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1、专题 03 利用函数的图像探究函数的性质专题 03 利用函数的图像探究函数的性质 【自主热身，归纳提炼】【自主热身，归纳提炼】 1、作出下列函数的图象： (1)(1)y22x； (2)ylog 3(x2)； (3)y|log (x)|. 【思路点拨】：搞清各个函数与基本函数之间的关系，然后用图象变换法画函数图象 (3)作ylogx的图象关于y轴对称的图象， 得ylog (x)的图象， 再把x轴下方的部分翻折到x轴上方， 1 2 1 2 可得到 y|log (x)|的图象如图 3. 1 2 1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域 (2)化简函数【解析】式 (3)讨论函数的性质(如函
2、数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、 与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等) (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象 2采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征， 处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的【解析】式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行 单一变换，最终得到所要的函数图象 2、 若函数的值域是4,)，则实数a的取值范围是 【答案】：12a 【解析】 作出函数的图象，易知当2x时，要使( )f x的值域为 4,)， 由图可知，显然1a 且，即12a 3、 已知函数f(x
3、)(x(1,2)，则函数yf(x1)的值域为_|2x2| 【答案】0,2) 解法 1 由于平移不改变值域，故只需要研究原函数的值域画出函数f(x)|2x2|的图像由下图易得值 域为0,2) 解法 2 因为x(1,2)，所以 2x，2x2，所以|2x2|0,2)因为yf(x1)是由f(x) ( 1 2，4)( 3 2，2) 向右平移 1 个单位得到的，所以值域不变，所以yf(x1)的值域为0,2) 4、 已知f(x)是定义在R R上的偶函数， 且对于任意的x0， )， 满足f(x2)f(x) 若当x0,2)时，f(x) |x2x1|，则函数yf(x)1 在区间2,4上的零点个数为_ 【答案】：7
4、 【解析】 ： 作出函数f(x)的图像(如图)， 则它与直线y1 在2,4上的交点的个数， 即为函数yf(x)1 在2,4的零点的个数，由图像观察知共有 7 个交点，从而函数yf(x)1 在2,4上的零点有 7 个 5、 已知函数f(x)Error!若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点， 则实数m的取值范围是_ 【答案】(1,2 解法1 问题转化为g(x)0， 即方程f(x)2x有三个不同的解， 即Error!或Error!解得Error!或Error!或 Error!因为方程f(x)2x有三个不同的解，所以Error!解得 10 时，要使它们有四个公共点，则需ykx1 |x 1 x|
5、 |x 1 x| 与y (x1)有一个公共点，此时kx1 ，即方程kx2x20有两个相等的实数解，从而18k 2 x 2 x 0，解得k ；当k 0， x33mx2， x 0) 的取值范围是_ 【答案】 (1，) 解法 1(直接法) 当 x0 时，令 f(x)ex 0，解得 xln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要求函 1 2 数f(x)在R上有3个不同的零点， 则当x0时，f(x)x33mx2有2个不同的零点， 因为f(x)3x23m， 令f(x)0，则x2m0，若m0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m0，所以函数f(x)在(， )上为增函数， 在(， 0上为减函数， 即f
6、(x)maxf()m3m22m2，f(0)mmmmmm 20，即m1，故实数mm 的取值范围是(1，) 解法 2(分离参数) 当 x0 时，令 f(x)ex 0，解得 xln20，此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要求 1 2 函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点， 则当x0 时，f(x)x33mx2 有 2 个不同的零点， 即x33mx20， 显然x0 不是它的根， 所以 3mx2 ， 令yx2 (x0， 此时函数单调递增， 故ymin3， 因此， 要使f(x)x33mx2 在(，0)上有两个不同的零点，则需 3m3，即m1. 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和
7、思路：解后反思 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2 就是此法它的本质就是将函数 转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研 究问题 (3) 数形结合法：先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求 解这里采用方法是(1)和(3)的结合 【关联 6】 、【关联 6】 、已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数a的取值范围 是 【答案】：a0 或a2 【思路点拨】：由于是分段函数，当a0 和 0a 时，
8、一次函数的图象不同，故要分两种情况讨论，由函 数【解析】式结构特点知a 0 时，函数图象过三个象限，问题就变成了考虑 0a 的情形，也就是由题意 的图象需经过第一、二象限，有两种思路： 思路 1，分离参数后，转化两个函数图象在y轴右侧的图象有公共点（且不相切） ，找到临界切线位置； 思路 2，转化不等式的存在性问题，分离参数后，转化求最值问题，最终求得a的取值范围. 【 解 析 】【 解 析 】 当a 0 时 ，的 图 象 经 过 两 个 象 限 ， 在 （0，+）恒成立，所以图象仅在第一象限，所以a0 时显然满足题意； 当a0 时，的图象仅经过第三象限， 由题意 的图象需经过第一、二象限 【
9、解法 1】 （图像法）【解法 1】 （图像法）与yax在y轴右侧的图象有公 （图 14（1） ） l0 Ox y P 共点（且不相切） 如图， = ， 设切点坐标为， 2 31yx = - ，则有 ， 解得 0 1x =,所以临界直线 0 l的斜率为 2，所以a2 时，符合综上，a0 或a2 ( )g x 在(0,1)单调递减， 在 （1， 2） 单调递增， 又 2x 时， 函数为增函数， 所以函数的最小值为 2， 所以a2， 则实数a的取值范围为a0 或a2 解后反思：解后反思：填空题中的函数问题，可优先选择利用数形结合思想，通过分离参数、分离函数等途径转化为 两函数图像的关系问题处理解法一
10、中也可以转化为：与ya在y轴右侧 的图象有公共点（且不相切） 易求出此时a2，则实数a的取值范围为a0 或a2 例 3、已知函数，若存在实数a、b、c、d，满足 f d ，其中，则abcd的取值范围是 . 【答案】： 21,24 【思路点拨】：由存在实数a、b、c、d，满足 f d得， 存在一条平行于x轴的直线与函数( )f x的图象有四个不同的 交点，从而得到, , ,a b c d之间所存在的关系， 利用这一关系来 求得abcd的取值范围。 【解析】 ： 如图， 由图形可知01a，13b， 则 ， 3 log b， ，1ab，因为，所以 ，由得34x 或67x，由于cd，且二次函数的图象的
11、对称轴为5x ，故 34c且10dc，故 易错警示：本题中最容易忽略的是c的取值范围，从而导致出错。 【变式 1】 、 【变式 1】 、 已知函数若存在实数abc ，满足，则的最大 值是 【答案】： 2 2e12 【思路点拨】：根据函数【解析】式，可以结合函数的图象得出a，b，c的关系，利用消元思想将问题转 化为一元函数问题，进而利用导数知识解决. 解题过程：作函数)(xf的图象如下： 根 据 题 意 ， 结 合 图 象 可 得6ba， 且 2 ece 所以 令， 2 ece 则，易得)( cg在 2 ,ee上递增，又因为 ，根据零点存在性定理可得存在唯一 2 0 ,eex ，使得0)( 0
12、xg，从而函数)(cg的减区间是 0 ,xe，增区间是 2 0,e x， 又因为， ，则 所以在 2 ,ee上的最大值是122 2 e 解后反思：本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归 与转化等重要数学思想. 【变式 2】 、 【变式 2】 、 已知函数若存在 12 ,x x R ，当时，则 12 ()x f x的取值范围为 【解析】 ： 因为时，画出函数( )f x的 图象，易知 1 13x， 则此时，所以 ，令，解得 1 8 3 x ，当 1 8 3 x 取得最大值 256 27 ， 1 1x 时取得最小值 3， 所以 12 ()x f x的取值
13、范围是 256 3, 27 【关联1】、【关联1】、设函数 ， 若存在 1 , 0, 21 xx， 使 成立，则实数 a 的取值范围为. 【答案】： 4 , 1 【思路点拨】：先分别求出函数)(xf和)(xg的值域，再根据条件建立这两个函数值域之间的关系并求出 实数a的取值范围. 【解析】：对于函数)(xf，当 2 1 , 0x时，；当 1 , 2 1 (x时， ， 从而当 1 , 0x，函数)(xf的值域为 1 , 0 1 D； 对于函数)(xg，因为10 x，所以 ， 从而当 1 , 0x，函数)(xg的值域为（0a） ； 因为存在 1 , 0, 21 xx，使，所以, 若，则0 2 1
14、2a或12a，解之得10 a或4a， 所以当时，41 a，即所求是实数a的取值范围是4 , 1 . 精彩点评：本题求函数)(xf和函数)(xg的值域并不困难，关键在于先求时实数 a的取值范围， 再用补集的思想 实数a的取值范围， 从而得到本题的最终 【答案】 ， 这种正难则反的思想希望同学们掌握. 【关联 2】 、【关联 2】 、 已知函数f(x)Error!若abc且fff，则(ab1)c的取值范围是_.(a)(b)(c) 例 3、已知函数f(x)是定义在1，)上的函数，且f(x)Error!则函数y2xf(x)3 在区间(1,2 015) 上的零点个数为_ 【答案】11 解法 1 由题意得
15、当 1x2 时，f(x)Error!设x2n1,2n)(nN N*)， 则1,2)， 又f(x)f x 2n1 1 2n1 ， ( 1 2n1x) 当时， 则x2n1,32n2， 所以f(x)f， 所以 2xf(x)3 x 2n11， 3 2 1 2n1( 1 2n1x) 1 2n1(2 1 2n1x2) 2x30，整理得x222n2x322n40.解得x32n2或x2n2.由于x 1 2n1(2 1 2n1x2) 2n1,32n2，所以x32n2； 下面证明：当x2n1,2n)时，y2xf(x)3 只有一个零点 当x2n1,32n2时，yf(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g
16、(32n2)， 所以x2n1,32n 2时， 有一零点x32n2； 当x(32n2,2n)时，yf(x) ，k1f(x)， 1 2n1 1 2n1( x 2n23) 1 22n3 g(x)，k2g(x)，所以k1k2.又因为f(32n2)g(32n2)，所以 3 2x 3 2x2( 1 322n3， 3 22n1) 当x2n1,2n)时，y2xf(x)3 只有一个零点 由x32n2(1,2 015)， 得n11， 所以函数y 2xf(x)3 在区间(1,2 015)上零点的个数是 11. 解法 3 分别作出函数yf(x)与y的图像，如图，交点在x1 ，x23，x36，xn32n2处取 3 2x
17、 3 2 得由x32n2(1,2 015)，得n11，所以函数y2xf(x)3 在区间(1,2 015)上零点的个数是 11. 【变式】 、【变式】 、. 已知函数f(x)Error!当x0,100时，关于x的方程f(x)x 的所有解的和为_ 1 5 【答案】10 000 【思路点拨】 注意到方程f(x)x 的解可以看做函数yf(x)与yx 的图像交点的横坐标，同时， 1 5 1 5 注意到f(x)f(x1)1 具有“周期性”的特点，由此可作出的图像，由图像来得到解的规律，进而得到 所有解的和 分别作出函数yf(x)与yx 的图像(如图)当x0,1)时，令f(x)(x1)22(x1)1x ， 1 5 1 5 即x2x 0，此时两根之和为 1；由图可知，当x1,2)，x2,3)时，它们的两个根的和组成公差 1 5 为 2 的等差数列，从而当x0,100时，所有的解的和为10 000. 100112 1001 2 应用数形结合的方法来研究解的个数或与解相关的问题，是一种常用的策略，也是简化问题求解解后反思 的一种手段，要熟练地掌握