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1、专题 04 函数性质与应用 专题 04 函数性质与应用 考纲解读明方向 考点内容解读要求常考题型预测热度 1.函数的单调性及最 值 理解函数的单调性、最大(小)值及 其几何意义 2.函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简 单的函数的奇偶性 3.函数的周期性了解函数周期性的含义 选择题、 填空题、 分析解读 1.考查函数的单调区间的求法及单调性的应用,如应用单调性求值域、比较大小或证明不等式,运用定 义或导数判断或证明函数的单调性等. 2.借助数形结合的思想解题.函数的单调性、周期性、奇偶性的综合性问题是高考热点,应引起足够的 重视. 3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于中档题.
2、命题探究练扩展 2018 年高考全景展示 1 【2018 年理数全国卷 II】已知是定义域为的奇函数，满足若， 则 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以 ,因此 ，因为 ，所以，从而 ，选 C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 2 【2018 年江苏卷】函数满足，且在区间上， 则的值为_ 【答案】 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自
3、变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值， 当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定 义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量 的取值范围. 3.【2018 年理新课标 I 卷】已知函数，则的最小值是_ 【答案】 【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间， 减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值. 详解：，所以当时函数单调减， 当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为 ，所以当时，函数取得最小值，此时， 所以，故答
4、案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导 公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函 数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 2017 年高考全景展示 1.【2017 天津，理 6】已知奇函数( )f x在 R 上是增函数，( )( )g xxf x.若 2 ( log 5.1)ag， 0.8 (2)bg， (3)cg，则a，b，c的大小关系为（ ） （A）abc（B）cba（C）bac（D）bca 【答案】C 【解析】因为( )f x是奇函数且在R上是增函数，
5、所以在0x 时，( )0f x ， 从而( )( )g xxf x是R上的偶函数，且在0,)上是增函数， 22 ( log 5.1)(log 5.1)agg， 0.8 22，又45.18，则 2 2log 5.13，所以即 0.8 2 02log 5.13， 0.8 2 (2)(log 5.1)(3)ggg， 所以bac，故选 C 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数 函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结 合不仅能比较大小，还可以解不等式. 2.【
6、2017 课标 3，理 15】设函数 10 ( ) 20 x xx f x x ， ， 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的x的取值范围是_. 【答案】 1 , 4 写成分段函数的形式： 1 3 2,0 2 111 2,0 222 1 21 2, 2 x x xx g xf xfxxx x ， 函数 g x 在区间 11 ,0 , 0, 22 三段区间内均单调递增， 且： 00 1 11 1,201,2121 42 g ， 据此x的取值范围是： 1 , 4 . 【考点】 分段函数；分类讨论的思想 【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的
7、解析式 求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的 值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 3.【2017 山东，理 15】若函数 x e f x（2.71828e 是自然对数的底数）在 f x的定义域上单调递增， 则称函数 f x具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 . 2 x f x 3 x f x 3 f xx 2 2f xx 【答案】 2 2 xx e f xex， 令 2 2 x g xex， 则 2 2 22110 xxx gx
8、exexex ， 2 2 xx e f xex在R上单调递增，故 2 2f xx具有性质 【考点】1.新定义问题.2.利用导数研究函数的单调性. 【名师点睛】 1.本题考查新定义问题， 属于创新题， 符合新高考的走向 它考查学生的阅读理解能力， 接受新思维的能力， 考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个 载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可 2.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f(x)； (3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0 或f(x)0 的解集 (4)由f(x)0(
9、f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类 讨论求得单调区间 3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要 注意“”是否可以取到 4.【2017 浙江，17】已知R，函数aa x xxf| 4 |)(在区间1，4上的最大值是 5，则a的取值范 围是_ 【答案】 9 (, 2 【解析】 试题分析： 4 1,4 ,4,5xx x ，分类讨论： 当5a 时， 44 2f xaxaax xx ， 函数的最大值 9 245, 2 aa，舍去； 当4a 时， 44 5f xxaax xx ，此时命题成立；
10、 当45a时， max max 4, 5f xaaaa ，则： 45 45 aaaa aa 或： 45 55 aaaa aa ，解得： 9 2 a 或 9 2 a 综上可得，实数a的取值范围是 9 , 2 【考点】基本不等式、函数最值 【名师点睛】本题利用基本不等式，由 4 1,4 ,4,5xx x ，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有 效的分类讨论：当5a ；4a ；45a，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难 题解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论 5.【2017 江苏，11】已知函数 3 1 ( )2e e x x f xxx, 其中 e 是自然对数的底数. 若 2 (1)(
11、2)0f afa, 则实数a的取值范围是 . 【答案】 1 1, 2 【解析】因为 3 1 ()2e( ) e x x fxxfxx ，所以函数( )f x是奇函数， 因为 22 ( )32ee322 ee0 xxxx f xxx ，所以数( )f x在R上单调递增， 又 2 1)02()(ffaa，即 2 ()2(1aaff，所以 2 21aa ，即 2 120aa ， 解得 1 1 2 a ，故实数a的取值范围为 1 1, 2 . 【考点】利用函数性质解不等式 【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为( ( )( ( )f g xf h x的形式，然后根据函 数的单调性去
12、掉“f” ，转化为具体的不等式(组)，此时要注意( )g x与( )h x的取值应在外层函数的定义域 内 2016 年高考全景展示 1.【2016 年高考北京理数】已知x，yR，且0xy，则（ ） A. 11 0 xy B.sinsin0xy C. 11 ( )( )0 22 xy D.lnln0xy 【答案】C 考点： 函数性质 【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法 (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个
13、区间上有相反的单 调性. 2.【2016 高考新课标 2 理数】 已知函数( )()f x xR满足()2( )fxf x， 若函数 1x y x 与( )yf x 图像的交点为 1122 ( ,),(,),(,), mm x yxyxy则 1 () m ii i xy （ ） （A）0 （B）m （C）2m （D）4m 【答案】C 【解析】 试题分析 ： 由于 2fxf x， 不妨设 1f xx， 与函数 11 1 x y xx 的交点为 1,2 ,1,0， 故 1212 2xxyy，故选 C. 考点： 函数图象的性质 【名师点睛】如果函数( )f x，xD ，满足xD ，恒有()()f a
14、xf bx，那么函数的图象有对称 轴 2 ab x ；如果函数( )f x，xD ，满足xD ，恒有()()f axf bx ，那么函数的图象有 对称中心. 3. 【2016 高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为 R.当x0 时， 3 ( )1f xx ；当11x 时， ()( )fxf x ；当 1 2 x 时， 11 ()() 22 f xf x .则f(6)= （ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D）2 【答案】D 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定 难度.解答此类问题，关
15、键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好 的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 4.【2016 年高考四川理数】 已知函数( )f x是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数， 当 0x1 时，( )4xf x ， 则 5 ()(1) 2 ff= . 【答案】-2 【解析】 试题分析：因为函数( )f x是定义在R上周期为 2 的奇函数，所以 ( 1)(1),( 1)( 12)(1)fffff ，所以(1)(1)ff，即(1)0f， 1 2 5111 ()(2)()( )42 2222 ffff ，所以 5 ()(1)2 2 ff . 考点：函数的奇
16、偶性和周期性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 5 () 2 f 和(1)f，利用奇偶 性与周期性化为(0,1)上的函数值即可 5.【2015 高考新课标 1，理 13】若函数f(x)= 2 ln()xxax为偶函数，则a= 【答案】1 【解析】由题知 2 ln()yxax是奇函数，所以 22 ln()ln()xaxxax = 22 ln()ln0axxa，解得a=1. 【考点定位】函数的奇偶性 【名师点睛】 本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题， 常用特值法， 如函数是奇函数， 在x=0 处有意义， 常用f(x)=0,求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算. 6.【2016 高考天津理数】已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a足 1 (2)(2) a ff ，则a的取值范围是_. 【答案】 1 3 ( , ) 2 2 考点：利用函数性质解不等式 【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效 (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把 握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化