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1、第第 1 讲 函数图象与性质讲 函数图象与性质 高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调 性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单 问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法. 真 题 感 悟 1.(2018全国卷)函数 f(x)的图象大致为( ) exex x2 解析 f(x)为奇函数，排除 A；当 x0 时，f(1)e 2，排除 C，D， exex x2 1 e 只有 B 项满足. 答案 B 2.(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(， )的奇函数， 满足 f(1x)f(1x). 若 f(1)2，则 f(
2、1)f(2)f(3)f(50)( ) A.50 B.0 C.2 D.50 解析 法一 f(x)是定义域为(， )的奇函数， 且 f(1x)f(1x)， f(4 x)f(x)， f(x)是周期函数， 且一个周期为 4， 又 f(0)0， 知 f(2)f(0)， f(4)f(0)0， 由 f(1)2，知 f(1)2，则 f(3)f(1)2，从而 f(1)f(2)f(3)f(4)0，故 f(1) f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2，故选 C. 法二 由题意可设 f(x)2sin，作出 f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x) ( 2x) 的一个周期为
3、 4，所以 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4) f(49)f(50)120f(1)f(2)2. 答案 C 3.(2017全国卷)已知函数 f(x)ln xln(2x)，则( ) A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.yf(x)的图象关于直线 x1 对称 D.yf(x)的图象关于点(1，0)对称 解析 由题意知，f(x)ln xln(2x)的定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x) ln(x1)21， 由复合函数的单调性知， 函数 f(x)在(0， 1)上单调递增， 在(1， 2) 上单调递减，所以排除 A，B；又 f(
4、2x)ln(2x)ln xf(x)，所以 f(x)的图象 关于直线 x1 对称，C 正确，D 错误. 答案 C 4.(2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x) 则 ff(15)的值为_. cos x 2 ，0 0)恒成立， 则 yf(x)是周期为 2a 的周期函数. 若 yf(x)是偶函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 2|a|的周期 函数. 若 yf(x)是奇函数，其图象又关于直线 xa 对称，则 f(x)是周期为 4|a|的周期 函数. 若 f(xa)f(x)，则 yf(x)是周期为 2|a|的周期函数. (或f（x
5、a） 1 f（x）) 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号 “”连接，可用“和”或“，”连接. 热点一 函数及其表示 【例 1】 (1)函数 y的定义域为( ) lg（1x2） 2x23x2 A.(，1 B.1，1 C. (1， 1 2) ( 1 2，1) D. 1， 1 2) ( 1 2，1 (2)(2018全国卷)设函数 f(x)则满足 f(x1) 0，) 围是( ) A.(，1 B.(0，) C.(1，0) D.(，0) 解析 (1)函数有意义，则 1x2 0， 2x23x2 0，) 即 1 0， 由 f(a)2， 知log2(a1)22， a15.故
6、f(14 a)f(1)2111. 答案 (1)D (2)1 热点二 函数的图象及应用 【例 2】 (1)(2018浙江卷)函数 y2|x|sin 2x 的图象可能是( ) (2)(2018合肥调研)已知函数 f(x) 若 f(x1)f(x2)f(x3)(x1， |2x1|，x 1，) x2，x3互不相等)，且 x1x2x3的取值范围为(1，8)，则实数 m 的值为_. 解析 (1)设 f(x)2|x|sin 2x， 其定义域关于坐标原点对称， 又 f(x)2|x|sin(2x) f(x)，所以 yf(x)是奇函数，故排除选项 A，B；令 f(x)0，则 sin 2x0， 所以 x(kZ)，故排
7、除选项 C.故选 D. k 2 (2)作出 f(x)的图象，如图所示，可令 x12， 排除A， C.又当x时， y ，B 项不满足，D 满足. (2)画出 y|f(x)|2x1|与 yg(x)1x2的图象， 它们交于 A， B 两点.由 “规定”， 在 A， B 两侧， |f(x)|g(x)， 故 h(x)|f(x)|； 在 A， B 之间， |f(x)|log25.1220.8，且 ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则 cab. 法二 (特殊化)取 f(x)x，则 g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又 3log25.120.8
8、， 从而可得 cab. 答案 (1)D (2)C 探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质， 把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解. 2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一 性. 【训练 3】 (1)(2018潍坊模拟)若函数 f(x) 为奇函数，则 log3x2，x 0， g（x），x 0，则 x 的取值 范围是_. 解析 (1)由题意得 g(3)f(3)f(3)2log331.因此 fg(3)f(1) log3122. (2)由题意知 f(x1)f(2). 又因为 f(x)是偶函数且在0，)上单调递减， 所以 f(|x
9、1|)f(2)，即|x1|0，忽视 ln x0 的限制. 2.如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义， 即 f(0)有意义， 那么一定有 f(0)0； 若 f(x) 为偶函数，则 f(|x|)f(x). 3.三种作函数图象的基本思想方法 (1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图； (2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状. 4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程 (不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常 会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解. 一、
10、选择题 1.设 f(x)若 f(a)f(a1)，则 f( ) x，0 0，a11， f(a)f(a1)，2(a11)，a 解得 a ，f f(4)2(41)6. 1 4 ( 1 a) 答案 C 2.(2018西安质检)函数 f(x)的图象是( ) x3x exex 解析 f(x)为奇函数，排除选项 A，B，由 f(x)0，知 x0 或 x1， x3x exex 选项 D 满足. 答案 D 3.(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数 yln x 的图象关于直线 x1 对称 的是( ) A.yln(1x) B.yln(2x) C.yln(1x) D.yln(2x) 解析 法一 设所求函数图象上
11、任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线 x1 的对 称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数 f(x)ln x 的图象上，所 以 yln(2x). 法二 由题意知， 对称轴上的点(1， 0)既在函数 yln x 的图象上也在所求函数的 图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除 A，C，D，选 B. 答案 B 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)2|xm|1(m 为实数)为偶函数， 记 af(log0.53)， b f(log25)，cf(2m)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.abc B.acb C.cab D.cba 解析 由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知
12、 m0， 所以 f(x)2|x|1. 所以 af(log0.53)2|log0.53|12log2312， bf(log25)2|log25|12log2514， cf(0)2|0|10，所以 c1. 2x1 2 0， x1 0， ) 答案 x|x1 8.已知函数 f(x)是奇函数， 当 x0 时， f(x)ax(a0 且 a1)， 且 f(log 4)3， 则 a 1 2 的值为_. 解析 奇函数 f(x)满足 f(log 4)3， 而 log 420 时，f(x)ax(a0 且 a1)，又 20， f(2)a23，解之得 a . 3 答案 3 9.如图， 函数 f(x)的图象为折线 ACB
13、， 则不等式 f(x)log2(x1)的解集是_. 解析 在同一坐标系中画出函数 f(x)与 ylog2(x1)的图象， 如图所示. 根据图象，当 x(1， 1时，yf(x)的图象在 ylog2(x1)图象的上方. 所以不等式的解集为(1，1. 答案 (1，1 三、解答题 10.(2018深圳中学调研)已知函数 f(x)a. 2 2x1 (1)求 f(0)； (2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)0，2x210. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2). f(x)在 R 上单调递增. (3)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，
14、即 aa， 2 2x1 2 2x1 解得 a1(或用 f(0)0 去解). f(ax)f(2)即为 f(x)f(2)， 又f(x)在 R 上单调递增，x2. 11.已知函数 f(x)x22ln x，h(x)x2xa. (1)求函数 f(x)的极值； (2)设函数 k(x)f(x)h(x)，若函数 k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，令 f(x)2x 0，得 x1. 2 x 当 x(0，1)时，f(x)0，当 x(1，)时，f(x)0， 所以函数 f(x)在 x1 处取得极小值为 1，无极大值. (2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)， 所以 k(x)1 ， 2 x 令 k(x)0，得 x2，所以 k(x)在1，2)上单调递减，在(2，3上单调递增， 所以当 x2 时，函数 k(x)取得最小值 k(2)22ln 2a. 因为函数 k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点， 即有 k(x)在1，2)和(2，3内各有一个零点， 所以即有 k（1） 0， k（2） 0， k（3） 0，) 1a 0， 22ln 2a 0， 32ln 3a 0，) 解得 22ln 2a32ln 3. 所以实数 a 的取值范围为(22ln 2，32ln 3.