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1、高 2019 年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】 专题四数列与不等式 考向一等差数列与等比数列的计算问题 【高考改编回顾基础】 1 【等差数列的通项公式、求和公式】【2018 年新课标I 卷改编】设为等差数列的前项和，若 ，则 . 【答案】 【解析】 设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以. 2. 【等比数列的通项公式】【2017 课标 3，理 14 】设等比数列 n a满足 a1 + a 2 = 1, a1 a3 = 3，则 a4 = _. 【答案】8 3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】 【2017 课标 3 改编】等差数列 n a的首项为1， 公
2、差不为0 若 a2， a3，a6成等比数列，则 n a前 6 项的 和为 . 【答案】24 【解析】 【命题预测看准方向】 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与 高 方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中 项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解 答题中的某一问出现,属于中档题 ;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等 式、函数、方程等知识相结合. 预测 2019 年数列问题将保持一大一小的
3、命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查. 【典例分析提升能力】 【例 1】 【2018 年全国卷II 理】记为等差数列的前项和，已知， （1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值 【答案】（1）an=2n 9， （2）Sn=n2 8n，最小值为 16 【趁热打铁】 【 2017 全国卷改编】已知an为等差数列， bn为等比数列，a1 1，b11，a2b22， a3b35，则 bn的通项公式为_ 【答案】bn2 n1 【解析】设 an的公差为d，bn的公比为q， 由a2b22 得dq3， 由a3b35 得 2dq 2 6. 联立，解得 d3， q0 (舍去 )或 d1， q2. 因此
4、 bn的通项公式为bn2 n1. 【例 2】【2017 江苏卷】等比数列 an的各项均为实数， 其前n项和为Sn.已知S3 7 4 ，S6 63 4 ， 则a8_. 【答案】 32 【趁热打铁】【 2018 届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列 n a满足 24 3aa， 35 1a a， 则公比q_ ， n a_ 高 【答案】 2 2 2 2 2 n 【解析】设等比数列的首项为 11 ,0a a，公比为,0q q，由题意可得 326 11 3,1aqqa q 解得 1 2 2 2, 2 n aqa 2 2 2 n ，填 (1). 2 2 (2). 2 2 2 n 【方法总结全面提升
5、】 1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n 项和 公式构造关于a1与 d 、 a1与 q 的方程 (组) 解决 .在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、 等比数列问题的认识. 2.解决等差数列a n前 n 项和问题常用的三个公式是 : Sn=;Sn=na1+d； Sn=An 2 +Bn(A,B为常数 ), 灵活地选用公式,解决问题更便捷. 3.等差数列和等比数列的中项、前n 项和都有一些类似的性质,充分 利用性质可简化解题过程. 4.证明数列是等差数列或等比数列的基本方法是定义法和中项法. 5.等差数列、等比数列的通项公式
6、、求和公式有多种形式的变形.在求解相关问题时,要根据条件灵活选择相 关公式 ,同时两种数列可以相互转化,如等差数列取指数函数之后即为等比数列,正项等比数列取对数函数之 后即为等差数列. 【规范示例避免陷阱】 【典例】【 2017 北京改编】若等差数列 n a和等比数列 n b满足 a1=b1= 1，a4=b4=8 ，求 2 2 a b . 【规范解答】设等差数列an的公差为d,等比数列 bn的公比为q, 由题意知 -1+3d=-q 3=8, 即解得 高 故=1. 【反思提高】等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),a n 与S n 这五个量.如果已知 其中的三个 ,
7、就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般 先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组 ),通过解方程 (组 )求其值 ,这也是方 程思想在数列问题中的体现. 【误区警示】 用数列性质解决数列问题，往往可以简化解题过程，但技巧性较强，同时还要注意性质成立的条件，如等 差数列 an中，a1ana2an1，但a1anan1；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于1 或m 不为偶数时，Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列 考向二数列的通项与求和 【高考改编回顾基础】 1.【等比数列的求和】 【2018 年新课标I 卷理
8、】记为数列的前项和，若，则 _ 【答案】 【解析】 根据，可得， 两式相减得，即， 当时，解得， 所以数列是以 -1 为首项，以2 为公 布的等比数列， 所以，故答案是. 2 【裂项相消法】 【 2017 全国卷改编】已知an 2 2n 1，则数列 an 2n1 的前n项和为 _ 高 【答案】 2n 2n1 【解析】记 an 2n1 的前n项和为Sn， an 2n1 2 （ 2n1）（ 2n1） 1 2n1 1 2n1 ， Sn 1 1 1 3 1 3 1 5 1 2n1 1 2n1 2n 2n1 . 3. 【错位相减法】 【2017 山东卷改编】已知an2 n，b n2n1，则数列 bn a
9、n 的前n项和Tn _ 【答案】 5 2n5 2 n 【解析】令cn bn an ，则cn 2n1 2n ， 因此Tnc1c2cn 3 2 5 22 7 2 3 2n1 2n 1 2n1 2n ， 又 1 2 Tn 3 2 2 5 23 7 2 4 2n1 2n 2n1 2 n 1 ， 两式相减得 1 2 Tn 3 2 1 2 1 2 2 1 2 n 1 2n1 2 n1 ， 所以 Tn5 2n 5 2n . 4 . 【数列中的数学文化】 【 2017 全国卷改编】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍 巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共
10、挂了381 盏灯， 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯_ 盏 【答案】 3 【解析】设塔的顶层共有a1盏灯，根据题意得 a1（127） 12 381 ，解得a13. 高 【命题预测看准方向】 数列的通项与求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数 列的基本问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后进一步研究综合问题.考查等差数列 的求和多于等比数列的求和，考查的重点应该是围绕：常见求数列通项的方法、倒序求和法、分组求和法、 错位相减法、裂项相消法等.数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,在考查基本运算、基本能力的
11、 基础上 ,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力. 【典例分析提升能力】 【例 1】 【2018 届衡水金卷高三大联考理】已知数列 n a与 n b的前n项和分别为 n S， n T，且0 n a， 2* 63, nnn Saa nN， 1 2 2121 n nn a n aa b，若 * , n nNkT恒成立，则k的最小值是 ( ) A. 1 7 B. 1 49 C. 49 D. 8 441 【答案】 B 【解析】当1n时， 2 111 63aaa，解得 1 3a或 1 0a. 由0 n a得 1 3a.由 2 63 nnn Saa，得 2 111 63 nnn Saa. 两式相减得 2
12、2 111 633 nnnnn aaaaa. 所以 11 ()(3)0 nnnn aaaa. 因为0 n a，所以 11 0,3 nnnn aaaa. 即数列 n a是以 3 为首项， 3 为公差的等差数列，所以3313 n ann. 所以 1 1 1 28111 7818181812121 n nn an nnn nnaa b. 所以 22311 11111111111 7818181818181778149 nnnn T. 高 要使 * , n nNkT恒成立，只需 1 49 k. 故选 B. 【趁热打铁】【 2018 届湖南省衡阳县高三12 月联考】 若曲线ln*yxxnnN在x轴的交点
13、处的切 线经过点 1, n a，则数列 1 n a 的前n项和 n S_ 【答案】 1 n n 来源 【解析】令ln0xxn，得1xn，则切点为1,0n ln x yxn xn 1 |1 xn yn 曲线 lnyxxn 在x轴的交点处的切线方程为 11ynxn 切线经过点 1, n a 1 n an n 1111 11 n an nnn 11111 1 22311 n n S nnn 故答案为 1 n n 【例 2】 【2018 年浙江卷】 已知等比数列 an的公比q1 ，且a3+a4+a5=28 ，a4+2 是a3，a5的等差中项 数 列 bn满足b1=1 ，数列 （bn+1-bn）an的前
14、n项和为 2n 2+ n （）求q的值； （）求数列bn的通项公式 【答案】（） 高 （） 【解析】 （）由是的等差中项得， 所以， 解得. 由得， 因为，所以. （）设，数列前n项和为. 由解得. 由（）可知， 所以， 故， . 设， 所以， 高 因此， 又，所以. 【趁热打铁】 【2018 届安徽省合肥市高三调研性检测】数列 n a满足 1 1 1 1,0 21 n n n a aa a . （）求证：数列 1 n a 是等差数列； （）若数列 n b满足 1 1 2 2, 1 nn nn ba b ba ，求 n b的前n项和 n S. 【答案】（）证明见解析（） 1 2326 n n
15、Sn 【解析】 （）若 1 0 n a，则0 n a，这与 1 1a矛盾， 1 0 n a， 由已知得 11 20 nnnn a aaa， 1 11 2 nn aa ， 故数列 n a是以 1 1 1 a 为首项， 2 为公差的等差数列. （）由（）可知， 1 1 12121nn a ， 由 1 1 2 nn nn ba ba 可知 11 2 nnnn aba b.又 1 1 2a b 1 222 nn nn a b212 n n bn， 123 1 23 25 2212 n nSn ， 则 2341 21 23 25 221 2 n n Sn， 2311 22 22 22 22123226
16、nnn n Snn， 高 1 2326 n n Sn 【例 3】 【2018 届江西省南昌市第二中学高三上第五次月考】已知数列 n a的前n项和 n S满足： 21 nn Sa. （1）数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 11 nn n nn aa b aa ，且数列 n b的前n项和为 n T，求证： 1 3 n T. 【答案】（1） 1 *111 333 nn n anN， ； （2）见解析。 （2）证明： 1 1 1 1 1 11 11 33 11 113131 11 33 nn nn n nn nn nn aa b aa 由 11 1111 , 31 331 3 nnnn ，
17、所以 11 1111 313133 nnnnn b， 所以 1222311 11111111 33333333 nnnnn Tbbb 因为 1 1 0 3 n ，所以 1 111 333 n ，即 1 3 n T 故选 C. 【趁热打铁】【2018 届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a， * 1 21, nn aSnN等差数列 n b中， 2 5b，且公差2d （） 求数列, nn ab的通项公式； （）是否存在正整数 n，使得 1 122 .60 nn aba ba bn?若存在，求出n的最小值；若不存在，请说 明理由 【答案】（1） 1
18、3 n n a，21 n bn； （2）4 【解析】 高 （） 1 21 nn aS，当2n时， -1 2+1 nn aS两式相减得， +1=3 2 nn aan，又 * 2111 2133,3 nn aaaaanN，数列 na 是以1为首项， 3为公比的等比数列， 1 =3 n n a，又 12 523bbd， 1 121 n bbndn. （） 1 21 3 n nn abn,令 221 3 15 373.213213. nn n Tnn 则 231 33 35 373.213213. nn n Tnn - 得： 21 23 12 33.3213 nn n Tn，360 n n Tnn，即
19、360 n ， 34 327,381，n的最小正整数为4. 【方法总结全面提升】 1.常见求数列通项的方法有:迭加法、迭乘法、构造等差数列、等比数列法、取倒数法,利用数列前n 项和 S n 与通项 an之间的关系Sn-S n-1 =a n (n 2)进行递推、构造新数列等. 2.非等差数列、非等比数列求和的常用方法: (1) 倒序相加法 ,如果一个数列 a n,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数 ,那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和即是用此法推导的. (2) 错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个
20、数列 的前 n 项和即可用此法来求,如等比数列的前n 项和就是用此法推导的.错位相减法适用于求数列a n bn的前 n 项和 ,其中 a n 为等差数列 ,b n 为等比数列 ;所谓“错位”, 就是要找“同类项”相减 .要注意 的是相减后得到 部分等比数列的和,此时一定要查清其项数. (3)裂项相消法 ,把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 . 裂项相消 法的基本思想就是把通项a n 分拆成 an=b n+k -b n(kN * )的形式 ,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的, 在解题时要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式 ,使之符合裂项相消的条
21、件 . (4)分组求和法 ,一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法, 分别求和而后相加减. 高 (5) 并项求和法 ,一个数列的前n 项和中 ,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 a n=(-1) n f(n) 类型 ,可采用两 项合并求解 . 【规范示例避免陷阱】 【典例】【 2017 天津高考】已知 an为等差数列，前n 项和为 Sn(n N *)，b n是首项为 2 的等比数列，且 公比大于0，b2b312 ，b3 a42a1， S1111b4. ( ) 求 an和bn的通项 公式； ( ) 求数列 a2nb2n 1的前 n 项和(n N *
22、) 【规范解答】( ) 设等差数列an的公差为d，等比数列 bn的公比为q.由已知 b2b312 ， 得 b1(q q 2)12，而 b 12，所以 q 2q6 0.又因为 q0，解得 q2，所以 b n2 n.-2 分 由 b3a42a1，可得 3d a1 8 . 由 S1111b4，可得 a15d 16 . 联立，解得a11，d 3， 由此可得an3n 2. 所以数列 an的通项公式为an3n 2，数列 bn的通项公式为bn2 n.-2 分 【反思提升】 1牢记等差、等比数列的an及 Sn公式求等差、等比数列的基本量，首先考虑性质的运用， 如果不能用性质，才考虑使用基本量法，在使用错位相减
23、法求和时，一定要弄清楚参与运算的项数和没有 参与运算的项数 2注意利用第 (1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第 (2)问能用得上，可以直接用，有些题目 不用第 (1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得an，bn. 【误区警示】写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本 保证 如本题第 (1) 问要充分体现等差(比)数列基本量的运算第(2)问利用错位相减法求Tn，计算要求更高， 往往很多学生计算出错导致失分 考向三不等式 【高考改编回顾基础】 1 【集合的运算、函数的定义域值域、简单不等式的解法】【2017 山东改编】设
24、函数x 2 y= 4-的定义域A ， 高 函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则 AB= . 【答案】-2,1) 【解析】由 2 40x得22x，由10x 得 1x，故 AB=| 22|1| 21 xxx xxx . 2.【不等式的性质、基本不等式、对数函数的性质】【2018 年全国卷理】设， 则 AB CD 【答案】 B 【解析】 ,即 又 即 故选 B. 3.【基本不等式】 【2017 天津文理】若,a bR，0ab，则 44 41ab ab 的最小值为 _. 【答案】4 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ， （前一个等号成立条件是 2
25、2 2ab，后 高 一个等号成立的条件是 1 2 ab，两个等号可以同时取得，则当且仅当 22 22 , 24 ab时取等号） . 4.【基本不等式的应用】 【2017 江苏， 10 】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万 元/ 次，一年的总存储费用为4x万元 ,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 x 的值是 . 【答案】 30 【解析】总费用 600900 464()42 900240xx xx ，当且仅当 900 x x ，即30x时等号成立 . 5.【简单线性规划】 【2018 年理新课标I 卷】若， 满足约束条件，则的最大 值为 _ 【答案】 6 【解析】
26、 根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由可得， 画出直线，将其上下移动， 结合的几何意义，可知当直线过点B 时， z 取得最大值， 高 由，解得， 此时，故答案为6. 【命题预测看准方向】 在近几年的高考试卷中对不等式的考查,主要热点是线性规划知识、基本不等式、解不等式及绝对值不等式. 解不等式主要涉及一元二次不等式、简单的对数和指数不等式等,并且以一元二次不等式为主,重在考查等价 转化能力和基本的解不等式的方法;基本不等式的考查重在对代数式的转化过程及适用条件、等号成立条件 的检验 ,常用来求最值或求恒成立问题中参数的取值范围. 【典例分析提升能力】 【例 1】 【201
27、8 届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合 2 |230Ax xx， 2 |31,By yxxR，则AB（） A. | 31xxB. |12xxC. | 11xxD. |13xx 【答案】 C 【解析】 2 |230 | 13 Ax xxxx， 2 |31,|1 By yxxRy y， 则AB| 11 xx，故选 C 【趁热打铁】函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题设可得,应选答案B. 【例 2】 【2017 山东文理】若0ab，且1ab，则下列不等式成立的是（） （A） 2 1 log 2 a b aab b （B） 2 1 log 2 a b ab
28、a b 高 （C） 2 1 log 2 a b aab b （ D） 2 1 log 2 a b aba b 【答案】 B 【趁热打铁】 【2018 届浙江省温州市高三9 月测试（一模） 】已知（，） ，则的最 大值为 _ 【答案】 0 【解析】，当时等号成立，所以 的最大值为，故答案为. 【例 3】 【2017 课标 3， 理 13】 若x，y满足约束条件 y0 20 0 x xy y ， 则z 34xy的最小值为 _. 【答案】1 【解析】 【趁热打铁】 【2017 课标 1】设 x，y 满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为 . 【答案】5 【解析】不等
29、式组表示的可行域如图所示， 高 易求得 111 1 ( 1,1), (,),(, ) 333 3 ABC， 由32zxy得 3 22 z yx在y轴上的截距越大，z就越小 所以，当直线直线32zxy过点A时， z取得最小值 所以z取得最小值为3 ( 1)2 15 【名师点睛】 求线性目标函数zax by(ab 0) 的最值，当 b0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时， z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小， 在 y 轴上截距最小时，z 值最大 . 【例 4】 【2017 天津，理8】已知函数 2 3,1, ( ) 2 ,1
30、. xxx f x xx x 设aR，若关于x 的不等式( )| 2 x f xa 在 R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A） 47 ,2 16 （ B） 47 39 , 16 16 （C） 2 3,2（D） 39 2 3, 16 【答案】A 22 22 22 xx xx （当2x时取等号）， 所以2 32a， 综上 47 2 16 a故选 A 高 【趁热打铁】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则 的取值范围是 AB CD 【答案】 A 【解析】满足题意时的图象恒不在函数下方， 当时，函数图象如图所示，排除C,D 选项； 当时，函数图象如图所示，排除B 选项， 高 本题选择A 选项 .
31、【方法总结全面提升】 1.基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小 判断、求取值范围以及最值等几方面的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果 x0 ， y0 ，xyp( 定值 )，当 xy 时， xy 有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2) 如果 x0 ， y0 ，xys(定值 )，当 xy 时， xy 有最大值 1 4 s2(简记为：和定，积有最大值)要注意“一正、二定、 三相等”三者缺一不可. 2.求解不等式恒成立问题的常用思想方法: (1) 分离参数法 :通过分离参数 ,转化为不含参数的函数最值问题求解.
32、 若函数 f(x) 有最大值 ,则 f(x) m 恒成立等价于m f(x) max ; 若函数 f(x) 有最小值 ,则 f(x) m 恒成立等价于m f(x) min . (2) 函数思想 :转化为求含参数的最值问题求解. (3) 数形结合思想:转化为熟悉的函数并利用其图象关系求解. 3.线性规划问题的常见题型有： (1) 求最值 ,常见形如截距式zaxby,斜率式 xb z xa ,距离式 22 zxayb. 高 (2) 求区域面积. (3) 由最优解或可行域确定参数的值或取值范围. 【规范示例避免陷阱】 【典例】已知两正数x，y 满足 xy1，则 z (x 1 x )(y 1 y )的最
33、小值为 _ 【反思提升】1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件“一正”是说每个项都 必须为正值， “二定”是说各个项的和(或积 )必须为定值 “三相等”是说各项的值相等时，等号成立 2多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性 【误区警示】忽视考察等号成立的条件是否具备而产生如下错解 错解一：因为对a0 ，恒有 a 1 a 2， 从而 z(x 1 x )(y 1 y ) 4， 所以 z 的最小值是4. 错解二： z 2x 2y22xy xy ( 2 xy xy) 22 2 xy xy 22(21)， 所以 z 的最小值是2(21)