《2020版数学新攻略大一轮浙江专用课件：3_§ 2_1 函数及其表示 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学新攻略大一轮浙江专用课件：3_§ 2_1 函数及其表示 .pptx（44页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 2.1 函数及其表示,教材研读,1.函数的基本概念,2.函数的表示法,3.映射的概念,4.映射与函数的关系,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略,考点突破,考点一 函数的定义域,考点二 求函数的解析式,考点三 分段函数,1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设A、B是非空的 数集 ,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合A中的任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定 的数f(x)和它对 应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作 y=f(x),xA .,教材研读,在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数
2、值的集合C=f(x)|xA叫做函数的 值域.显然C B. (3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 . (4)相等函数:如果两个函数的 定义域和对应关系 完全一致,则这 两个函数相等,这是判定两函数相等的依据.,(2)函数的定义域、值域,2.函数的表示法 函数的表示方法: 解析法 、 图象法 、 列表法 .,3.映射的概念 设A、B是两个 非空 集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A 中的 任意 一个元素x,在集合B中都有 唯一 确定的元素y与 之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射.,4.映射与函数的关系 由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广, 函数
3、是一种特 殊的 映射 ,要注意构成函数的两个集合A、B必须是 非空数 集 .,5.求函数定义域的三种常见类型及求解策略 (1)已知函数解析式求定义域:构造使解析式 有意义 的不等式(组) 求解. 分式的分母 不为零 ;偶次方根的被开方数 非负 ;零次幂的 底数 不为零 ;对数的真数 大于零 ,底数 大于零且不等 于1 ;正切函数y=tan x中, xk+ ,kZ . (2)复合函数的定义域,已知y=f(x)的定义域为a,b,求y=f(g(x)的定义域.由 ag(x)b 求 出x的范围,就是y=f(g(x)的定义域. 已知y=f(g(x)的定义域为a,b,求y=f(x)的定义域.求出 y=g(x
4、),xa, b的值域 ,就是y=f(x)的定义域. (3)实际问题中的函数的定义域 在实际问题中,既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题本 身对自变量的限制.,1.(教材习题改编)函数f(x)= + 的定义域为 ( C ) A.0,2) B.(2,+) C.0,2)(2,+) D.(-,2)(2,+),2.下列四组函数中同组两个函数相等的组数为 ( B ) (1)f(x)=|x|,g(t)= ;(2)f(x)=x2,g(t)=( )4;(3)f(x)=x+1,g(t)= ;(4)f(x)= ,g(t)= . A.0 B.1 C.2 D.3,解析 (2)中f(x)定义域为R,g(t)定义
5、域为0,+).(3)中f(x)定义域 为R,g(t)定义域为(-,1)(1,+).(4)中f(x)定义域为(-,-11,+),g (t)定义域为1,+).(1)中虽然使用的字母不同,但两个函数的对应关系 和定义域均相同.所以同组两个函数相等的组数为1.,3.若函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R,则实数a的取值范围是 ( D ) A.(-,-1 1 B.(-,-1 C.(-,-1) D.(-,-1,解析 由题意,知(a2-1)x2+(a+1)x+10对xR恒成立.当a2-1=0时,可 得a=-1满足条件.,当a2-10时,应满足 解得a . 综上,可得a-1,或a .故选
6、D.,4.若函数f(x)= 则f(9)= 2 ;f = 0 .,解析 f(9)=log39=2, f =log3 =-2, f(-2)=f(1)=log31=0.,5.如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经C、D、A 绕边界运动,用x表示点P的行程,y表示APB的面积,求函数y=f(x)的解 析式.,解析 当点P在BC上运动,即0x4时,y= 4x=2x; 当点P在CD上运动(不包含C点),即4x8时, y= 44=8; 当点P在DA上运动(不包含D点),即8x12时,y= 4(12-x)=24-2x, 综上, f(x)=,函数的定义域 命题方向一 求函数定义域 典例1 函
7、数y= 的定义域是 -3,1 .,解析 若函数有意义,则3-2x-x20,即x2+2x-30,解得-3x1.,考点突破,探究 本例中的函数为y= ,若将此函数改为y=f(3-2x-x2),并 给定y=f(x)的定义域为-5,0,求函数y=f(3-2x-x2)的定义域.,解析 由题意得不等式-53-2x-x20,解得-4x-3或1x2, 所以y=f(3-2x-x2)的定义域为-4,-31,2.,典例2 已知函数f(x)=(1-a2)x2+(a-1)x+1 的定义域为R,求实数a的取值 范围.,命题方向二 已知函数定义域求参数,解析 由题意得a=1或 解得- a1.,规律方法 (1)求给定函数的定
8、义域往往转化为解不等式(组)的问题.在解不等式组 取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍. (2)求抽象函数的定义域:若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)b即可求出y=f(g(x)的定义域;若y=f(g(x)的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得y=f(x)的定义域. (3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组)问 题,然后求解.,提醒 (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式.,1-1 已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( B
9、) A.(-1,1) B. C.(-1,0) D.,解析 由已知得-12x+10,解得-1x- , 所以函数f(2x+1)的定义域为 ,选B.,1-2 若函数f(x)= 的定义域为实数集,则实数m的取值范围 是 0,4 .,解析 由题意可得mx2+mx+10恒成立. 当m=0时,10恒成立; 当m0时,则 解得0m4. 综上可得0m4.,典例3 (2019效实中学月考)(1)已知f =lg x,求f(x); (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).,求函数的解析式,解析 (1)令t= +1(x0),则x= (t1), f(t)=lg (t1)
10、,f(x)=lg (x1). (2)设f(x)=ax+b(a0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, a=2,b=7,故f(x)=2x+7.,方法技巧 求函数解析式的常用方法,1.凑配法:已知f(g(x)=F(x),可将F(x)凑配成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式.,2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则可用待定 系数法.,3.换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.,4.解方程组法:已知关于f(x)与f 或f(x)与f(-x)
11、的表达式,可根据已知条件构造出另一个等式,组成方程组,通过解方程组求出f(x).,同类练 已知f(x)是二次函数, f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x)的解 析式.,解析 设f(x)=ax2+bx(a0), 则f(x+1)+f(2x)=a(x+1)2+b(x+1)+a(2x)2+b(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x- 1, 所以 解得 所以f(x)=x2-2x.,变式练 已知函数f(x)满足:当x0时,有f x- =x3- ,求f(x)的解析式.,解析 x3- = = +3 , f = , f(x)=x(x2+3)=x3+3x. 又函数
12、y=x- 的值域为R,函数f(x)的定义域为R, 故f(x)的解析式为f(x)=x3+3x(xR).,深化练 定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数f(x)的 解析式.,解析 已知当x(-1,1)时,有2f(x)-f(-x)=lg(x+1),用-x替换x得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).由2+可消去f(-x),可得f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x(-1,1).,典例4 (1)已知函数f(x)= 则f(f(-2)= ,函数f(x)的值 域为 (-,1 . (2)已知函数f(x)= 则f(f(2)= ,不等式f(x-3)f(
13、2)的解 集为 .,分段函数 命题方向一 分段函数求值,解析 (1)易知f(-2)= ,所以f(f(-2)=f = . 当x0时, f(x)=1- 1, 当x0时, f(x)=2x(0,1), 故函数f(x)的值域是(-,1. (2)易知f(2)= ,所以f(f(2)=f = . 当x-31,即x4时, f(x-3)=x-3, f(x-3)f(2),即x-3 ,解得x ;,当x-31,即x4时, f(x-3)= , f(x-3)5. 综上, f(x-3)f(2)的解集为 .,规律总结 (1)根据分段函数的解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区 间,其次选定相应的解析式求解,从最内层逐层向
14、外计算. (2)分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的并集,其值域是各段 值域的并集.,命题方向二 含参数的分段函数问题 典例5 已知函数f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范 围是 .,解析 因为f(x)在R上是减函数, 所以 解得0a .,规律总结 若分段函数是单调函数,则必须保证各段单调性一致,同时必须注意分 界点上函数值的大小关系.,同类练 已知函数f(x)= 则当t=0时, f(f(1)= -3 .若函数f (x)有最大值,则t的取值范围是 (-,1 .,解析 当t=0时, f(f(1)=f(-1)=-3. 作出函数f(x)的图象,移动直线x=t,由图象可知,要使得f(x)有最大值,需t 1.,变式练 设f(x)= 若f(a)=f(a+1),则f = ( C ) A.2 B.4 C.6 D.8,解析 当01,f(a)= , f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得 =2a,a= .,此时f =f(4)=2(4-1)=6. 当a1时,a+11,1 a,f(a)=2(a-1), f(a+1)=2(a+1-1)=2a. 由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2a,无解. 综上, f =6,故选C.,