《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.6含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.6含解析.pdf（24页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、11.6 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值与方差 考情考向分析 以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差掌握均值与 方差的求法是解题关键高考中常以解答题的形式考查，难度为中档 1均值 (1)若离散型随机变量 X 的概率分布为 Xx1x2xn Pp1p2pn 则称 E(X)x1p1x2p2xnpn为 X 的均值或数学期望 (2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平 (3)均值的性质 E(c)c，E(aXb)aE(X)b(a，b，c 为常数) 2方差 (1)若离散型随机变量 X 所有可能的取值是 x1， x2， xn， 且这些值的概率分别是 p1， p
2、2， pn，则称： V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn为 X 的方差 (2)，叫标准差V(X) (3)方差的性质 a，b 为常数，则 V(aXb)a2V(X) 若 XB(n，p)，则 E(X)np，V(X)np(1p) 概念方法微思考 随机变量的均值和方差有什么关系？ 提示 均值(数学期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值 对于它的均值(数学期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定( ) (2)随机变量的方差和
3、标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越 小，则偏离变量的平均程度越小( ) (3)若随机变量 X 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大( ) (4)均值是算术平均数概念的推广，和概率无关( ) 题组二 教材改编 2P74 习题 T6在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果某运动员罚球命中 的概率为 0.7，那么他罚球 1 次的得分 X 的均值是_ 答案 0.7 解析 E(X)10.700.30.7. 3P69 例 2有 10 件产品，其中 3 件是次品，从这 10 件产品中任取 2 件，用 X 表示取到次 品的件数，则 E(X)_. 答案 3
4、5 解析 X 服从超几何分布， P(Xx)(x0,1,2)， Cx 3C2x 7 C 2 10 P(X0)， C2 7 C 2 10 21 45 7 15 P(X1)， C1 7C1 3 C 2 10 21 45 7 15 P(X2). C2 3 C 2 10 3 45 1 15 E(X)012 . 7 15 7 15 1 15 9 15 3 5 4P74 习题 T1随机变量 X 的概率分布为 X101 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列若 E(X) ，则方差 V(X)的值是_ 1 3 答案 5 9 解析 a，b，c 成等差数列，2bac. 又 abc1，E(X)1a1cca ， 1 3
5、得 a ，b ，c ， 1 6 1 3 1 2 V(X) 2 2 2 . (1 1 3) 1 6 ( 1 3) ( 1 3) ( 2 3) 1 2 5 9 题组三 易错自纠 5下列说法中正确的是_(填序号) 离散型随机变量 X 的均值 E(X)反映了 X 取值的概率的平均值； 离散型随机变量 X 的方差 V(X)反映了 X 取值相对于均值的离散程度； 离散型随机变量 X 的均值 E(X)反映了 X 取值的大小规律； 离散型随机变量 X 的方差 V(X)反映了 X 取值的概率的平均值 答案 解析 根据均值与方差的概念知正确 6设样本数据 x1，x2，x10的均值和方差分别为 1 和 4.若 yi
6、xia(a 为非零常数，i 1,2，10)，则 y1，y2，y10的均值和标准差分别为_，_. 答案 1a 2 解析 将每个数据都加上 a 后均值也增加 a，方差与标准差都不变 7一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表 示抽到的二等品件数，则 V(X)_. 答案 1.96 解析 由题意得 XB(100,0.02)， V(X)1000.02(10.02)1.96. 题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差 例 1 (2018无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过 2 小时免费， 超过
7、2 小时的部分每小时收费 1 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)现有甲、乙两人独立 来该停车场停车(各停车一次)， 且两人停车时间均不超过 5 小时 设甲、 乙两人停车时间(小时) 与取车概率如下表所示. 停车时间 取车概率 停车人员 (0,2(2,3(3,4(4,5 甲 1 2 xxx 乙 1 6 1 3 y0 (1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率； (2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量 ，求 的概率分布与均值 E() 解 (1)由题意，得 3x1，所以 x . 1 2 1 6 y1，所以 y . 1 6 1 3 1 2 记甲、乙两人所付停车费相同为事件 A，则 P(A) .
8、 1 2 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 2 9 所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为 . 2 9 (2) 可能取的值为 0,1,2,3,4,5， P(0)， 1 12 P(1) ， 1 2 1 3 1 6 1 6 7 36 P(2) ， 1 6 1 6 1 6 1 3 1 2 1 2 1 3 P(3) ， 1 6 1 6 1 6 1 3 1 6 1 2 1 6 P(4) ， 1 6 1 2 1 6 1 3 5 36 P(5) . 1 6 1 2 1 12 所以 的概率分布为 012345 P 1 12 7 36 1 3 1 6 5 36 1 12 所以 E()012 3 45 . 1
9、 12 7 36 1 3 1 6 5 36 1 12 7 3 命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 例 2 设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一 个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 (1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随 机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的概率分布； (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球， 记随机变量为取出此球所得分数 若E() ，V() ，求 abc. 5 3 5 9 解 (1)由题意得 2,3,4,5,6， 故 P(2) ，P
10、(3) ， 3 3 6 6 1 4 2 3 2 6 6 1 3 P(4)，P(5) ， 2 3 12 2 6 6 5 18 2 2 1 6 6 1 9 P(6). 1 1 6 6 1 36 所以 的概率分布为 23456 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 (2)由题意知 的概率分布为 123 P a abc b abc c abc 所以 E() ， a abc 2b abc 3c abc 5 3 V() 2 2 2 ，化简得Error! (1 5 3) a abc (2 5 3) b abc (3 5 3) c abc 5 9 解得 a3c，b2c，故 abc321. 思维升华
11、离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利 用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)， 解方程(组)即可求出参数值 (3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断 跟踪训练 1 为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑 雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立
12、地来该滑雪场运动，设甲、乙不 超过 1 小时离开的概率分别为 ，；1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 ，；两人 1 4 1 6 1 2 2 3 滑雪时间都不会超过 3 小时 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求 的概率分布与均值 E()，方差 V() 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元， 甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为 ， . (1 1 4 1 2) 1 4 (1 1 6 2 3) 1 6 两人都付 0 元的概率为 P1 ， 1 4 1 6 1 24 两人都付 40
13、 元的概率为 P2 ， 1 2 2 3 1 3 两人都付 80 元的概率为 P3 ， 1 4 1 6 1 24 则两人所付费用相同的概率为 PP1P2P3 . 1 24 1 3 1 24 5 12 (2)设甲、乙所付费用之和为 ， 的可能取值为 0,40,80,120,160，则 P(0) ， 1 4 1 6 1 24 P(40) ， 1 4 2 3 1 2 1 6 1 4 P(80) ， 1 4 1 6 1 2 2 3 1 4 1 6 5 12 P(120) ， 1 2 1 6 1 4 2 3 1 4 P(160) . 1 4 1 6 1 24 所以 的概率分布为 04080120160 P
14、 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 E()040 80120 16080. 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 V()(080)2(4080)2 (8080)2(12080)2 (16080)2. 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 4 000 3 题型二 均值与方差在决策中的应用 例 3 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站过去 50 年的水文资料显示，水库 年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在 40 以上其 中， 不足 80 的年份有 10 年， 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年， 超过 12
15、0 的年份有 5 年， 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立 (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制， 并有如下关系： 年入流量 X40120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电 机年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解 (1)由题意，得 p1P(40120)0.1. 5 50 由二项分布可知，在未来 4 年中，至多有 1
16、 年的年入流量超过 120 的概率为 pC (1p3)4C (1p3)3p3 0 41 4 443 0.947 7. ( 9 10) ( 9 10) 1 10 (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40， 故一台发电机运行的概率为 1， 对应的年利润 Y5 000， E(Y)5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形 依题意，当 40120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得 Y 的概率分布为 Y3 4009 20015 000 P0.20.70.1 所
17、以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变量稳定于均值 的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依 据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 跟踪训练 2 某投资公司在 2018 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项 目供选择： 项目一 ： 新能源汽车 据市场调研， 投资到该项目上， 到年底可能获利 30%， 也可能亏损 15%， 且这两种情况发生的概率分别为 和
18、 ； 7 9 2 9 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%， 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和. 3 5 1 3 1 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元，则 X1的概率分布为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)300 (150) 200. 7 9 2 9 若按“项目二”投资，设获利为 X2万元，则 X2的概率分布为 X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)500 (300) 0200. 3 5 1 3 1 15
19、V(X1)(300200)2 (150200)2 35 000， 7 9 2 9 V(X2)(500200)2 (300200)2 (0200)2140 000. 3 5 1 3 1 15 E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 离散型随机变量的均值与方差问题 例 (10 分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位 顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该 顾客所获的奖励额 (1)若袋中所装的 4 个球中有 1
20、 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求： 顾客所获的奖励额为 60 元的概率； 顾客所获的奖励额的概率分布及均值； (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元， 并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的 两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符 合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的 设计，并说明理由 规范解答 解 (1)设顾客所获的奖励额为 X. 由题意，得 P(X60) ， C1 1C1 3 C2 4 1 2 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为 .
21、1 2 由题意，得 X 的所有可能取值为 20,60. P(X60) ，P(X20) ， 1 2 C2 3 C2 4 1 2 故 X 的概率分布为 X2060 P 1 2 1 2 2 分 所以顾客所获的奖励额的均值为 E(X)20 60 40. 3 分 1 2 1 2 (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元， 所以，先寻找均值为 60 的可能方案 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为 60 元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为 60 元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为 60 元是面值之和的最小值，
22、所以均值也不可能为 60 元； 因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2. 以下是对两个方案的分析 对于方案 1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为 X1， 则 X1的概率分布为 X12060100 P 1 6 2 3 1 6 6 分 X1的均值为 E(X1)20 60 100 60， 1 6 2 3 1 6 X1的方差为 V(X1)(2060)2 (6060)2 (10060)
23、2 . 1 6 2 3 1 6 1 600 3 对于方案 2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为 X2， 则 X2的概率分布为 X2406080 P 1 6 2 3 1 6 8 分 X2的均值为 E(X2)40 60 80 60， 1 6 2 3 1 6 X2的方差为 V(X2)(4060)2 (6060)2 (8060)2 . 1 6 2 3 1 6 400 3 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该 选择方案 2. 10 分 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值及每个值所对应的
24、概率； 第二步：列出离散型随机变量的概率分布； 第三步：求均值和方差； 第四步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题). 1在数学趣味知识培训活动中，甲学生的 6 次培训成绩分别为 102,105,112,113,117,123，从 中随机抽 2 个，记被抽到的分数超过 115 的个数为 X，则随机变量 X 的标准差为_ 答案 4 5 15 解析 由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2， 且 X 服从超几何分布， P(X0) ， P(X1) C2 4 C2 6 2 5 ，P(X2)，所以 X 的概率分布为 C1 4C1 2 C2 6 8 15 C2 2 C2 6
25、 1 15 X012 P 2 5 8 15 1 15 E(X)0 12 ， 2 5 8 15 1 15 2 3 则 X 的标准差 .VX 4 9 2 5 1 9 8 15 16 9 1 15 4 5 15 2设随机变量 的概率分布如下表所示，且 E()1.6，则 ab_. 0123 P0.1ab0.1 答案 0.2 解析 由 0.1ab0.11，得 ab0.8. 又由 E()00.11a2b30.11.6， 得 a2b1.3， 解得 a0.3，b0.5，ab0.2. 3甲、乙等 5 名志愿者被随机地分到 A，B，C，D4 个不同的岗位服务，每个岗位至少有 1 名 志愿者设随机变量 X 为这 5
26、 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，则 X 的均值为_ 答案 5 4 解析 根据题意，5 名志愿者被随机分配到 A，B，C，D4 个不同的岗位，每个岗位至少 1 名， 共有 C A 240(种)分法， 分析知 X1,2， 且 P(X1) ， P(X2) 2 54 4 C1 5C2 4A3 3 240 180 240 3 4 C2 5A3 3 240 60 240 ，故 E(X)1 2 . 1 4 3 4 1 4 5 4 4若 XB(n，p)，且 E(X)6，V(X)3，则 P(X1)的值为_ 答案 3210 解析 由题意知Error! 解得Error! P(X1)C 11 3210. 1 1
27、2 1 2 (1 1 2) 12 212 5一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的从袋子中 摸出 2 个球，其中白球的个数为 X，则 X 的均值是_ 答案 4 5 解析 根据题意知 X0,1,2， 而 P(X0)；P(X1)； C2 6 C 2 10 15 45 C1 6C1 4 C 2 10 24 45 P(X2). C2 4 C 2 10 6 45 故 E(X)012 . 15 45 24 45 6 45 36 45 4 5 6 某班举行了一次 “心有灵犀” 的活动， 教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学， 这个同学再用身体语言把成语的意思
28、传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率 是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各 猜 1 次，得分之和 X(单位：分)的均值为_ 答案 0.9 解析 由题意得 X0,1,2，则 P(X0)0.60.50.3， P(X1)0.40.50.60.50.5， P(X2)0.40.50.2， E(X)10.520.20.9. 7某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%；如果失败，一 年后将丧失全部资金的 50%，下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果： 投资成功投资失败 192 例8 例 则估计该公司
29、一年后可获收益的均值是_元 答案 4 760 解析 由题意知，一年后获利 6 000 元的概率为 0.96，获利25 000 元的概率为 0.04，故一 年后收益的均值是 6 0000.96(25 000)0.044 760(元) 8马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布如下表： x123 P(x)？！？ 请小牛同学计算 的均值尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断 定这两个“？”处的数值相同据此，小牛给出了正确答案 E()_. 答案 2 解析 设“？”处的数值为 x，则“！”处的数值为 12x，则 E()1x2(12x)3xx24x3x2. 9某保险公司新开设一项保险业
30、务，规定该份保单在一年内如果事件 E 发生，则该公司要 赔偿 a 元，在一年内如果事件 E 发生的概率为 p，为使该公司收益均值等于，公司应要求 a 10 该保单的顾客缴纳的保险金为_元 答案 a10p1 10 解析 设随机变量 X 表示该公司此项业务的收益额，x 表示顾客交纳的保险金，则 X 的所有 可能值为 x，xa，且 P(Xx)1p，P(Xxa)p，所以 E(X)x(1p)(xa)p， a 10 得 x. a10p1 10 10随机变量 的取值为 0,1,2.若 P(0) ，E()1，则 V()_. 1 5 答案 2 5 解析 设 P(1)a，P(2)b， 则Error!解得Error
31、! 所以 V() 0 1 . 1 5 3 5 1 5 2 5 11从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红 灯的概率分别为 ， . 1 2 1 3 1 4 (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的概率分布和均值； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， P(X0) ， (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 P(X1) ， 1 2 (1 1 3) (1 1 4) (1 1 2) 1 3 (1 1 4) (1 1
32、 2) (1 1 3) 1 4 11 24 P(X2) ， (1 1 2) 1 3 1 4 1 2 (1 1 3) 1 4 1 2 1 3 (1 1 4) 1 4 P(X3) . 1 2 1 3 1 4 1 24 所以随机变量 X 的概率分布为 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 E(X)0 12 3. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0) P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0) . 1 4 11 24 11 24 1 4
33、11 48 所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为. 11 48 12汽车租赁公司为了调查 A，B 两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各 100 辆 汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A 型车 出租天数1234567 车辆数51030351532 B 型车 出租天数1234567 车辆数1420201615105 (1)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A，B 两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率； (2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好 为 4 天的概率； (3)试写出 A，
34、B 两种车型的出租天数的概率分布及均值； 如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从 A，B 两种车型中购买一辆， 请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由 解 (1)这辆汽车是 A 型车的概率约为 P0.6， 30 3020 故这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6. (2)设“事件 Ai表示一辆 A 型车在一周内出租天数恰好为 i 天” ，“事件 Bj表示一辆 B 型车在 一周内出租天数恰好为 j 天” ，其中 i，j1,2,3，7， 则该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 P(A1B3A2B2 A3B1) P(A1B
35、3)P(A2B2)P(A3B1) P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1) ， 5 100 20 100 10 100 20 100 30 100 14 100 9 125 故该公司一辆 A 型车，一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为. 9 125 (3)设 X 为 A 型车出租的天数，则 X 的概率分布为 X1234567 P0.050.100.300.350.150.030.02 设 Y 为 B 型车出租的天数，则 Y 的概率分布为 Y1234567 P0.140.200.200.160.150.100.05 E(X)10.0520.1030.3040
36、.3550.1560.0370.023.62， E(Y)10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.053.48. 一辆 A 类车型的出租车一个星期出租天数的均值为 3.62 天， B 类车型的出租车一个星期出 租天数的均值为 3.48 天，故选择 A 类型的出租车更加合理 13某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须经过先后两次烧制，两 次烧制过程相互独立根据该厂现有的技术水平，第一次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的 概率依次为 0.5,0.6,0.4；第二次烧制，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.6,0.5,0.75.若 经过两次烧制后，合格工艺品
37、的件数是 X，则随机变量 X 的均值为_ 答案 0.9 解析 因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 0.3， 所以 XB(3,0.3)， 故随机变量 X 的均值 E(X)30.30.9. 14(2018南京学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进 行到有人获胜或每人都已投球 3 次时结束 设甲每次投篮命中的概率为 ， 乙每次投篮命中的 2 5 概率为 ，且各次投篮互不影响现由甲先投 2 3 (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数 X 的概率分布与均值 解 (1)设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai(i1,2,3)，则 A1，A2，A3彼此互斥
38、甲获胜的事件为 A1A2A3. P(A1) ， 2 5 P(A2) ， 3 5 1 3 2 5 2 25 P(A3) 22 . ( 3 5) ( 1 3) 2 5 2 125 所以 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) . 2 5 2 25 2 125 62 125 (2)X 的所有可能取值为 1,2,3. 则 P(X1) ， 2 5 3 5 2 3 4 5 P(X2) ， 2 25 3 5 1 3 3 5 2 3 4 25 P(X3) 221 . ( 3 5) ( 1 3) 1 25 即 X 的概率分布为 X123 P 4 5 4 25 1 25 所以 E(X)1 23. 4 5
39、 4 25 1 25 31 25 15设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0； 当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，2，则随机变量 的均 值是_ 答案 10 2 11 解析 的可能取值为 0， ，1,2，则2 P(0)， 8C2 3 C 2 12 4 11 P()，2 6 C 2 12 1 11 P(1)， 12 C 2 12 2 11 P(2). 24 C 2 12 4 11 的概率分布为 0122 P 4 11 2 11 1 11 4 11 E()012. 4 11 2 11 2 1 11 4 11 10 2 11 16某项
40、乒乓球赛事，种子选手 M 与 B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按 以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为 ，且各场比赛互不影响求 M 获胜场数 X 3 4 2 3 1 2 的均值 解 设 M 与 B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件为 A，B，C， 则 P(A) ，P(B) ，P(C) . 3 4 2 3 1 2 M 获胜场数 X 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(X0)P( )，A B C (1 3 4) (1 2 3) (1 1 2) 1 24 P(X1)P(A )P( C)P( B ) B CA BA C 3 4 (1 2 3) (1 1 2) (1 3 4) (1 2 3) 1 2 (1 3 4) 2 3 ， (1 1 2) 6 24 1 4 P(X2)P(AB )P(A C)P( BC) CBA 3 4 2 3 (1 1 2) 3 4 (1 2 3) 1 2 (1 3 4) 2 3 1 2 . 11 24 P(X3)P(ABC) . 3 4 2 3 1 2 6 24 1 4 所以 M 获胜场数 X 的概率分布为 X0123 P 1 24 1 4 11 24 1 4 所以 E(X)01 23 . 1 24 1 4 11 24 1 4 23 12