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1、1.1.3 三个正数的算术几何平均数三个正数的算术几何平均数 一、教学目标一、教学目标 1探索并了解三个正数的算术几何平均不等式的证明过程 2会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值 3会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题 二、课时安排二、课时安排 1 课时 三、教学重点三、教学重点 会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值 四、教学难点四、教学难点 会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题 五、教学过程五、教学过程 （一）导入新课 已知 x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 【证明】 因为 x0，y0，所以 1xy2 30,1x2y30， 3 x
2、y2 3 x2y 故(1xy2)(1x2y)339xy. 3 xy2 3 x2y （二）讲授新课 教材整理 1 三个正数的算术几何平均不等式 1如果 a，b，cR，那么 a3b3c3 3abc，当且仅当 时，等号成立 2定理 3： 如果 a，b，cR，那么 ，当且仅当 时，等号成立 abc 3 3 abc 即三个正数的算术平均 它们的几何平均 教材整理 2 基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1， a2， an， 它们的算术平均 它们的几何平均， 即 a1a2an n ，当且仅当 a1a2an时，等号成立 n a1a2an 教材整理 3 利用基本不等式求最值 若 a， b， c 均为正数，
3、如果 abc 是定值 S， 那么 时， 积 abc 有 值 ； 如果积 abc 是定值 P，那么当 abc 时，和 有最小值 （三）重难点精讲 题型一、证明简单的不等式 例 1 设 a，b，c 为正数，求证：(abc)227. ( 1 a2 1 b2 1 c2) 【精彩点拨】 根据不等式的结构特点， 运用 abc3， 结合不等式的性质证明 3 abc 【自主解答】 a0，b0，c0， abc30， 3 abc 从而(abc)290. 3 a2b2c2 又 30， 1 a2 1 b2 1 c2 3 1 a2b2c2 (abc)2 ( 1 a2 1 b2 1 c2) 3927， 3 1 a2b2c
4、2 3 a2b2c2 当且仅当 abc 时，等号成立 规律总结： 1(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即 a0，b0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不 妨运用平均不等式试试看 2连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致 再练一题1设 a，b，c 为正数，求证：(abc)381. ( 1 a3 1 b3 1 c3) 【证明】 因为 a，b，c 为正数， 所以有 30. 1 a3 1 b3 1 c3 3 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc 又(abc)3(3)327abc0， 3 abc (ab
5、c)381， ( 1 a3 1 b3 1 c3) 当且仅当 abc 时，等号成立 题型二、用平均不等式求解实际问题 例 2 如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯大家知道，灯挂得 太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的由物理学知识， 桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比，而 和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 Ek.这里 k 是一个和灯光强度有 关的常 sin r2 数那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？ 【精彩点拨】 根据题设条件建立 r 与 的关系式，将它代入 Ek，得到以
6、为 sin r2 自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值 【自主解答】 r， 2 cos Ek. sin cos2 4 (0 2) E2sin2cos4 k2 16 (2sin2)cos2cos2 k2 32 3 ， k2 32( 2sin2cos2cos2 3 ) k2 108 当且仅当 2sin2cos2 时取等号， 即 tan2 ，tan 时，等号成立 1 2 2 2 h2tan ，即 h时，E 最大来源:学+科+网22 因此选择灯的高度为米时，才能使桌子边缘处最亮2 规律总结： 1本题的关键是在获得了 Ek后，对 E 的函数关系式进行变形求得 E 的最 sin c
7、os2 4 大值 2解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最 值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求 解 再练一题 2制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米 30 2 元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米 20 元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底 面半径和高应各为多少米？ 【解】 设圆柱形桶的底面半径为r米， 高为h米， 则底面积为r2平方米， 侧面积为2rh 平方米 设用料成本为 y 元，则 y30r240rh. 桶的容积为 ，r2h ，rh. 2 2 1 2r y30r2101
8、03， 20 r (3r 21 r 1 r) 3 3 当且仅当 3r2 时， 1 r 即 r时等号成立，此时 h. 3 9 3 3 9 2 故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为米，高为米 3 9 3 3 9 2 当且仅当 2x21x2，来源:学.科.网 即 x时等号成立 3 3 y，y 的最大值为. 2 3 9 2 3 9 题型三、利用平均不等式求最值 例 3 已知 xR，求函数 yx(1x2)的最大值 【精彩点拨】 为使数的 “和”为定值， 可以先平方， 即 y2x2(1x2)2x2(1x2)(1x2) 2x2(1x2)(1x2) ，求出最值后再开方 1 2 【自主解答】 yx(1x2
9、)， y2x2(1x2)2 2x2(1x2)(1x2) . 1 2 2x2(1x2)(1x2)2， y2. 1 2( 2x21x21x2 3 ) 3 4 27 规律总结： 1解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： yx(1x2)x(1x)(1x) x(22x)(1x) . 1 2 1 2( x22x1x 3 ) 3 1 2 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值， 但忽略了取 “”号的条件， 显然 x22x 1x 无解，即无法取“”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的 2解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算 术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可 再练一题3
10、若 2ab0，试求 a的最小值. 4 2abb 【解】 a 4 2abb 2abb 2 4 2abb 2ab 2 b 2 4 2abb 33， 32ab 2 b 2 4 2abb 当且仅当 ， 2ab 2 b 2 4 2abb 即 ab2 时取等号 所以当 ab2 时， a有最小值为 3. 4 2abb （四）归纳小结 平均不等式Error! （五）随堂检测 1已知 x2y3z6，则 2x4y8z的最小值为( ) A3 B2 C12 D12 3 62 3 5 【解析】 x2y3z6，2x4y8z2x22y23z 3312. 3 2x22y23z 3 2x2y3z 当且仅当 2x22y23z，即
11、 x2，y1，z 时，等号成立 2 3 【答案】 C 2若 ab0，则 a的最小值为( ) 1 bab A0 B1 C2 D.3 【解析】 a(ab)b33， 当且仅当 a2， 1 bab 1 bab 3 abb 1 bab b1 时取等号，a的最小值为 3.故选 D. 1 bab 【答案】 D 3函数 y4sin2xcos x 的最大值为_，最小值为_ 【解析】 y216sin2 xsin2xcos2x 8(sin2xsin2x2cos2x) 8 3 ( sin2xsin2x2cos2x 3 ) 8， 8 27 64 27 y2，当且仅当 sin2x2cos2x，来源:学科网 ZXXK 64 27 即 tan x时取等号来源:Z.xx.k.Com2 ymax，ymin. 8 9 3 8 9 3 【答案】 8 9 3 8 9 3 六、板书设计六、板书设计 1.1.3 三个正数的算术几何平均数三个正数的算术几何平均数 教材整理 1 三个正数 的算术几何平均不等式 教材整理 2 基本不等 式的推广 教材整理 3 利用基本 不等式求最值 例 1： 例 2： 例 3： 学生板演练习 七、作业布置七、作业布置 同步练习：1.1.3 三个正数的算术几何平均数 八、教学反思八、教学反思