《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.5含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.5含解析.pdf（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11.5 二项分布及其应用 二项分布及其应用 考情考向分析 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型 的应用识别概率模型是解决概率问题的关键在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中 档 1条件概率及其性质 (1)条件概率的定义 对于两个事件 A 和 B，在已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的概率，称为事件 B 发生的条 件下事件 A 的条件概率 (2)条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即 P(B|A). PAB PA 2相互独立事件 (1)对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 相互独立 (2)
2、若 A 与 B 相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立BAAB (4)若 P(AB)P(A)P(B)，则 A，B 相互独立 3二项分布 在 n 次独立重复试验中， 用 X 表示事件 A 发生的次数， 设每次试验中事件 A 发生的概率为 p， 则 P(Xk)C pk(1p)nk(k0,1,2， n)， 此时称随机变量 X 服从二项分布， 记为 XB(n， k n p) 概念方法微思考 1条件概率中 P(B|A)与 P(A|B)是一回事吗？ 提示 不一样，P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率，P(A|B)是
3、在 B 发生的条件下 A 发 生的概率 2“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对 另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率( ) (2)相互独立事件就是互斥事件( ) (3)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( ) (4)二项分布是一个概率分布， 其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式， 其中 ap， b1 p.( ) 题组二 教材改编 2P58 例 3天气预报，在元
4、旦假期甲地降雨概率是 0.2，乙地降雨概率是 0.3.假设在这段时 间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为_ 答案 0.38 解析 设甲地降雨为事件 A，乙地降雨为事件 B，则两地恰有一地降雨为 A B，BA P(A B)P(A )P( B)BABA P(A)P( )P( )P(B)BA 0.20.70.80.30.38. 3P63 练习 T1投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投 篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_ 答案 0.648 解析 该同学通过测试的概率 PC 0.620.40.
5、630.4320.2160.648. 2 3 题组三 易错自纠 4两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为 和 ，两个零件能否被加工成 2 3 3 4 一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为_ 答案 5 12 解析 因为两人加工成一等品的概率分别为 和 ， 2 3 3 4 且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为 P . 2 3 1 4 1 3 3 4 5 12 5从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ，事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)_. 答案 1 4 解析 P(A) ，P(
6、AB)， C2 3C2 2 C2 5 2 5 C2 2 C2 5 1 10 P(B|A) . PAB PA 1 4 6一射手对同一目标进行 4 次射击，且射击结果之间互不影响已知至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为_ 80 81 答案 2 3 解析 设此射手未命中目标的概率为 p，则 1p4， 80 81 所以 p ，故 1p . 1 3 2 3 题型一 条件概率 例 1 某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数012345 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种续保人一
7、年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数012345 概率0.300.150.200.200.100.05 (1)求续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 解 (1)设 A 表示事件“续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 A 发生当且仅当一年内 出险次数大于 1， 故 P(A)0.20.20.10.050.55. (2)设 B 表示事件“续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ，则事件 B 发生当且仅当一年 内出险次数大于 3，故 P(B)0.10.05
8、0.15. 又 P(AB)P(B)， 故 P(B|A). PAB PA PB PA 0.15 0.55 3 11 因此所求概率为. 3 11 (3)平 均 保 费 E(A) 0.85a0.3 0.15a 1.25a0.2 1.5a0.2 1.75a0.1 2a0.05 1.23a， 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 1.23a a 思维升华 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)，这是通用的求条件概率的 PAB PA 方法 (2)借助古典概型概率公式， 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)， 再在事件 A 发生的条件下求 事件 B 包含的基本
9、事件数，即 n(AB)，得 P(B|A). nAB nA 跟踪训练 1 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡， 这些灯泡的外形与功率都相同且灯 口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次取 到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次取到的是卡口灯泡的概率为_ 答案 7 9 解析 方法一 设事件 A 为“第 1 次取到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次取到的是卡口 灯泡” ， 则 P(A)，P(AB) ， 3 10 3 10 7 9 7 30 则所求概率为 P(B|A) . PAB PA 7 30 3 10 7 9 方法二 第 1 次取到螺口灯泡
10、后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次取到卡口 灯泡的概率为 . C1 7 C1 9 7 9 题型二 相互独立事件的概率 例 2 某企业有甲、 乙两个研发小组， 他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发 2 3 3 5 新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获 利润 100 万元，求该企业可获利润的概率分布 解 记 E甲组研发新产品成功， F乙组研发新产品成功， 由题设知 P(E) ， P( ) ， 2
11、3 E 1 3 P(F) ， 3 5 P( ) ，且事件 E 与 F，E 与 ， 与 F， 与 都相互独立F 2 5 FEEF (1)记 H至少有一种新产品研发成功，则 ，HE F 于是 P( )P( )P( ) ，HEF 1 3 2 5 2 15 故所求的概率为 P(H)1P( )1.H 2 15 13 15 (2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0,100,120,220， 因为 P(X0)P( ) ，E F 1 3 2 5 2 15 P(X100)P( F) ，E 1 3 3 5 3 15 1 5 P(X120)P(E ) ，F 2 3 2 5 4 15 P(X220
12、)P(EF) ， 2 3 3 5 6 15 2 5 故所求的概率分布为 X0100120220 P 2 15 1 5 4 15 2 5 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算 跟踪训练 2 为了纪念 2017 在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办“环保我参与” 有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问 题已知甲家庭回答正确的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家
13、 3 4 1 12 庭都回答正确的概率是 .若各家庭回答是否正确互不影响 1 4 (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答正确的概率 解 (1)记“甲回答正确” 、“乙回答正确” 、“丙回答正确”分别为事件 A，B，C，则 P(A) ， 3 4 且有Error!Error! 即Error!Error! 所以 P(B) ，P(C) . 3 8 2 3 (2)有 0 个家庭回答正确的概率为 P0P( )P( )P( )P( )A B CABC ， 1 4 5 8 1 3 5 96 有 1 个家庭回答正确的概率为 P1P(A B C)B CA C
14、A B ， 3 4 5 8 1 3 1 4 3 8 1 3 1 4 5 8 2 3 7 24 所以不少于 2 个家庭回答正确的概率为 P1P0P11. 5 96 7 24 21 32 题型三 独立重复试验与二项分布 命题点 1 根据独立重复试验求概率 例 3 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、 丁四个不同的公园进行支持签名活动. 公园甲乙丙丁 获得签名人数45603015 然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取 10 名幸运之星回答问题，从 10 个关于长征 的问题中随机抽取 4 个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品 (1)求此活
15、动中各公园幸运之星的人数； (2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好 2 位幸运之星获得纪念 2 2 品的概率； (3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对， 而另外2个问题答不对， 记小李答对的问题数为X， 求 X 的概率分布 解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 103，104，102，101. 45 150 60 150 30 150 15 150 (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为 C 4 ，4 4( 2 2) 1 4 所以乙公园中恰好 2 位幸运之星获得纪念品的概率为 C 22 . 2 4(1 4) ( 3 4) 27 128 (
16、3)由题意，知 X 的所有可能取值为 2,3,4，服从超几何分布，P(X2)，P(X3) C2 8C2 2 C 4 10 2 15 ， C3 8C1 2 C 4 10 8 15 P(X4) . C4 8C0 2 C 4 10 1 3 所以 X 的概率分布为 X234 P 2 15 8 15 1 3 命题点 2 根据独立重复试验求二项分布 例 4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要 么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分， 出现三次音乐获得 100 分， 没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)
17、 设每次击鼓出现音 乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立 1 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的概率分布； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100，200. 根据题意，得 P(X10)C 12 ，1 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X20)C 21 ，2 3 ( 1 2) (1 1 2) 3 8 P(X100)C 30 ，3 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 P(X200)C 03 .0 3 ( 1 2) (1 1 2) 1 8 所以 X 的概率分布为 X1020100200 P 3 8 3 8
18、 1 8 1 8 (2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)， 则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200) . 1 8 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1P(A1A2A3)1 31 . ( 1 8) 1 512 511 512 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是. 511 512 思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1)在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确 利用公式求概率 (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定 二
19、项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率 跟踪训练 3 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况， 交通部门随机选取 100 名家用轿车驾 驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为 ： 在 55 名男性驾驶员中，平均 车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车 速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h 的有 25 人 (1)在被调查的驾驶员中， 从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人， 求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以
20、上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平 均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的概率分布 解 (1)平均车速不超过 100 km/h 的驾驶员有 40 人，从中随机抽取 2 人的方法总数为 C ， 2 40 记“这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员”为事件 A，则事件 A 所包含的基本事 件数为 C C ，所以所求的概率 P(A). 1 151 25 C 1 15C1 25 C 2 40 15 25 20 39 25 52 (2)根据样本估计总体的思想， 从总体中任取 1 辆车， 平均车速超过 100
21、km/h 且为男性驾驶员 的概率为 ， 40 100 2 5 故 XB. (3， 2 5) 所以 P(X0)C 03 ， 0 3(2 5) ( 3 5) 27 125 P(X1)C 2 ， 1 3(2 5)( 3 5) 54 125 P(X2)C 2 ， 2 3(2 5) ( 3 5) 36 125 P(X3)C 30 . 3 3(2 5) ( 3 5) 8 125 所以 X 的概率分布为 X0123 P 27 125 54 125 36 125 8 125 1在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件， 则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合
22、格品的概率为_ 答案 4 99 解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件 A 为“第一次取到不合格品” ，事件 B 为“第 二次取到不合格品” ，则所求的概率为 P(B|A)， 因为 P(AB)，P(A)， C2 5 C 2100 1 495 C1 5 C 1100 1 20 所以 P(B|A). PAB PA 1 495 1 20 4 99 方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有 99 件产 品，其中有 4 件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为. 4 99 2某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的
23、概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_ 答案 0.8 解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6， 那么在前一天空气质量为优良的前提下， 要求随后 一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得 P0.8. 0.6 0.75 3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故 障的概率分别为 和 p，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 p_. 1 8 9 40 答案 2 15 解析 由题意得 (1p)p， 1 8 (1 1 8) 9 40 p. 2 15 4一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.
24、9，服用这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人， 且各人之间互不影响，有下列结论： 3 位病人都被治愈的概率为 0.93； 3 人中的甲被治愈的概率为 0.9； 3 人中恰有 2 人被治愈的概率是 20.920.1； 3 人中恰好有 2 人未被治愈的概率是 30.90.12； 3 人中恰好有 2 人被治愈，且甲被治愈的概率是 0.920.1. 其中正确结论的序号是_ 答案 5在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率， 则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是_ 答案 2 5，1 解析 由题意得 C p(1p)3C p2(1p)2， 1 4
25、2 4 又 0p1，所以 p1. 2 5 6甲射击命中目标的概率是 ，乙射击命中目标的概率是 ，丙射击命中目标的概率是 .现在 1 2 1 3 1 4 三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_ 答案 3 4 解析 设“甲命中目标”为事件 A，“乙命中目标”为事件 B，“丙命中目标”为事件 C， 则击中目标表示事件A， B， C中至少有一个发生 又P( )P( )P( )P( )1P(A)1A B CABC P(B)1P(C) . (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 故目标被击中的概率 P1P( ) .AB C 3 4 7 如图所示的电路有 a， b， c 三个开关， 每个开
26、关闭合或断开的概率都是 ， 且是相互独立的， 1 2 则灯泡甲亮的概率为_ 答案 1 8 解析 灯泡甲亮满足的条件是 a， c 两个开关都闭合， b 开关必须断开， 否则短路 设 “a 闭合” 为事件 A，“b 闭合”为事件 B，“c 闭合”为事件 C，则甲灯亮应为事件 A C，且 A，B，CB 之间彼此独立， 且P(A)P(B)P(C) ， 由独立事件概率公式知P(A C)P(A)P( )P(C) 1 2 BB 1 2 . 1 2 1 2 1 8 8 (2018江苏省兴化市第一中学月考)某篮球运动员投中篮球的概率为 ， 则该运动员 “投篮 3 2 3 次至多投中 1 次”的概率是_(结果用分
27、数表示) 答案 7 27 解析 “投篮 3 次至多投中 1 次”包括只投中一次，和全部没有投中，故“投篮 3 次至多投 中 1 次”的概率是 C 2 C 3 . 2 3 ( 1 3) 2 3 3 3 ( 1 3) 7 27 9排球比赛的规则是 5 局 3 胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为 ，前 2 局中乙队 2 3 以 20 领先，则最后乙队获胜的概率是_ 答案 26 27 解析 乙队 30 获胜的概率为 ， 乙队 31 获胜的概率为 ， 乙队 32 获胜的概率为 1 3 2 3 1 3 2 9 2 . ( 2 3) 1 3 4 27 最后乙队获胜的概率为 P . 1 3 2 9 4
28、 27 19 27 10甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏，每一局三人各掷硬币一次，当有一人掷得的结 果与其他二人不同时，此人就出局且游戏终止，否则就进入下一局，并按相同的规则继续进 行游戏，规定进行到第十局时，无论结果如何都终止游戏已知每次掷硬币中正面向上与反 面向上的概率都是 ，则下列结论正确的是_(填序号) 1 2 第一局甲就出局的概率是 ； 1 3 第一局有人出局的概率是 ； 1 2 第三局才有人出局的概率是； 3 64 若直到第九局才有人出局，则甲出局的概率是 ； 1 3 该游戏在终止前，至少玩了六局的概率大于. 1 1 000 答案 解析 第一局甲就出局的概率是 ，错误；第一局有人
29、出局的概率是 1 2 2 2 2 1 4 ，错误；第三局才有人出局的概率为 ，正确；若直到第九局 2 2 2 2 3 4 1 4 1 4 3 4 3 64 才有人出局，则由于甲、乙、丙三人出局的概率相等，所以甲出局的概率是 ，正确 ； 该游 1 3 戏在终止前，至少玩了六局的概率为 ，错误故正确结论是. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 024 11挑选空军飞行员可以说是“万里挑一” ，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考 (文化考试)、政审若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙 三位同学通过复检关的概率分别是 0.5,0.6,0.75， 能通过文考关
30、的概率分别是 0.6,0.5,0.4， 由于 他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响 (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数 X 的概率分布 解 (1)设 A， B， C 分别表示事件 “甲、 乙、 丙通过复检” ， 则所求概率 PP(A )P( B )P(B CA C C)0.5(10.6)(10.75)(10.5)0.6(10.75)(10.5)(1 0.6)0.75A B 0.275. (2)甲被录取的概率为 P甲0.50.60.3， 同理 P乙0.60.50.3，P丙0.750.40.3. 甲、乙、
31、丙每位同学被录取的概率均为 0.3，故可看成是独立重复试验，即 XB(3,0.3)，X 的可能取值为 0,1,2,3，其中 P(Xk)C (0.3)k(10.3)3k. k 3 故 P(X0)C 0.30(10.3)30.343， 0 3 P(X1)C 0.3(10.3)20.441， 1 3 P(X2)C 0.32(10.3)0.189， 2 3 P(X3)C 0.330.027， 3 3 故 X 的概率分布为 X0123 P0.3430.4410.1890.027 12张先生家住 H 小区，他工作在 C 科技园区，从家开车到公司上班路上有 L1，L2两条路 线(如图)， L1路线上有 A1
32、， A2， A3三个路口， 各路口遇到红灯的概率均为 ； L2路线上有 B1， B2 1 2 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， . 3 4 3 5 (1)若走 L1路线，求最多遇到 1 次红灯的概率； (2)若走 L2路线，求遇到红灯次数 X 的概率分布 解 (1)设走 L1路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件， 则 P(A)C 3C 2 .0 3 ( 1 2) 1 3 1 2 ( 1 2) 1 2 所以走 L1路线，最多遇到 1 次红灯的概率为 . 1 2 (2)依题意，X 的可能取值为 0,1,2. P(X0)， (1 3 4) (1 3 5) 1 10 P(X1) ， 3 4 (
33、1 3 5) (1 3 4) 3 5 9 20 P(X2) . 3 4 3 5 9 20 所以随机变量 X 的概率分布为 X012 P 1 10 9 20 9 20 13如图，在网格状小地图中，一机器人从点 A(0,0)出发，每秒向上或向右移动 1 格到达相 应点已知每次向上移动 1 格的概率是 ，向右移动 1 格的概率是 ，则该机器人 6 秒后到达 2 3 1 3 点 B(4,2)的概率为_ 答案 20 243 解析 由题意，可得 6 秒内向右移动 4 次，向上移动 2 次，则所求概率为 C 42 . 4 6(1 3) ( 2 3) 20 243 14甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别
34、是 和 .假设两人射击是否击中目标相互之 2 3 3 4 间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响 (1)求甲射击 4 次，至少有 1 次未击中目标的概率； (2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率； (3)假设每人连续 2 次未击中目标，则终止其射击问：乙恰好射击 5 次后，被终止射击的概 率是多少？ 解 (1)记“甲连续射击 4 次，至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，则事件 A1的对立事件A1 为“甲连续射击 4 次，全部击中目标” 由题意知，射击 4 次相当于做 4 次独立重复试验 故 P()C 4 .A1 4 4(2 3) 1
35、6 81 所以 P(A1)1P()1.A1 16 81 65 81 所以甲连续射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率为. 65 81 (2)记“甲射击 4 次，恰好有 2 次击中目标”为事件 A2，“乙射击 4 次，恰好有 3 次击中目标” 为事件 B2， 则 P(A2)C 22 ， 2 4 ( 2 3) (1 2 3) 8 27 P(B2)C 31 . 3 4(3 4) (1 3 4) 27 64 由于甲、乙射击相互独立， 故 P(A2B2)P(A2)P(B2) . 8 27 27 64 1 8 所以两人各射击 4 次，甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 . 1 8 (
36、3)记“乙恰好射击 5 次后，被终止射击”为事件 A3，“乙第 i 次射击未击中”为事件 Di(i 1,2,3,4,5)， 则 A3D5D4 3(2 12D1D21)， D D DDD 且 P(Di) . 1 4 由于各事件相互独立，故 P(A3)P(D5)P(D4)P()P(D1D2)D3D2D1D2D1 . 1 4 1 4 3 4 (1 1 4 1 4) 45 1 024 所以乙恰好射击 5 次后，被终止射击的概率为. 45 1 024 15设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若 P(X1) ，则 P(Y1)_. 8 9 答案 26 27 解析 XB(2，p)， P(X1
37、)1P(X0)1C (1p)2 ， 0 2 8 9 解得 p .又 YB(3，p)， 2 3 P(Y1)1P(Y0)1C (1p)3. 0 3 26 27 16某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该 1 5 饮料 (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数 X 的概率分布 解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A，B，C，且相互独立，那么 A， 相互独立BC 又 P(A)P(B)P(C) ， 1 5 P(A )P(A)P( )P( ) 2 .B CBC 1 5( 4 5) 16 125 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为. 16 125 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3，且 XB， (3， 1 5) P(Xk)C k3k(k0,1,2,3)k 3(1 5)( 4 5) 则 P(X0)， C0 343 53 64 125 P(X1)， C1 342 53 48 125 P(X2)， C2 34 53 12 125 P(X3). C3 3 53 1 125 所以中奖人数 X 的概率分布为 X0123 P 64 125 48 125 12 125 1 125