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1、一、选择题 1【2017 河北衡水中学高三押题卷】焦点为的抛物线：的准线与轴交于点， 点在抛物线上， 则当取得最大值时，直线的方程为（） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】 A 【解析】 点睛： 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离( 抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的 点到准线的距离) 进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义 就能解决问题本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求 解学 _科_网. 2. 【2018 河北衡水中学高三市模拟联考】抛物线的焦点为，过作斜率为的直线 与抛物线在轴 右侧的部分相交
2、于点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由抛物线的定义可得，则的斜率等于，的倾斜角等于，可得 ，故为等边三角形，又因为焦点，的为，与可得点，抛 物线的定义可得故等边的边长，的面， 故选 C. 3. 【2018 河北衡水中学高三五调】已知焦点在y轴上的双曲线C的中点是原点O，离心率等于 222 22 15 2 caba e aaa 5 2 . 以双曲线C的一个焦点为圆心，1 为半径的圆与双曲线C的渐近 线相切，则双曲线C的方程为（） A 22 1 164 yx B 2 2 1 4 x y C. 2 2 1 4 y x D 2 2 1
3、4 x y 来源:学科网 Z X X K 【答案】 C 考点：双曲线的标准方程与几何性质. 4. 【 2018 河北衡水中学高三9 月联考】已知双曲线：（，）的渐近线经过圆： 的圆心，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】圆：的圆心为，双曲线的渐近线为. 依题意得。学 #科网 故其离心率为. 故选 A. 5. 【2018 河北衡水中学高三9 月联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线 平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知 抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出， 经过抛物线上的
4、点反射后， 再经抛物 线上的另一点射出，则的周长为（） A. B. C. D. 【答案】 B 点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后, 反射光线平行于抛 物线的对称轴. 6. 【2017 河北衡水中学高三第三次摸底】已知、分别是双曲线的左、右焦 点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（） A. B. C. D. 2 【答案】 D 【解析】 由题意得渐近线斜率为，即，选 D. 7.【2017 河北衡水中学高三押题卷一】如图，过抛物线的焦点的直线 交抛物线于点， 交其准线于点，若，且，则此抛物线方程为（） A. B
5、. C. D. 【答案】 C 【解析】 8. 【 2017 河北衡水中学高三上学期六调】已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三 角形，且顶角为120，则的离心率为（） 来源: 学科网 A. B. 2 C. D. 【答案】 A 【解析】设双曲线方程为 ， 点睛：本题主要考查双曲线的性质离心率；首先根据题意画出图形，过点作轴，得到 ，通过求解直角三角形得到坐标，代入双曲线方程可得与的关系，结合的关系和 离心率公式，求得双曲线的离心率 9.【 2017 河北衡水中学高三上学期四调】已知 A、B是椭圆 22 22 10 xy ab ab 长轴的两个端点，M、 N 是椭圆上关于x轴对称的两点，直线A
6、M、 BN 的斜率分别为 12120kkk k，若椭圆的离心率为 3 2 ，则 12 kk 的最小值为（） A1 B2 C. 3 2 D3 【答案】 A 10.【2017 河北衡水中学高三押题卷三】已知抛物线：的焦点为， 点 是抛物线上一点， 圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则= （） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 B 【解析】由题意：M （x0，22）在抛物线上，则8=2px0，则 px0=4， 由抛物线的性质可知,，则， 被直线截得的弦长为3|MA|，则， 由，在 RtMDE中，丨 DE丨 2+丨 DM丨2=丨 ME丨2，即 ， 代入整理得：， 由，解得：x
7、0=2， p=2， ， 故选： B 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考 查数形结合思想, 转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键. 11.【2017 河北衡水中学高三二模】椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为， 若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 A 学科网 点睛：解答本题的思路是先借助圆的一般式方程，进而求出三角形外接圆的圆心坐标为 ，然后依据题设建立不等式，即，然后借助参数 之间的关系求出椭圆离心率的取值范围使得问题获解。 12. 【2017
8、河北衡水中学高三上学期四调】已知过抛物线 2 :20Gypx p焦点F的直线 l 与抛物线 G 交 于M、 N 两点（M在x轴上方），满足3MFFN ， 16 3 MN，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的 标准方程为（） A 2 2 12 316 333 xy B 2 2 1316 333 xy C. 2 2 32 316xy D 2 2 3316xy 【答案】 C 考点： 1. 抛物线的标准方程与几何性质；2. 直线与抛物线的位置关系；2. 圆的标准方程 . 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题； 在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上
9、的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理； 抛物线 的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握. 学科网 13 【2017 河北衡水中学高三六调】以抛物线 2 xy的一点 1 ,1M 为直角顶点作抛物线的两个内接 MCDRtMABRt,，则线段AB与线段 CD 的交点E的坐标为（） A 2, 1 B 1 , 2 C. 4,2 D 4,1 【答案】 B 【解析】设，则，的方程 为因为，所以带入上式可得于是 在直线上，同理点也在上，因为交点为.故选：. 14. 【2016 河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线C1：y=x 2 （p0）的焦点与双曲线C 2： y 2=1
10、的右焦点的连线交C 1于第一象限的点 M ，若 C 1在点 M处的切线平行于 C 2的一条渐近线，则 p=（） ABCD 【考 点】抛物线的简单性质 来源:学, 科 ,网 【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数 y=x 2（p0）在 x 取直线与抛物线交点 M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点 横坐标与p 的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p 的值 把 M点代入得： 解得 p= 故选： D 二、填空题 15. 【2018 河北衡水中学高三市模拟联考】已知是双曲线：（，）的一个焦点，为坐 标原点，是双曲线上一点，若是等
11、边三角形，则双曲线的离心率等于_. 【答案】 【解析】设，是等边三角形，所以，代入化简得：，所以的离 心率，故答案为. 学 科网 16. 【2018 河北衡水中学高三五调】已知抛物线方程为 2 2(0)ypx p，焦点为F，O是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA与x轴正方向的夹角为60，若OAF的面积为3，则p的值为 _. 【答案】2 【解析】 考点：抛物线的标准方程及几何性质. 17. 【2017 河北衡水中学高三第三次摸底】已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的 交点，是坐标原点，且满足，则的值为 _ 【答案】 18. 【2017 河北衡水中学高三押题卷二】设点是椭圆上的点， 以点为圆心的圆
12、 与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于不同的两点、，若为锐角三角形，则椭圆的离心率 的取值范围为_ 【答案】 【解析】试题分析：PQM 是锐角三角形， 化为 解得 该椭圆离心率的取值范围是 故答案为： 19. 【2017 河北衡水中学高三上学期四调】过抛物线 2 20ypx p的焦点F的直线 l 与抛物线在第一象限 的交点为A，与抛物线的准线的的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AFFBBA BC，则抛物线的方程为 【答案】 2 4yx 来源 :学, 科 ,网 Z,X,X,K 考点： 1. 抛物线的标准方程与几何性质；2. 向量数量积的几何意义. 学科 . 网 20. 【201
13、8 河北衡水中学高三分科综合测试】已知抛物线的焦点为，准线为 ，过 上一点 作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则_ 【答案】 , 则, 即, 故在中, 高, 应填答案。 点睛 : 解答本题的思路是先确定两切线的位置关系是互相垂直，进而确定三点共线，最后再证明 是斜边上的高，然后借助三角形的面积相等巧妙地求出斜边上的高, 应。 21. 【 2017 河北衡水中学高三二模】已知点分别是双曲线的左、右焦点，为 坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值 范围为 _ 【答案】 点睛：首先要明确由可得为直角三角形，=90，可得即 然后根据双曲线的定义和几何性质可得从 而得出结论 22.
14、 【2016 河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线y 2=4x 的准线与双曲线 =1（a0，b0） 交于 A、B两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用三角形是直角三角形求出顶点坐标，代入双曲线方程，利用双曲线 的几何量之间的关系，求出离心率的表达式，然后求解即可 【解答】解：抛物线焦点F（1，0） ，由题意0a1，且 AFB=90 并被x 轴平分， 所以点（ 1，2）在双曲线上，得，即， 即，所以， 0a1， e 25， 故 故答案为： 三、解答题 23. 【2018 河北衡水中学高三市模拟联
15、考】已知椭圆（）的焦点分别为， 离心率，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且. （1）求椭圆的标准方程；学科￥网 （2）过点的直线 与椭圆有两个不同的交点， ，且点在点， 之间，试求和面积之比 的取值范围（其中为坐标原点）. 【答案】 (1)；(2). 24. 【 2018 河北衡水中学高三9 月联考】 已知椭圆：的左、 右焦点分别为， 其离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四 边形不可能是菱形. 【答案】 (1)；(2) 证明见解析 . 【解析】试题分析： （1）由，及，可得方程； （2）易知直线不能平行 于轴
16、，所以令直线的方程为与椭圆联立得 ，令直线的方程为，可得，进而由是菱 形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解. 试题解析： （1）由已知，得， 又， 故解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（ 1） ，知，如图， 若是菱形，则，即， 于是有.学科 #网 又， ， 所以有， 整理得到， 即，上述关于的方程显然没有实数解， 故四边形不可能是菱形 . 25. 【2018 河北衡水中学高三分科综合测试】已知分别是椭圆的长轴与短轴的一 个端点，是椭圆的左、右焦点，以点为圆心、 3 为半径的圆与以点为圆心、 1 为半径的圆的交点在椭 圆上，且 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线与 轴交于点
17、，直线与 轴交于点，求证： 【答案】（1）； （2）见解析 令，得，从而 所以 当时，, 所以, 综上可知 【点睛】求椭圆的标准方程，常采用待定系数法，根据题意列出关于的方程，解方程求出，写出椭 圆的标准方程，关于椭圆中的证明问题，根据题意设出点P的坐标，满足椭圆方程，作为一个证明的重要 条件， 要证明和的积为，需要写出直线AP 、BP的方程， 表示点 M 、N的坐标， 得到和的 长的表达式，把重要条件中的代入，化简所得的积，恰好为，问题得以解决. 26. 【2017 河北衡水中学高三押题卷】已知椭圆：的长轴长为6， 且椭圆与圆： 的公共弦长为. （1）求椭圆的方程 . （2） 过点作斜率为的
18、直线 与椭圆交于两点， ， 试判断在轴上是否存在点， 使得 为以为底边的等腰三角形. 若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）见解析 . ， 所以. 当时， 所以； 当时，所以. 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为. 点睛： 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系, 基本不等式 , 及韦达定理的应用. 解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程, 常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般 为直线与椭圆的位置关系, 解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件, 可将几何条件 转化为代
19、数关系, 从而建立方程或者不等式来解决. 27. 【2018 河北衡水中学高三二调】如图 , 以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴交于点 A, 点 ,B P在 单 位圆上 , 且 52 5 , 55 BAOB. （1）求 4cos3sin 5cos3sin 的值； （2）若四边形OAQP是平行四边形 . 当P在单位圆上运动时，求点Q的轨迹方程； 设02POA, 点,Q m n, 且3fmn, 求关于的函数f的解析式 , 并求 其单调增区间. 【答案】（1）10； （2） 2 2 11xy；2sin1 6 f ，增区间为0, 3 和 4 ,2 3 . 【解析】 试题分析：（ 1）由三角函数定义
20、得tan2，由齐次方程可计算的结果为10； （2）设PA中点为 H, 11 ,P x yQ x y, 则 2211 11 1 1, 22 xy xyH , 又 1 1 1 , 2 2 xx x y H yy , 代入上式得点Q的轨 0, 3 和 4 ,2 3 . 学科！网 考点：解三角形，轨迹方程，参数方程，三角恒等变换 28. 【2018 河北衡水中学高三五调】已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，圆 22 (2 )(2)2Q xy的 圆心Q在椭圆C上，点(0,2)P到椭圆C的右焦点的距离为6. （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作互相垂直的两条直线 12 ,l l，且
21、1 l交椭圆C于,A B两点， 直线 2 l交圆Q于,C D两点， 且M为 CD的中点，求MAB面积的取值范围. 【答案】 (1) 22 1 84 xy ；(2) 4 5 ,4 3 . 试题 解析：（）因为椭圆C 的右焦点,0 ,6,2F cPFc， 1 分 2,2 在椭圆 C 上， 22 42 1 ab ， 2 分 由 22 4ab得 22 8,4ab，所以椭圆C 的方程为 22 1 84 xy . 4 分 又圆心 2,2Q到 2 l 的距离 1 2 2 2 1 d k 得 2 1k， 9 分 又,MPAB QMCD ，所以M点到AB的距离等于Q 点到AB的 距离，设为 2 d ，即 2 2
22、2 222 2 11 k k d kk ，10 分 所以MAB面积 22 2 2 22 2 41 441 1 4 221 21 kk kk SAB d k k ， 11 分 令 2 213,tk，则 2 2 2 112311 1314 5 0,44,4 322283 tt S ttt ， 综上，MAB面 积的取值范围为 4 5 ,4 3 . 12 分 考点： 1. 椭圆的标准方程与几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系. 29. 【2017 河北衡水中学高三六调】已知抛物线C 的方程为 pyx2 2 ，点 4,4 为抛物线上一点，F 为抛物 线的焦点，曲线在一点的法线即与该点切线垂直的直线。 （
23、1）若点P的法线被抛物线所截的线段最短，求点P坐标； （2）任意一条和 y轴平行的直线 1 l 交曲线 C于点Q， 1 l 关于在点Q的法线对称的直线为2 l ，直线2 l 通过一 个定点 M，求定点M坐标 . 【答案】（ 1）见解析（ 2） 来源: 学科网 试题解析：解：（1）把代入抛物线方程，解得， 抛物线方程为，设切点为， 显然点不为原点，在点处的法线方程为， 即， 消元得， 30. 【2017 河北衡水中学高三押题卷三】中，是的中点，其周长为，若 点在线段上，且. （1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程； （2）若，是射线上不同的 两点，过点的直线与交于，直线与交于 另一点，
24、证明：是等腰三角形. 【答案】（1）； （2）见解析 . 【解析】 试题分析： （ 1）由题意得， 以为坐标原点， 以的方向为轴的正方向， 建立平面直角坐标系， 得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨 迹的方程；（2）由（ 1）中的轨迹方程得到轴 ，从而得到，即可证明是等腰三 角形 . 试题解析：解法一： （1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得. ， 由韦达定理， 同理， 所以或， 当时，轴， 当时，由，得，学,科 , 网. 同理，轴. 因此，故是等腰三角形. 解法二： （1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得. 在轴上
25、取， 因为点在线段上，且， 所以， 则， ， 所以，即轴， 因此，故是等腰三角形. 学科 . 网 31. 【2017 河北衡水中学高三二模】已知抛物线的焦点为为上位于第一象限 的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点. （1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程； （2）对于（ 1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于 点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围 . 【答案】（1）（2）学科 网 即，也即，所以，即 ，又因为，所以 ，令 ，易知在上是减函数，所 以. 点睛：设置本题的目的旨在考查抛物线的标准方程与几何性质及直线与抛物线的位置关系等知
26、识的综合运 用。解答本题的第一问时，直接依据等腰三角形的几何特征建立方程，通过求解方程使得问题 获解；求解第二问时，先依据题条件建立直线的截距式方程为，借助直线与抛物线的方程 之间的关系， 运用坐标之间的联系建立目标函数，通过求函数的值域使得问题 获解。 32. 【2017 河北衡水中学高三第三次摸底】如图，已知为椭圆上的点， 且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆 相交于点 （1）求椭圆的离心率； （2）若，求 【答案】（1）（2） 所以原点到直线的距离为， 因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关
27、系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与 系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 涉及中点弦问题 往往利用点差法. 33. 【2017 河北衡水中学高三押题卷一】给定椭圆，称圆心在原点，半径为 的圆是椭圆的“准圆” . 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. (I) 求椭圆的方程和其“准圆”的方程； (II)点 是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点. (i)当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程，并证明； (ii)求证 :线段的长为定值 . 【答案】（1）； （ 2）(i)见解析； (ii)见解析 .
28、 【解析】试题分析： （1）根据题目条件可求出的值，进而可得出椭圆的方程和其“准圆”方程；（2） 根据条件先求出点的坐标并设出直线的方程， 再联立椭圆的方程， 并结合，即可求得方 程并进而证明；根据前面的结论，并注意对直线的斜率进行讨论，证明线段总是准圆 的直径，从而证得线段的长为定值 . 试题解析：（ 1）， 椭圆方程为， 同理可证当：时，直线垂直 当斜率存在时，设点，其中. 设经过点与椭圆相切的直线为， 所以由 得. 由化简整理得， 因为，所以有. 设的斜率分别为，因为与椭圆相切， 所以满足上述方程， 所以，即垂直学科￥网 综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直 . 所以线段为准圆
29、的直径， 所以线段的长为定值 考点： 1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系. 34. 【2017 河北衡水中学高三上学期六调】已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点 作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时， （1）判断的形状，并求抛物线的方程； （2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点 ，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标 【答案】（ 1）；（ 2） 试题解析： (1) 设， 则切线的方程为，且， 所以， ，所以， 所以为等腰三角形，且为的中点， 所以，因为， 所以，所以，得， 所以 抛物线方程为； (2) 由已知，得的坐标分别为，设， 的中垂线
30、方程为， 来源 : 学科网 ZXXK 的中垂线方程为， 联立，解得圆心坐标为：， 由，得， 来源 : 学科网 因为，所以， 所以点坐标为 35.【2016 河北衡水中学高三上学期六调】已知椭圆的两个焦点分别为F1（ c，0） 和 F2（c， 0） （c 0） ，过点的直线与椭圆相交于A ， B两点，且F1AF2B ，|F 1A|=2|F2B| （1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率； （3）设点 C与点 A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H （m ，n） （m 0）在 AF1C的外接圆上，求的 值 【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题学科 网 解法二：由椭圆
31、的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形由此入 手可以推导出的值 而 由题设知，点B为线段 AE的中点，所以x1+3c=2x2 联立解得， 将 x1，x2代入中，解得 （III）解法一：由（II ）可知 当时，得，由已知得 线段 AF1的垂直平分线l 的方程为直线 l 与 x 轴的交点是 AF1C外接圆的 圆心， 因此外接圆的方程为 直线 F2B的方程为， 36. 【2016 河北衡水中学高三上学期七调】已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，以原点为 圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+12=0 相切 （1）求椭圆C的方程， （2）设 A（ 4，
32、0） ，过点 R（3，0）作与 x 轴不重合的直线L 交椭圆 C于 P，Q两点，连接AP，AQ分别交 直线 x=于 M ，N两点，若直线MR 、NR的斜率分别为k1，k2，试问： k1k2是否为定值？若是，求出该定值， 若不是，请说明理由 【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b 的值，进而得到椭圆方程； （2）设 P（x1，y1） ，Q （ x2，y2） ，直线 PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率 相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值 因为（ x1+4） （ x2+4）=（my1+7） （my2+7=m 2y 1y2+7m （ y1+y2）+49， 所以 k1k2= 即 k1k2为定值