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1、 专题 7.15：圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展 【探究拓展】 探究 1：直线 l1:a1x+b1y+1=0 和 l2:a2x+b2y+1=0 都过点(2，3)，则过点 A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线 l 的方程 为 . 2x+3y+1=0 拓展 ： 如图，在平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为，又椭圆内xOy 2 2 22 1(0) y x ab ab 3 (1 ) 2 ， 3 2 接四边形 ABCD (点 A、 B、 C、 D 在椭圆上)的对角线 AC， BD 相交于点， 且， 1 (1 ) 4 P ，2APPC 2BPPD （1）求椭圆的方程； （2）求直线 AB 的斜
2、率 （1）解：依题意，解得 22 222 3 2 13 1 4 . c a ab cab ， ， 2 2 4 1. a b = ， = 所求椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （2）解：设，则 11 A x y， 2 21 1 1 4 x y 由，得代入椭圆方程，2APPC 11 334 28 xy C ， 2 2 1 4 x y 得 2 1 2 1 3 34 2 1 48 x y 整理，得， 2 21 111 319 ()0 4216 x yxy 即 11 1 8 xy 设，同理可得 22 B xy， 22 1 8 xy 由可得直线 AB 的方程为 xy=，所以 AB 直线斜率为1. 1
3、8 探究 2： 已知椭圆 C：1(ab0)经过点 M(2，1)，离心率为.过点 M 作倾斜角互补的两条 x2 a2 y2 b2 2 2 直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 试判断直线 PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论 解： (1) 由题设，得1，且， 4 a2 1 b2 a2b2 a 2 2 由、解得 a26，b23，故椭圆 C 的方程为 1. x2 6 y2 3 A B C D x P y O (2) 设直线 MP 的斜率为 k，则直线 MQ 的斜率为k， 假设PMQ 为直角，则 k(k)1，即 k1. 若 k1，则直线 MQ 的
4、方程为 y1(x2)， 与椭圆 C 方程联立，得 x24x40， 该方程有两个相等的实数根2，不合题意； 同理，若 k1 也不合题意故PMQ 不可能为直角 记 P(x1， y1)、 Q(x2， y2) 设直线 MP 的方程为 y1k(x2)， 与椭圆 C 的方程联立， 得(12k2)x2(8k24k)x 8k28k40， 则2，x1是该方程的两根，则2x1，即 x1. 8k28k4 12k2 4k24k2 12k2 设直线 MQ 的方程为 y1k(x2)，同理得 x2. 4k24k2 12k2 因 y11k(x12)，y21k(x22)，故 kPQ1，因 y1y2 x1x2 k(x12)k(x
5、22) x1x2 k(x1x24) x1x2 8k 12k2 8k 12k2 此直线 PQ 的斜率为定值 拓展 1： 椭圆1(ab0)上任意点 P(x0,y0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为 A、B 两点.求 x2 a2 y2 b2 证：直线 AB 的斜率为定值. b2x0 a2y0 拓展 2：已知椭圆 C：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为. x2 a2 y2 b2 5 5 3 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程 222 22 00 22 00 22 55 : (1)
6、5,3,954, 3 1. 94 (2),4 ( 3, 2),(3, 2). (), (),1 94 (94)18 ( c ceabac aa xy C xy yyk xx xy yk xxy kxk y 解 椭圆 的标准方程为: 若一切线垂直 轴 则另一切线垂直于 轴 则这样的点P共 个, 它们的坐标分别为 若两切线不垂直于坐标轴, 设切线方程为 即将之代入椭圆方程中并整理得: 2 0000 222222 000000 2 222 0 000012 2 0 22 00 )9 ()40,0, (18 ) ()36 ()4 (94)0,4()4(94)0, 4 (9)240,1,:1, 9 13
7、,( 3, 2),(3, 2) kx xykx kykxykxkykxk y xkx y kyk k x xy 依题意 即:即 两切线相互垂直即 显然这四点也满足以上方 22 , 13.Pxy 程 点 的轨迹方程为 探究 3： 设平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经 2 ( )2()f xxxb xR 过这三个交点的圆记为 C.求： （1）求实数的取值范围；b （2）求圆的方程；C （3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请证明你的结论.Cb 解：（1）由解得且； 0 (0)0f 1b 0b （2）设二次函数与 x 轴的两个交点分别为和，则和是关于的方程 1
8、(,0)x 2 (,0)x 1 x 2 xx 的两个不同解，设圆方程为，将点，(0,b)分别代 2 20xxbC 22 0xyDxEyF 1 (,0)x 2 (,0)x 入圆方程有 2 11 2 22 2 0, 0, 0, xDxF xDxF bEbF 由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解， 所以,代入第三个方程 1 x 2 xx 2 0xDxF2,DFb 解得，1Eb 所以圆 C 方程为； 22 2(1)0xyxbyb （3）由(2)圆 C 方程整理为，令 22 2(1)0xyxyby 22 20 10 xyxy y 解得或，可知圆 C 经过两个定点(2,1)和(0,1). 2 1 x
9、 y 0 1 x y 拓展：已知椭圆的中心在原点，长轴在 x 轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比O(2,0)A 为. 不过 A 点的动直线交椭圆于两点 3 2 1 2 yxmO,P Q （1）求椭圆的标准方程； （2）证明两点的横坐标的平方和为定值；,P Q （3）过点的动圆记为圆,，已知动圆过定点和(异于点)，请求出定点的坐标. , ,A P QCCABAB 解：（1）设椭圆的标准方程为1(ab0).由题意得, , 椭圆的标 x2 a2 y2 b2 2 3 , 2ea3c1b 准方程为；1 4 2 2 y x （2）证明：设点将带入椭圆，),(),( 2211 yxQyxPmx
10、y 2 1 化简得：0) 1(22 22 mmxx , , 2 1212 2 ,2(1)xxmx xm 222 121212 ()24xxxxx x P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4. （3）法 1：设圆的一般方程为:,则圆心为（）, 22 0xyDxEyF, 22 DE PQ 中点 M(), PQ 的垂直平分线的方程为:, 2 , m mmxy 2 3 2 圆心（）满足，所以 2 , 2 ED mxy 2 3 2 3 22 E Dm 圆过定点(2,0)，所以420DF 圆过, 则 两式相加得： 1122 (,),(,)P xyQ xy 22 1111 22 2222 0, 0, xyD
11、xEyF xyDxEyF 2222 12121212 20,xxyyDxDxEyEyF , 22 22 12 121212 (1)(1)()()20 44 xx xxD xxE yyF , 12 yym5220mDmEF 因为动直线与椭圆 C 交与 P,Q（均不与 A 点重合）所以， 1 2 yxm1m 由解得: 3(1)3335 , 42222 m DEmFm 代入圆的方程为：, 22 3(1)3335 ()0 42222 m xyxmym 整理得：, 22 335333 ()()0 422422 xyxymxy 所以： 解得：或(舍). 22 335 0, 422 333 0, 422 x
12、yxy xy 0, 1, x y 2, 0 x y 所以圆过定点(0,1). 法 2： 设 圆 的 一 般 方 程 为 :,联 立消 去 y 得 到 ： 22 0xyDxEyF 22 0 1 2 xyDxEyF yxm ，由题可知方程和同解 22 44 ()()0 525 E xmDxmEmF 所以整理得， 又有圆过点， 可得且， 22 4 2() 52 4 2(1)() 5 E mmD mmEmF 2 3 22 35 22 E Dm EmFm A420DF1m 由上述三个方程联立可得 ，余下同法一. 3(1)3335 , 42222 m DEmFm 拓展：试证明如下定理： 定理定理 设斜率为
13、的直线与椭圆相交于两个不同点 （也不同于椭圆的右顶k 22 22 1,0 xy ab ab ,P Q 点） ，则过的圆恒过一个异于点的顶点 A,P Q AAB 222 222222 2 , + a kbabk ab a kba kb 证明：设圆的一般方程为，直线的方程为：。将直线方程代入 22 0xyDxEyFPQykxm 圆的方程得： （1） 222 120kxkmDkE xmmEF 联立直线与椭圆方程得： （2） 222222222 20a kbxa kmxa ma b 方程（1）与方程（2）为同解方程，所以 22 22222222 12 2 kkmDkEmmEF a kba kma ma
14、 b 又圆过点 A ，则,0a 2 =0aaDF 从而我们可得到关于的三元一次方程组,D E F 2 2 222 2222222 222 = 2 aDFa kmc DkE a kb c ma ba b k mEF a kb 解得上述方程组的解为： 222 222 22 222 222222 222 = + kmcac k D a kb mcac k E a kb a ba b kakmc F a kb 代入圆的方程为： 22222222222 22 222222222 + 0 kmcac kmcac ka ba b kakmc xyxy a kba kba kb 整理得： 22222222222222222 0a kbxa kbyac k xac kya b ka bckxyak m 所以 22222222 22 222222222 0 0 ac kac ka b ka b xyxy a kba kba kb kxyak 解得： 或（舍） 222 222 222 2 a kb xa a kb abk yb a kb 0 xa y 故得证 注：最后解得一元二次方程： 2222322222 20a kbxa k xa kba 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？