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1、考点测试 39 复数考点测试 39 复数 高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读 1.理解复数的基本概念 2理解复数相等的充要条件 3了解复数的代数表示法及其几何意义 4会进行复数代数形式的四则运算 5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 一、基础小题 1设z12bi，z2ai，当z1z20 时，复数abi( ) A1i B2i C3 D2i 答案 D 解析 z1z2(2bi)(ai)(2a)(b1)i0，Error!Error!Error!Error!abi 2i，故选 D. 2若(1i)(23i)abi(a，bR R，i 是虚数单位)，则a，b的值分别等于(
2、 ) A3，2 B3，2 C3，3 D1，4 答案 A 解析 由于(1i)(23i)32i， 所以 32iabi(a，bR R)， 由复数相等定义，a 3，且b2，故选 A. 3若复数z满足z(34i)1，则z的虚部是( ) A2 B4 C3 D4 答案 B 解析 z1(34i)24i，所以z的虚部是 4，故选 B. 4如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是( ) AA BB CC DD 答案 B 解析 表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示 .选 B.z 5已知复数z1i，则( ) z2 z1 A2 B2 C2i D2i 答案 A 解析 2，故选
3、 A. z2 z1 1i2 1i1 6已知z(i 是虚数单位)，则复数z的实部是( ) 2i 2i1 A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 因为zi，所以复数z的实部为 0，故选 A. 2i 2i1 i12i 2i1 7复数( ) i2i3i4 1i A i B i 1 2 1 2 1 2 1 2 C. i D. i 1 2 1 2 1 2 1 2 答案 C 解析 i2i3i4 1i 1i1 1i i 1i i. i1i 1i1i 1i 2 1 2 1 2 8设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为( ) 1ai 2i A2 B2 C D. 1 2 1 2 答案 A 解析 解法一：因为
4、1ai 2i 1 ai2i 2i2i 为纯虚数，所以 2a0，a2. 2a2a1i 5 解法二：令mi(m0)，1ai(2i)mim2mi.Error!Error!a2. 1ai 2i 9在复平面内，向量对应的复数是 2i，向量对应的复数是13i，则向量AB CB CA 对应的复数为( ) A12i B12i C34i D34i 答案 D 解析 13i2i34i，故选 D.CA CB AB 10设z是复数，则下列命题中的假命题是( ) A若z20，则z是实数 B若z20，则z是虚数 C若z是虚数，则z20 D若z是纯虚数，则z20 答案 C 解析 设zabi(a，bR R)，z2a2b22ab
5、i， 由z20， 得Error!Error!即Error!Error!或Error!Error! 所以a0 时b0，b0 时aR R.故z是实数，所以 A 为真命题 ； 由于实数的平方不小于 0， 所以当z20 时，z一定是虚数，且为纯虚数，故 B 为真命题；由于 i210，故 C 为假命 题，D 为真命题 11已知 是复数z的共轭复数，若z 2( i)，则z( )zzz A1i B1i C1i D1i 答案 C 解析 设zabi(a，bR R)，由z 2( i)，有(abi)(abi)2(abii)，zz 解得ab1，所以z1i，故选 C. 12在复平面内，复数z对应的点是Z(1，2)，则复
6、数z的共轭复数 _.z 答案 12i 解析 由复数z在复平面内的坐标有z12i，所以共轭复数 12i.z 二、高考小题 13(2017全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则|z|( ) A. B. C. D2 1 2 2 2 2 答案 C 解析 解法一：(1i)z2i，z1i.|z| 2i 1i 2i1i 1i1i 21i 2 .12122 解法二：(1i)z2i，|1i|z|2i|，即|z|2，|z|.12122 14(2018全国卷)设z2i，则|z|( ) 1i 1i A0 B. C1 D. 1 2 2 答案 C 解析 因为z2i2i2ii，所以|z|1，故 1i 1i 1i2 1i1i
7、 2i 2 012 选 C. 15(2018全国卷)( ) 12i 12i A i B i 4 5 3 5 4 5 3 5 C i D i 3 5 4 5 3 5 4 5 答案 D 解析 ，选 D. 12i 12i 12i2 5 34i 5 16(2018全国卷)(1i)(2i)( ) A3i B3i C3i D3i 答案 D 解析 (1i)(2i)2i2ii23i，故选 D. 17(2018浙江高考)复数(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) 2 1i A1i B1i C1i D1i 答案 B 解析 1i，的共轭复数为 1i. 2 1i 21i 1i1i 2 1i 18(2018北京高考)在复
8、平面内，复数的共轭复数对应的点位于( ) 1 1i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 解析 i，其共轭复数为 i，又 i 在复平面内对 1 1i 1i 1i1i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 应的点 ， 在第四象限，故选 D. 1 2 1 2 19 (2017北京高考)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a 的取值范围是( ) A(，1) B(，1) C(1，) D(1，) 答案 B 解析 复数(1i)(ai)a1(1a)i 在复平面内对应的点在第二象限， Error!Error!a1.故选 B. 20 (2017山东高考)已知
9、aR R， i 是虚数单位 若zai，z 4， 则a( )3z A1 或1 B.或77 C D.33 答案 A 解析 zai， ai.又z 4， (ai)(ai)4， a233z3z33 4，a21，a1.故选 A. 21(2017全国卷)设有下面四个命题： p1：若复数z满足 R R，则zR R； 1 z p2：若复数z满足z2R R，则zR R； p3：若复数z1，z2满足z1z2R R，则z1 2； z p4：若复数zR R，则 R R.z 其中的真命题为( ) Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 答案 B 解析 对于命题p1， 设zabi(a，bR R)， 由 R
10、R， 得b0， 则zR R 1 z 1 abi abi a2b2 成立， 故正确 ； 对于命题p2， 设zabi(a，bR R)， 由z2(a2b2)2abiR R， 得ab0， 则a0或b0， 复数z为实数或纯虚数， 故错误 ； 对于命题p3， 设z1abi(a，bR R)，z2c di(c，dR R)，由z1z2(acbd)(adbc)iR R，得adbc0，不一定有z1 2，故 z 错误；对于命题p4，设zabi(a，bR R)，则由zR R，得b0，所以 aR R 成立，故z 正确故选 B. 22(2018天津高考)i 是虚数单位，复数_. 67i 12i 答案 4i 解析 4i. 6
11、7i 12i 67i12i 12i12i 205i 5 23(2016天津高考)已知a，bR R，i 是虚数单位若(1i)(1bi)a，则 的值 a b 为_ 答案 2 解析 由(1i)(1bi)a，得 1b(1b)ia，则Error!Error!解得Error!Error!所以 2. a b 24(2017浙江高考)已知a，bR R，(abi)234i(i 是虚数单位)，则a2b2 _，ab_. 答案 5 2 解析 解法一：(abi)2a2b22abi，a，bR R， Error!Error!Error!Error!Error!Error! a2b22a235，ab2. 解法二：由解法一知a
12、b2， 又|(abi)2|34i|5，a2b25. 三、模拟小题 25(2018郑州质检一)复数(i 为虚数单位)的值为( ) 3i i A13i B13i C13i D13i 答案 A 解析 13i，故选 A. 3i i 3ii2 i2 26(2018唐山模拟)复数z的共轭复数为( ) 3i 1i A12i B12i C22i D12i 答案 B 解析 因为z12i，所以 12i. 3i 1i 3i1i 1i1i z 27(2018沈阳质检一)已知 i 为虚数单位，复数的共轭复数在复平面内对应的 1i 12i 点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 B 解析 因为
13、 i，所以其共轭复数为 i，在复平面内 1i 12i 1i12i 5 1 5 3 5 1 5 3 5 所对应的点为 ，在第二象限，故选 B. 1 5 3 5 28(2018长春质检二)已知复数z1i(i 是虚数单位)，则z2z( ) A12i B13i C13i D12i 答案 B 解析 z2z(1i)21i12ii21i13i.故选 B. 29 (2018湖北八市联考)设复数z(i 为虚数单位)， 则下列命题错误的是( ) 2 1i A|z|2 B. 1iz Cz的虚部为 i Dz在复平面内对应的点位于第一象限 答案 C 解析 依题意，有z1i，则其虚部为 1，故选 C. 21i 1i1i
14、30(2018石家庄质检二)已知复数z满足ziim(i 为虚数单位，mR R)，若z的虚 部为 1，则复数z在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 A 解析 依题意， 设zai(aR R)， 则由ziim， 得ai1im， 从而Error!Error!故z1 i，在复平面内对应的点为(1，1)，在第一象限，故选 A. 31 (2018太原模拟)设复数z满足i(i 为虚数单位)， 则z的共轭复数为( ) 1z 1z Ai Bi C2i D2i 答案 A 解析 由i，整理得(1i)z1i，zi，所以z的共 1z 1z 1i 1i 1i2 1i1i 轭复数为
15、 i.故选 A. 32(2018南昌一模)欧拉公式 eixcosxisinx(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家 欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在 复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” ，根据欧拉公式可知，ei 表示的复数位 3 于复平面内的( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 A 解析 由欧拉公式 eicosisin i，所以 ei 表示的复数位于复平面 3 3 3 1 2 3 2 3 内的第一象限选 A. 33(2018衡阳三模)若复数z满足zi(i 为虚数单位)，则复数z的虚部为 2i 12i ( ) A2
16、B2i C2 D2i 答案 C 解析 由zi，得zii，z2i，故复数z的虚部为2，故选 C. 2i 12i 34 (2018青岛模拟)在复平面内， 设复数z1，z2对应的点关于虚轴对称，z112i(i 是虚数单位)，则z1z2( ) A5 B5 C14i D14i 答案 B 解析 由题意z212i，所以z1z2(12i)(12i)14i25.故选 B. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1 (2018成都诊断)已知关于t的一元二次方程t2(2i)t2xy(xy)i0(x，y R R) (1)当方程有实根时，求点(x，y)的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围
17、解 (1)设实根为m， 则m2(2i)m2xy(xy)i0， 即(m22m2xy)(mxy)i0. 根据复数相等的充要条件得Error!Error! 由得myx， 代入得(yx)22(yx)2xy0， 即(x1)2(y1)22 . 故点(x，y)的轨迹方程为(x1)2(y1)22. (2)由(1)知点(x，y)的轨迹是一个圆，圆心为(1，1)，半径r，2 设方程的实根为m， 则直线mxy0 与圆(x1)2(y1)22 有公共点， 所以，即|m2|2，即4m0. |11m| 2 2 故方程的实根的取值范围是4，0 2(2018九江高二质检)已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1，4i， 若MPP，求实数m的值 解 MPP，MP. 即(m22m)(m2m2)i1 或(m22m)(m2m2)i4i. 当(m22m)(m2m2)i1 时， 有Error!Error!解得m1； 当(m22m)(m2m2)i4i 时， 有Error!Error! 解得m2. 综上可知m1 或m2.