldb 【解析】 由圆的方程得圆心若直线 与圆 相切 则圆心 到直线 的距离解得或 22 |346|1 26, 55 14 22 16. ( ) 2
3、55 bCld Clrd 若则圆心 到直线 的距离 所以圆 截直线 所得的弦长 【例例2】 (2013新课标新课标卷卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,已知圆已知圆P在在 x轴上截得线段长为轴上截得线段长为 ,在在y轴上截得线段长为轴上截得线段长为 (1)求圆心求圆心P的轨迹方程的轨迹方程; 2222 22 1,2,3,() . ) 1 (P x yPryrxr Pyx 【解析】 设圆 的半径为 由题设得 所以点 的轨迹方程为 2 22 3. 【例例2】 (2013新课标新课标卷卷)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,已知圆已知圆P在在 x轴上截得线段长为轴上截得线段长为
4、,在在y轴上截得线段长为轴上截得线段长为 (2)若若P点到直线点到直线y=x的距离为的距离为 ,求圆求圆P的方程的方程. 2 22 3. 2 2 2 22 22 2|2 2, 22 ( ) ( 2 1, 11, 0,1, ) 0,1 ,3, 13. ( ) () () xy Pyx yx Pyx xyPPr Pxy 因为 点到直线的距离为所以 即 由得点 的轨迹方程为 两式相除得则即所以圆 的半径为 所以圆 的方程为 专题训练专题训练 1.(2014石景山一模石景山一模)直线直线l:x+ y-4=0与圆与圆C:x2+y2=4的位置关系的位置关系 是是( ) A.相交相交 B.相切相切 C.相离
5、相离 D.无法确定无法确定 B | 4| 0,0 ,2,2, 2 . ()Crldr 【答案】 【解析】 圆心则圆心到直线 的距离 所以直线与圆相切 3 2.(2014福建福建,文文)已知直线已知直线l过圆过圆x2+(y-3)2=4的圆心的圆心,且与直线且与直线 x+y+1=0垂直垂直,则则l的方程是的方程是 ( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 D 0,3 ,1,310 , 3 ()() 0. kyx xy 【答案】 【解析】 直线过点由点斜式得 即 22 22 A ,0 ,(3)( 3() ,2,2, 24).( aaaar xy 【答案】
6、 【解析】 设圆心为则解得即 所以圆的方程是 3.过原点和点过原点和点 的圆被的圆被x轴平分轴平分,则该圆的方程为则该圆的方程为( ) A.(x-2)2+y2=4B.x2+(y-2)2=4 C.(x+2)2+y2=2D.x2+(y+2)2=2 (3, 3) D 1 0 2,0 ,1,1, 1 2 111 , () )0.( CP Ckk yxxy 切线 【答案】 【解析】 圆心则所以 由点斜式得切线方程为化简得 4.圆圆(x-2)2+y2=2在点在点P(1,1)处的切线方程为处的切线方程为( ) A.x+y=0 B.x+y-2=0 C.x-y-2=0 D.x-y=0 5.圆圆x2+y2=4与直
7、线与直线ax+y-1=0(aR)的位置关系是的位置关系是( ) A.相交相交 B.相切相切 C.相离相离 D.不能确定不能确定 2 A 1 2,2, 1 . rdr a 【答案】 【解析】 圆心到直线的距离 所以直线与圆相交 6.直线直线y=kx+3与圆与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于相交于M,N两点两点,若若|MN| 则则k的取值范围是的取值范围是( ) 22 22 2 B |323|31| 3,23, 11 2 3,2 32 4,1, 3 8 ( 600,B. 4 ) kk ykxd kk MNdd kkk 【答案】 【解析】 圆心到直线的距离 由得所以 即故选 2 3, 3333
8、2 A.(,B.,0C.,D.,0 44333 7.(2016新课标新课标卷卷,文文)圆圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线的圆心到直线 ax+y-1=0的距离为的距离为1,则则a=( ) 2 () A |4 1|4 1,4 ,1,. 3 1 a a a 【答案】 【解析】 由圆方程得圆心为则解得 43 A.B.C. 3D.2 34 222 B 1 1,1 ,84 , 2 | 1 12| 2, 2 1 28 () ()424,4. 4 ra d rdaa 【答案】 【解析】 圆心为 圆心到直线距离为 由得解得 8.(2014浙江浙江,文文)已知圆已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截
9、直线截直线x+y+2=0所得弦的长所得弦的长 度为度为4,则实数则实数a的值为的值为( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 9.(2014新课标新课标卷卷)设点设点M(x0,1),若在圆若在圆O:x2+y2=1上存在点上存在点N,使使 得得OMN=45,则则x0的取值范围是的取值范围是( ) 0 A 1,0,145 , 1,1,1,1, () .A xNOMN 【答案】 【解析】 如图当时 存在点使得 在内存在 在以外不存在 所以选 1 122 A. 1,1B., C.2,2D., 2 222 2222 06 2440129, 1,2 ,3, ,3, 3 2 0, 2 | 1 2|3
10、2 ,06. 22 ()() () xyxyxy CC ACBCABC Cxya a aa 【答案】 或 【解析】由得 所以圆 的圆心坐标为半径为 由可知是直角边长为 的等腰直角三角形 故可得圆心 到直线的距离为 由点到直线的距离公式可得解得或 10.已知直线已知直线x-y+a=0与圆心为与圆心为C的圆的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于相交于A,B 两点两点,且且ACBC,则实数则实数a的值为的值为 . 22 22 2 2 2300, 11 |0 1 1| 2,22 2 ( . 2 )xyyyx dABRd 【答案】 【解析】 的圆心到直线的距离为 所以 11.(2018新课标新课标卷卷
11、)直线直线y=x+1与圆与圆x2+y2+2y-3=0交于交于A,B两点两点, 则则|AB|= . 12.(2018深圳二调深圳二调)已知直线已知直线l:x+my-3=0与圆与圆C:x2+y2=4相切相切,则则 m= . 2 22 5 2 , |003|355 2,. 42 11 dmm mm 【答案】 【解析】 由于直线与圆相切 则有圆心到直线的距离 整理得解得 13.(2016新课标新课标卷卷,文文)设直线设直线y=x+2a与圆与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交相交 于于A,B两点两点,若若|AB|= ,则圆则圆C的面积为的面积为 . 22 22222 22 4 0,2, |02 | 2
12、,2 3, 22 | 2,2, 2 24. () 2 3 ()() 2 () CCa ra aaa CyxaAB a raa ra 【答案】 【解析】 由圆 方程得圆心为 则圆心 到直线的距离为而 所以解得 所以圆的面积为 2 3 14.(2016新课标新课标卷卷)已知直线已知直线l:mx+y+3m- =0与圆与圆x2+y2=12交于交于 A,B两点两点,过过A,B分别作分别作l的垂线与的垂线与x轴交于轴交于C,D两点两点.若若|AB|= ,则则 |CD|= . 2 3 3 2 22 2 4 :3303, 3 , |33 | . 1 333 2 3,312,. 3 1 3 ( ,. 36 ,.
13、 6 |2 Rt,2 34. 3 cos 6 ) ()() l mxym m Old m m ABm m lml CCEBDDCE AB CDECD 【答案】 【解析】 由直线知其过定点 圆心 到直线 的距离为 由得解得 又直线 的斜率为所以直线 的倾斜角 画出符合题意的图形如图所示 过点 作则 在中 可得 22 2222 1,0,4 ,4, 24 , 2 24 1,2680, 2 1 ( )() ( 32,13 ) ()()(2.)() MPCM MPCM C yy M x y kkMAB xx yy kkxyxy xx xyMxy 【解析】 如图 圆心为半径为 设因为为中点 所以化简得 即
14、所以的轨迹方程是 15.(2014新课标新课标卷卷)已知点已知点P(2,2),圆圆C:x2+y2-8y=0,过点过点P的动直线的动直线l 与圆与圆C交于交于A,B两点两点,线段线段AB的中点为的中点为M,O为坐标原点为坐标原点. (1)求求M的轨迹方程的轨迹方程; 15.(2014新课标新课标卷卷)已知点已知点P(2,2),圆圆C:x2+y2-8y=0,过点过点P的动直线的动直线l 与圆与圆C交于交于A,B两点两点,线段线段AB的中点为的中点为M,O为坐标原点为坐标原点. (2)当当|OP|=|OM|时时,求求l的方程及的方程及POM的面积的面积. 22 211,3,2, , 1 ,.3, 3 18 ,2 2, 33 8 | 4 ( )( ) 4 104 3 10,2 (2 2)()10, 5551 1 9 14 104 1016 . 2 ( 5 ) 55 MN OPOMOPM PNONPMONl lyxOMOP OldPM POM 由可知的轨迹是以点为圆心为半径的圆 由于故 在线段的垂直平分线上 又 在圆 上 从而因为的斜率为 所以 的斜率为 所以 的方程为又 到 的距离为 所以的面积为