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1、1.1.2 基本不等式基本不等式 一、教学目标一、教学目标 1了解两个正数的算术平均数与几何平均数 2理解定理 1 和定理 2(基本不等式) 3掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题 二、课时安排二、课时安排 1 课时 三、教学重点三、教学重点 理解定理 1 和定理 2(基本不等式) 四、教学难点四、教学难点 掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题 五、教学过程五、教学过程 （一）导入新课 已知 lg xlg y2，则 的最小值为_ 1 x 1 y 【解析】 lg xlg y2， x0，y0，lg(xy)2，xy102， 2 ，当且仅当 xy10 时，等号成立 1 x 1
2、y 1 xy 1 5 【答案】 1 5 （二）讲授新课 教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均 1两个定理 定理内容等号成立的条件 定理 1a2b2 (a，bR)当且仅当 时，等号成立 定理 2来源:学科 网 (a，b0) ab 2 当且仅当 时，等号成立 2.算术平均与几何平均 如果 a，b 都是正数，我们称 为 a，b 的算术平均， 为 a，b 的几何平均 教材整理 2 利用基本不等式求最值 已知 x，y 为正数，xyS，xyP，则 (1)如果 P 是 ，那么当且仅当 时，S 取得最小值 ； (2)如果 S 是 ，那么当且仅当 xy 时，P 取得最大值 . （三）重难点精讲 题型一、利
3、用基本不等式证明不等式 例 1 已知 a，b，c 都是正数，求证： abc. a2 b b2 c c2 a 【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系 【自主解答】 a0，b0，c0， b2 2a， a2 b a2 b b 同理：c2b， a2c. b2 c c2 a 三式相加得： (bca)2(abc)， a2 b b2 c c2 a abc. a2 b b2 c c2 a 规律总结： 1首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和 条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明 2 当且仅当 abc 时， 上述不等式中 “等号”成立， 若三个式
4、子中有一个 “”号取不到， 则三式相加所得的式子中“”号取不到 再练一题 1已知 x，y，z 均为正数，求证： .来源:学科网 ZXXK x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 【证明】 x，y，z 都是正数， . x yz y zx 1 z( x y y x) 2 z 同理可得 ， . y zx z xy 2 x z xy x yz 2 y 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得 . x yz y zx z xy 1 x 1 y 1 z 题型二、利用基本不等式求最值 例 2 设 x，y，z 均是正数，x2y3z0，则的最小值为_ y2 xz 【精彩点拨】 由条件表示 y
5、，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式， y2 xz 求出最小值，但要注意等号取到的条件 【自主解答】 由 x2y3z0，得 y，来源:学科网 ZXXK x3z 2 y2 xz x29z26xz 4xz 1 4( x z 9z x 6) 3. 1 4(2 x z 9z x 6) 当且仅当 xy3z 时，取得最小值 3. y2 xz 【答案】 3 规律总结： 1本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的 y，通过对目标函数的变形，转 化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题 2使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：各项均为正数；其和或积为 定值；等号必须成立，即“一正、二定、三
6、相等”在具体问题中，“定值”条件决定着基本 不等式应用的可行性，决定着成败的关键 再练一题 2已知 x0，y0，且 1，试求 xy 的最小值. 1 x 9 y 【解】 x0，y0，且 1， 1 x 9 y xy(xy)(1 x 9 y) 1021016. y x 9x y y x 9x y 当且仅当 ，即 y3x 时等号成立 y x 9x y 又 1，当 x4，y12 时，(xy)min16. 1 x 9 y 题型三、基本不等式的实际应用 例 3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2016 年里约热内卢奥运会 期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量 x 万
7、件与年促销费 t 万 元之间满足 3x 与 t1 成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万 件已知 2016 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品 需要投入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与平均每件 促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 (1)若计划 2016 年生产的化妆品正好能销售完，试将 2016 年的利润 y(万元)表示为促销 费 t(万元)的函数； (2)该企业 2016 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润销售收入
8、生产成本促销 费；生产成本固定费用生产费用； (2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式利用 基本不等式求最值 【自主解答】 (1)由题意可设 3x(k0)， k t1 将 t0，x1 代入，得 k2. x3. 2 t1 当年生产 x 万件时，年生产成本为 32x3323. (3 2 t1) 当销售 x 万件时，年销售收入为来源:Z+xx+k.Com 150% t. 32 (3 2 t1)3 1 2 由题意，生产 x 万件化妆品正好销完， 得年利润 y(t0) t298t35 2t1 (2)y50 t298t35 2t1 ( t1 2 32 t1) 5025024
9、2， t1 2 32 t1 16 当且仅当，即 t7 时，等号成立，ymax42， t1 2 32 t1 当促销费定在 7 万元时，年利润最大 规律总结： 设出变量 建立 数学模型 定义域 利用均值不等式求最值 “”成 立的条件 结论 再练一题 3 如图所示， 为处理含有某种杂质的污水， 要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱， 污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水 中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比， 现有制箱材料 60 m2， 问当 a， b 各为多长时， 沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔的
10、面积忽略不计)? 【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为 y，由题意 y，其中 k 为比例系数 k ab (k0)根据题意，得 22b2ab2a60(a0，b0)， b(由 a0，b0，可得 a0)要 k ab 求 y 的最小值必须先求出 ab 的最大值 依题设 4b2ab2a60，即 aba2b30(a0，b0) a2b2(当且仅当 a2b 时取“”)，2ab ab230，可解得 00，lg x2；任意 xR，ax 2；任意 x，tan 1 lg x 1 ax (0， 2) x2；任意 xR，sin x2. 1 tan x 1 sin x 其中真命题有( )来源:学科网 A B C D.
11、 【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定 【自主解答】 在中， lg xR， sin x1,1， 不能确定 lg x0 与 sin x0.因此 是假命题； 在中，ax0，ax 22，当且仅当 x0 时，取等号，则是真命题； 1 ax ax 1 ax 在中，当 x时，tan x0，有 tan x2，且 x 时取等号，是真命题 (0， 2) 1 tan x 4 【答案】 C 规律总结： 1本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件在定理 1 和定理 2 中，“ab” 是等号成立的充要条件但两个定理有区别又有联系：(1)是 a2b22ab 的特例， ab 2 ab 但二者适用范围不同， 前
12、者要求 a， b 均为正数， 后者只要求 a， bR； (2)a， b 大于 0 是 ab 2 的充分不必要条件；a，b 为实数是 a2b22ab 的充要条件ab 2当 ba0 时，有变形不等式 a b. 2ab ab ab ab 2 a2b2 2 再练一题 4若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 ab C. D. 2 1 a 1 b 2 ab b a a b 【解析】 A 选项中，当 ab 时，a2b22ab，则排除 A； 当 a0，ab 1 a 1 b 2 ab 则 0， 0， 22，当且仅当 ab 时取“”，所以选 D. b a a b
13、b a a b b a a b 【答案】 D （四）归纳小结 基本不等式Error! （五）随堂检测 1下列结论中不正确的是( ) Aa0 时，a 2 B. 2 1 a b a a b Ca2b22ab D.a2b2ab 2 2 【解析】 选项 A， C 显然正确； 选项 D 中， 2(a2b2)(ab)2a2b22ab0， a2 b2成立 ； 而选项 B 中， 2 不成立，因为若 ab0，则不满足不等式成立的条件 ab2 2 b a a b 【答案】 B 2下列各式中，最小值等于 2 的是( ) A. B. x y y x x25 x24 Ctan D.2x2x 1 tan 【解析】 2x0
14、,2x0，2x2x22，当且仅当 2x2x，即 x0 时，2x2x 等号成立故选 D. 【答案】 D 3已知 1(x0，y0)，则 xy 的最小值是( ) 5 x 3 y A15 B6 C60 D.1 【解析】 2(当且仅当 x10，y6 时，取等号)， 5 x 3 y 15 xy 21，xy60， 15 xy 故 xy 的最小值为 60. 【答案】 C 六、板书设计六、板书设计 1.1.2 基本不等式基本不等式 教材整理 1 两个定理 及算数平均与几何平均 1两个定理 2.算术平均与几何平均 例 1： 例 2： 例 3： 例 4： 学生板演练习 七、作业布置七、作业布置 同步练习：1.1.2 基本不等式 八、教学反思八、教学反思