1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试卷一、选择题（18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）1 .已知极限，其中k, C为常数，且，则（）A. B. C. D.【考点分析】：无穷小的比较，同阶无穷小，洛必达法则的应用。【求解过程】：D（洛必达法则）=由于C为常数，则k-3=0,即k=3,因此。【方法总结】：此类题目为典型的基础题，历年真题中出现若干次，也是一种经典的练习题 目，此类题目解题方法比较固定，无非就是，洛必达法则，等价无穷小代换和泰勒公式的使 用，读者对这类题目只要打好基础，多多练习即可；若此类
2、问题解决不好，一定要充分的复 习基础，考研数学基础第一。2 .曲面在点处的切平面方程为（）A. B. C. D.【考点分析】：切平面方程求法。【求解过程】：A一个曲面在某个点的切平面方程，核心就是该点处的法向量。法向量为（，）求得法向量为（1, -1, 1）,因此。【方法总结】：同样是考查基础的题目，详情见高数（同济版下册）98页，关于切平面和 切线的求法要熟练，教材中例题和本题十分相似，不再赘述。3 .设，令，贝U （）A.B.C.D.【考点分析】：傅里叶级数，收敛定理。【求解过程】：C注意观察本题目，和函数形式为正弦级数，因此是奇函数，同时观察的形式，得知周期为2,为连续点，因此【方法总结
3、傅里叶级数的题目类型比较单一，多数是考查和函数的求法和收敛定理的使 用，收敛定理内容见高数（同济版下册）306页，和函数求法见316页。4 .设，为四条逆时针方向的平面曲线，记，则A.B.C.D【考点分析】：格林公式。【求解过程】：D（格林公式），其中表示所围成的部分。如下图，红色部分O内部被积函数均为正值可以发现被积函数在内均为正值，且面积大于，因此。同时的面积大于，并且包括所有部分，而除去的其他部分被积函数均为负值，因此。并且的面积小于，而包括所有部分，而除去其他部分被积函数均为负值，因此。综上，最大为。【方法总结】：本题考察格林公式的使用，转化为二重积分后亦可直接算出四个积分的值 然
4、后比较，但明显增加了计算量。关于格林公式的定义见高数（同济版下册）202页。5 .设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C,且B可逆，则（）A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【考点分析】：向量组等价定义。【求解过程】：B两个向量组等价，那说明他们列向量可以互相表示。设A, C的列向量组为O o,对于每一个向量，C中各个列向量均可由A中列向量表示；由于B可逆，同理。两个 向量组的任何一个列向量向量都可以由对方列向量线性表示。【方法总结】：本题考察列向量组等价的定义。6 .矩
5、阵与相似的充分必要条件为（）A. B.为任意常数C. D.为任意常数【考点分析】：相似矩阵。【求解过程】：B两个矩阵相似，他们拥有相同的特征值，分别为2, b, 0.设A=,则二很明显只要满足a=0即可使A的特征值满足上述条件。【方法总结】：本题考察列相似矩阵的定义。7 .设是随机变量，且，贝U （）A. B. C. D【考点分析】：标准正态分布性质。【求解过程】：A全部转化到标准正态分布上。通过观察标准正态分布图像可知，。【方法总结】：本题考察标准正态分布的定义和性质。8 .设随机变量,，给定，常数C满足，则（）A.B.C.D.【考点分析】：数理统计三大分布。【求解过程】：C,设,因此。,因
6、此，可以得知【方法总结】：牢记三大分布的形式和性质是解决本题的关键。二、填空题（914小题,每小题4分洪24分,请将答案写在答题纸指定位置上.）9 .设函数y=/由方程y-x=小1“确定，贝IJ=。【考点分析】：隐函数求导，极限。【求解过程】：1（设m为n的倒数）方程左右两边对X求导，得：，当=0时，带入得y=l,将他们一并带入上式，得，因此极限的值为1.【方法总结】：为0*型的极限，此类极限求法为先将其化作型或者型，然后使用洛必达法 则，等价无穷小代换或者泰勒公式求得。10.已知y=eix -xe2x, y2=ex -xe2x, y3= -x/%是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解， 则
7、该方程的通解产o【考点分析】：二阶常系数微分方程求解。【求解过程】：容易得知y3= -x是该方程的一个特解，而为该方程对应的齐次方程的两个线性无关的特 解，根据二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构得知，该方程通解为：O【方法总结】：二阶常系数微分方程求解方法重在记忆，其出题形式不多变，多多练习熟悉 即可。关于其求法详解见高数（同济版上册）325, 332页.设 O【考点分析】：参数方程求导。【求解过程】：先求一阶导数，带入t的值，原式=。【方法总结】：对于参数方程求导和反函数求导的题目，需要掌握求导的过程，特别对于其 中二阶倒数甚至更高阶导数的求法，更需认真对待。12.o【考点分析】：反常积分
8、分部积分法。【求解过程】： 【方法总结】：分部积分法的应用是本题的关键，对于常见函数的微分积分公式的记忆也是 不可或缺的。13.设A=Qij)是3阶非零矩阵，为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=O(i, j=l,2,3), 贝 IJlAl =o【考点分析】：伴随矩阵。【求解过程】：-1从题目条件得知，根据A和它的伴随矩阵之间的关系得知(1)再根据公式，两边取行列式解得：或而对于A对应的行列式如果为0,由(1)得知与非零阵的条件矛盾。因此。【方法总结】：，该公式的使用极为广泛，需要熟练掌握。14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则PYWa+lYa二
9、考点分析】：贝叶斯公式，指数分布公式。【求解过程】：O【方法总结】：对于几个常见的分布函数的形式要牢记并熟练掌握。三、解答题(1523小题,共94分,请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)计算，其中力%)=【考点分析】：换元积分法，分部积分法，积分上限函数求导。【求解过程】：O被积函数带有积分号，要先想办法去掉积分号，先使用分部积分。原式通过计算后只需求得的值即可。综上所述，原式值为。【方法总结】：换元积分法和分部积分法要熟练掌握，在准确记忆的基础上多多练习计算积 分，就可以熟能生巧，积分上下限函数求导方法要熟练掌握，其具体方法
10、见高数(同济版上 册)237页。(16)(本题10分)设数列念满足条件：S (x)是幕级数(1)证明：(2)求【考点分析】：微分方程，幕级数。【求解过程】：(1)证明：求导得：求二阶导数：根据题目已知条件：得知，易得知：证毕(2)由(1)得知微分方程对应的特征方程为,因此为：带入，解得分别为2, 1.。综上所述，。【方法总结】：幕级数求导和积分的性质要熟练掌握(同济高数下276页)，几种常见的微 分方程解法需牢记。(17)(本题满分10分)求函数.【考点分析】：多元函数极值及其求法。【求解过程】：根据二元函数极值的必要条件，得到方程组：求得驻点为。根据取得极值的充分条件：在点上，所以函数在此点
11、不存在极值。在点上，所以函数在此点取得极小值，带入得函数值为。综上所述，函数在上取得极小值。【方法总结】：对于多元函数极值求法，教材叙述较为详细，同时提醒一下容易被同学们忽 略的地方：1)极值问题除了要考虑函数的驻点外，也要考虑一些偏导数不存在的点。2)对于条件极值和拉格朗日乘数法也要熟练掌握。在同济版高数下册In页对于函数极值问题的求法叙述十分详细，笔者认为只要练习几道 题，这类问题完全可以解决。(18)(本题满分10分)设奇函数#幻在上具有二阶导数，且火1)=1，证明：(1) 存在(2) 存在【考点分析】：中值定理。【求解过程】：(1) 构造函数。因为是奇函数所以得到，进而得到：根据罗尔定
12、理，存在即,证毕。(2) 构造函数。因为是奇函数得，可以得到：根据为奇函数得到，两边求导也就得知根据罗尔定理，存在即存在,证毕。【方法总结】：使用罗尔定理证明函数存在性问题，关键在于构造函数，构造函数的方法是 求得要证明式的原函数，有时可能需要借助等，如第二问中构造函数为亦可，这时使用第一 问的结论内使用罗尔定理得到证明。19 .(本题满分10分)设直线L过A (IQ0) , B (0,1,1)两点将L绕Z轴旋转一周得到曲面，与平面所围成的立 体为。(1) 求曲面的方程；(2) 求的形心坐标。【考点分析】：直线旋转形成曲面的方程，立体的形心。【求解过程】：(1)求得L的方向向量为，因此直线L的
13、方程为：绕z轴旋转所得到的旋转曲面的方程为：消去参数，因此L绕Z轴旋转后得到的曲面方程为：即。(3) 求型心坐标的关键为求，由于立体关于x,y轴对称，因此形心坐标为。根据形心坐标公式：综上，求的形心坐标为。【方法总结】：曲面参数方程求法是固定的，具体方法见同济版高数下册34页；而形心的 求法为固定公式，记住并会应用即可，具体方法见同济版高数下册170页关于质心的求法。20 .(本题满分分)设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。【考点分析】：矩阵基本运算，线性方程组。(本题有必要细说一下，笔者在考场第一次遇见这个题目时候，开始觉得是通过变换这个等 式AC-CA=B来
14、求解，导致浪费了一部分时间，实际上本题是解线性方程组的题目，而方法 也是十分简单的设出C的四个未知数即可。)【求解过程】：设,通过运算AC, CA得：,问题转化为解线性方程组：(此处代表初等行变换)若此线性方程组有解，那么可知a,b分别为-1, Oo带入, 解得综上所述(其中为任意常数)。【方法总结】：本题是一个线性方程组十分基础的题目，唯一存在可以认为为难点的地方是, 可能根据以前的经验，本题并不是一个线性方程组的题目。21 .(本题满分分)设二次型，记，。(1) 证明二次型f对应的矩阵为；(2) 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。【考点分析】：二次型。【求解过程】：(1)
15、 证明：因此二次型f对应的矩阵为。证毕。(2) 证明：设(1)中矩阵为，求得A的一个特征值2求得A的另一个特征值为1。在三维空间内必存在一个向量，它和都正交。因此。因此f在正交变换下的标准形为。【方法总结】：二次型基础题，熟练掌握基本内容即可。22.(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为令随机变量(1) 求Y的分布函数；(2) 求概率.【考点分析】：分布函数。【求解过程】：(1) 先求出的值：，解得。设Y的分布函数为，可知：综上所述，Y的分布函数为。(2)【方法总结】：熟练掌握分布函数定义是解决本题的关键。23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简
16、单随机样本。(1) 求的矩估计量；(2) 求的最大似然估计量。【考点分析】：矩估计和极大似然估计。【求解过程】：(1)因此的矩估计量。(2) 构造似然函数，对似然函数取对数：令，得到的最大似然估计量。【方法总结】：矩估计和最大似然估计是常考的内容，并且解决的方法单一，一定要对此类 题目掌握熟练，争取满分。2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列曲线中有渐近线的是()(A) (B)(C)(D)【答案】C【考点】函数图形的渐近线【解析】对于选项
17、A,不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A没有铅直渐近线，而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线；对于选项B和D,我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C选项，.由于，又.所以存在斜渐近线.故选C.(2)设函数具有2阶导数，则在区间内()(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，【答案】D【考点】函数图形的凹凸性【解析】令有，当时，在上是凹的，所以，从而.选D.(3)设是连续函数，则()(A)(B)(C)(D)【答案】D【考点】交换累次积分的次序与坐标系的变换【解析】画出积分区域.或.故选D.(4)若，则()(A)(B)(C)(D)【答案】A【考点】定积分的基本性质【解析】故当
18、时，积分最小.故选A.(5)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【考点】行列式展开定理【解析】.故选B.(6)设均为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的()(A)必要非充分条件(B)充分非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A【考点】向量组的线性无关的充要条件【解析】记若线性无关，则线性无关.由线性无关不一定能推出线性无关.如：，线性无关，但此时线性相关.故选A.(7)设随机事件A与B相互独立，且，则()(A) 0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【答案】B【考点】概率的基本公式【解析】.故选B(8)设连续型随机变量相互独立，且方差均存
19、在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则(B)(A)(C)(D)【答案】D【考点】统计量的数学期望【解析】，二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纲指定位置上.(9)曲面在点处的切平面方程为【答案】【考点】曲面的切平面【解析】曲面在点处的切平面方程为,即(10)设是周期为的可导奇函数，且，则【答案】1【考点】函数的周期性【解析】由于，所以又是奇函数，解得是以4为周期的奇函数，故(H)微分方程满足条件的解为【答案】【考点】变量可分离的微分方程【解析】令,则，代入，得即分离变量，得两边积分得，即即代入初值条件，可得，即整理可得.(12)设是柱面与平面的交线，
20、从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分【答案】五【考点】斯托克斯公式【解析】由斯托克斯公式，得其中(13)设二次型的负惯性指数为1,则的取值范围是【答案】【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形【详解】【解法一】二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为则，即特征值必有正有负，共3种情况；故二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零；,即【解法二】若负惯性指数为1,则(14)设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若是的无偏估计，则【答案】【考点】统计量的数字特征【解析】根据题意，有三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答型纸指定位置上.解答
21、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则【详解】（16）（本题满分10分）设函数由方程确定，求的极值【考点】极值的必要条件【解析】对方程两边直接求导：令，得，或（舍去）将代入原方程得解得，此时.对式两端再求导，得将，代入上式，得，即在处取极小值，极小值为.（17）（本题满分10分）设函数具有2阶连续导数，满足,若，求的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【解析】由，知由，代入得即令,则特征方程齐次方程通解为设特解，代入方程得，特解原方程的通解为由，得(18)(本题满分10分)设为曲面
22、的上侧，计算曲面积分【考点】高斯公式【解析】因不封闭，添加辅助面，方向向上.(其中，因为积分区域关于对称，积分函数分别是的奇函数.) 在曲面上，故.(19)(本题满分10分)设数列满足，且级数收敛.(I)证明：(II)证明：级数收敛.【考点】级数敛散性的判别【解析】证明：(I)级数收敛，级数收敛，.(II)解法1：,且级数收敛，级数收敛.解法2：同阶无穷小有相同的敛散性，J由收敛收敛(20)(本题满分11分)设为阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.【考点】齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解【详解】对矩阵施以初等行变换(I)方程组的同解方程组为，即基
23、础解系为(II)的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为的同解方程组为：，即通解为，,为任意常数(21)(本题满分11分)证明：阶矩阵与相似【考点】矩阵的特征值、相似对角化【详解】 设,因为，所以的特征值为：的特征值为：关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于同理，关于的特征值，因为，故有个线性无关的特征向量，即必可相似对角化于由相似矩阵的传递性可知，与相似.(22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布，(I)求的分布函数；(II)求【考点】一维随机变量函数的分布、随机变量的数字特征(期望)【详解】(I)当时，当时，
24、当时，当时，综上：(II)随机变量的概率密度为(23)(本题满分11分)设总体的分布函数，其中是未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I )求与；(II)求的最大似然估计量；(III)是否存在实数，使得对任何，都有？【考点】统计量的数字特征、最大似然估计、估计量的评选标准(无偏性)【解析】(I)的概率密度为()设 为样本的观测值，似然函数为当时，两边取对数，得两边求导，得令,得所以，的最大似然估计量为.(III)存在.因为是独立同分布的随机变量序列，且, 所以根据辛钦大数定律，当时，依概率收敛于，即. 所以对于任何都有.2015年考研数学(一)试题解析一、选择题:共8小题,每小题4分,
25、共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求的,请将所选项前的字母填在管博纸指定位置上.(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】拐点出现在二阶导数等于0 ,或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧 二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，贝匹)(A)(C)(D)【答案】(A)【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方 程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可
26、得待 估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根， 从而，从而原方程变为，再将特解代入得.故选(A )(3)若级数条件收敛，则与依次为幕级数的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】(B)【分析】此题考查幕级数收敛半径、收敛区间，幕级数的性质.【解析】因为条件收敛，即为幕级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1 ,收敛区间为. 而幕级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幕级数的收敛点，发 散点.故选(B).(4)
27、设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则()(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以，故选(B)(5)设矩阵，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】，由，故或，同时或.故选(D )(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为()(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【解析】由，故.且.由已知可得：故有所以.选(A ) 若AzB为任意两个随机事件，则()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基
28、本性质，我们有且，从而，选(C).设随机变量不相关，且，则()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【解析】,选(D) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在背熟年指定位置上.(9)【答案】【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：方法二：(10)【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】(11)若函数由方程确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可
29、直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得/其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以(13)阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】【解析】由题设知，而且相互独立，从而三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在等博纳指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法：原式即法二：因为分子的极限为0,则,分子的极限为0,(16)(本题满分10分)设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒
30、为4,且，求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令,得到,故由题意，即，可以转化为一阶微分方程，即，可分离变量得到通解为：，已知，得到，因此;即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C :,求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模./故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：,得到.所以最大值为.(18)(本题满分10分)(I)设函数可导，利用导数定义证明(H)设函数可导，写出的求导公式.【解析】(I)(II)由题意得(19)(本题满分
31、10分)已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，(20)(本题满11分)设向量组内的一个基，.(I)证明向量组为的一个基；()当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)证明：故为的一个基.(II)由题意知，即即即，得k=0(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.【解析】(I)(11)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值令，(22)(本题满分11分)设随机变量的概率密度为对 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记为观测次数.求的概率分布；(
32、II)求【解析】(I)记为观测值大于3的概率，则，从而，为的概率分布；(II)法一:分解法：将随机变量分解成两个过程其中表示从到次试验观测值大于首次发生，表示从次到第 试验观测值大于首次发生.则，(注：Ge表示几何分布)所以.法二:直接计算记，则，/所以，从而.(23)(本题满分11分)设总体X的概率密度为：其中为未知参数，为来自该总体的简单随机样本.求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.【解析】（I）,令，即，解得为的矩估计量；（H）似然函数,当时，则.从而，关于单调增加，所以为的最大似然估计量.2016年考研数学（一）试题解析一、选择题1、C2、D3、A4、D5、C6、B二、填空题9、10、11、12、13、14、三、解答题15、16、17、18、19、21、22、23、
免费区 
