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1、名校精品资料数学浙江11市中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1、 选择题1.（2012浙江杭州3分）如图，在RtABO中，斜边AB=1若OCBA，AOC=36，则【 】A点B到AO的距离为sin54 B点B到AO的距离为tan36C点A到OC的距离为sin36sin54D点A到OC的距离为cos36sin54【答案】C。【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：A、由于在RtABO中AOB是直角，所以B到AO的距离是指BO的长。ABOC，BAO=AOC=36。在RtBOA中，AOB =90，AB=1，BO=ABsin3
2、6=sin36。故本选项错误。B、由A可知，选项错误。C、如图，过A作ADOC于D，则AD的长是点A到OC的距离。 在RtBOA中，BAO=36，AOB=90，ABO=54。AO=AB sin54= sin54。在RtADO中， AD=AOsin36=ABsin54sin36=sin54sin36。故本选项正确。D、由C可知，选项错误。故选C。3.（2012浙江湖州3分）如图，在RtABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是【 】A20 B10 C5 D 【答案】C。【考点】直角三角形斜边上的中线性质。【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求
3、出CD的长：在RtABC中，ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，CD=AB=5。故选C。4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，A=90，C=40，则AB等于【 】米Aasin40Bacos40Catan40D【答案】C。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】ABC中，AC=a米，A=90，C=40，AB=atan40。故选C。5. （2012浙江宁波3分）如图，在RtABC中，C=90，AB=6，cosB=，则BC的长为【 】A4B2CD【答案】A。【考点】锐角三角
4、函数的定义。【分析】cosB=，。 又AB=6，。故选A。二、填空题1. （2012浙江湖州4分）如图，将正ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则ABC的边长是 【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正ABC的边长为x，则由勾股定理，得高为，。所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为。黑色菱形的面积=。，整理得，11x2144x144=0。解得（不符合题意，舍去），x2=12。所以，ABC的边长是12。2.
5、（2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在RtABC中，ABC=90，BA=BC点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF给出以下四个结论：；点F是GE的中点；AF=AB；SABC=5SBDF，其中正确的结论序号是 【答案】。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】在RtABC中，ABC=90，ABBC。又AGAB，AGBC。AFGCFB。BA=BC，。故正确。ABC=90，BGCD，DBE+BDE=BDE+BCD=90。DBE=BCD。AB=CB，点D是AB的中点，BD=AB=CB。又BG
6、丄CD，DBE=BCD。在RtABG中，。，FG=FB。故错误。AFGCFB，AF：CF=AG：BC=1：2。AF=AC。AC=AB，AF=AB。故正确。设BD= a，则AB=BC=2 a，BDF中BD边上的高=。SABC=， SBDFSABC=6SBDF，故错误。因此，正确的结论为。三、解答题1. （2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡AB，经测量，坡角ABC30，斜坡AB长为12米为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1：3(即为CD与BC的长度之比)A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD【答案】解：在RtABC中，ABC30，ACAB6，BCAB
7、cosABC12。斜坡BD的坡比是1：3，CD。ADACCD6。答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6)米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角ABC中，利用三角函数即可求得BC、AC的长，然后在直角BCD中，利用坡比的定义求得CD的长，根据ADACCD即可求解。2. （2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角BAC为32。（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精
8、确到0.01米）？备用数据：sin32=0.5299，con32=0.8480，tan32=6249。【答案】解：（1）sinBAC=，BC=ABsin32=16.500.52998.74米。（2）tan32=，级高=级宽tan32=0.250.6249=0.156225电梯以每秒上升2级，10秒钟电梯上升了20级。小明上升的高度为：200.1562253.12米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度BC。（2）由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升
9、的级数，因此即可求得小明上升的高度。3. （2012浙江绍兴10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心。应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数。探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长。【答案】解：应用：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30。PBD=PBC=30，PD=DB=AB。与已知PD=AB矛盾，PBPC。若PA=PC，连
10、接PA，同理可得PAPC。若PA=PB，由PD=AB，得PD=AD =BD，APD=BPD=45。APB=90。探究：BC=5，AB=3，AC=。若PB=PC，设PA=，则，即PA=。若PA=PC，则PA=2。若PA=PB，由图知，在RtPAB中，不可能。PA=2或。【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。【分析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出APB=45，然后即可求出APB的度数。探究：先根据勾股
11、定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分PB=PC，PA=PC，PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。4. （2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=ACAA1=而A1B1=2.5，在RtA1B1C中，由得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，点B将向外移动
12、米。（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题。【答案】解：（1）；0.8，2.2（舍去）；0.8。（2）不会是0.9米，理由如下：若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.40.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，该题的答案不会是0.9米。有可能。理由如下：设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x
13、米，则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）。当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可。（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意。5. （2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头B、D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角EAB为15，码头D的俯角EAD为45，点C在线段BD的延长线上，ACBC，垂
14、足为C，求码头B、D的距离（结果保留整数）【答案】解：AEBC，ADC=EAD=45。 又ACCD，CD=AC=50。 AEBC，ABC=EAB=15。 又， 。 BD185.250135（米）。答：码头B、D的距离约为135米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。【分析】由EAB=15，根据平行的性质，可得ABC=EAB=15。从而解直角三角形ABC可求得BC的长。由ADC=EAD=45可得CD=AC=50。从而由BD=BCCD可求得B、D的距离。6. （2012浙江台州12分）已知，如图1，ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、
15、B、C重合的任意一点，ABC=DBE，BD=BE（1）求证：ABDCBE；（2）如图2，当点D是ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论【答案】（1）证明：ABC=DBE，ABC+CBD=DBE+CBD。ABD=CBE。在ABD与CBE中，BA=BC，ABD=CBE，BD=BE，ABDCBE（SAS） 。（2）解：四边形BDEF是菱形。证明如下：由（1）ABDCBE，CE=AD。点D是ABC外接圆圆心，DA=DB=DC。又BD=BE，BD=BE=CE=CD。四边形BDCE是菱形。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。【分析】（
16、1）由ABC=DBE，根据等量加等量和相等，得ABD=CBE，从而根据SAS即可证得结论。（2）由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和（1）的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。7. （2012浙江温州9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海,径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处,再向B处游去.若CD=40米,B在C的北偏东35方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.(参
17、考数据：sin550.82,cos550.57,tan551.43)8. （2012浙江义乌6分）如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是 （不添加辅助线）【答案】解：添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）。 以添加DE=DF证明：在BDF和CDE中，BD=CD（已知），EDC=FDB（对项角相等），DE=DF（添加），BDFCDE（SAS）。【考点】全等三角形的判定。【分析】由已知BD=CD，又EDCFDB，因为三角形全等条件中必须是SSS，SAS，ASAA或AAS，故添加的条件是：DE=DF（或CEBF或ECD=DBF或DEC=DFB等）。