函数的零点与方程的根的解题方法-高考理科数学热点专题(教师版).pdf

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1、专题 04 函数的零点与方程的根的解题方法 本专题特别注意： 一命题类型： 1.零点与整数解； 2.二分法； 3.分段函数的零点； 4.零点范围问题； 5.零点个数问题； 6.零点与参数； 7.零点与框图； 8.二次函数零点分布问题； 9.抽象函数零点问题； 10.复合函数零点问题； 11.函数零点与导数； 12.零点有关的创新试题。 二 【学习目标】 1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数 2利用函数的零点求解参数的取值范围 【知识要点】 1函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数yf(x)，我们把使 _的实数 x 叫做函数yf(x)的零点 (2)方程

2、 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 y f(x)有_ (3)函数零点的判定 如果函数yf(x)在区间 a，b上的图象是 _的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x) 在区间 _内有零点，即存在c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c也就是方程f(x)0 的根 2二次函数y f(x) ax 2bxc(a0)零点的分布 根的分布 (m0 b 2a0 m0 b 2am f（m）0 x10 m0 f（n）0 m0 f（n）0 只有一根在 (m，n)之间 0 m0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所 在的区间为，则下列说法中正确的是() A函数 f(x

3、)在区间内一定有零点B函数 f(x)在区间或内有零点，或零点是 C函数 f(x)在内无零点D函数 f(x)在区间或内有零点 【答案】 B 【解析】 根据二分法原理，依次“ 二分 ” 区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数 f(x) 在区间内一定 有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内， C. 函数 f(x) 在内无零点 ， 这个是不确定的； D. 函数 f(x) 在区间或内有零点，这个也是不确定的。 在零点应在或 中或 f（）0.这个是有可能的。 故答案为B。 点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“ 二分 ” 区间，零点应存在于更小的区间

4、，而不是更大的区间。这样就可以断定ACD 是错误的。故可以得到结论。 练习 1.【河北定州2019 模拟】设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值 范围是（） ABCD 【答案】 D 【解析】 当直线 令， ,函数在上为减函数，在上为增函数，当时，取得极小值为， 时，当时，若存在唯一的整数，使得，即，只需 解得：，选 D. 练习 2.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f（x）=x2 2x3，求当 x0 时，不等式f（x） 0 整数解的个数为（） A4 B3 C2 D1 【答案】 A 【解析】 由函数为奇函数可知当x0 时，不等式f（x）0 整数解的个数与0x时0fx的个数相同

5、， 由奇函数可知00f，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要 求的整数点有4 个 （二）二分法； 例 2下面关于二分法的叙述中，正确的是() A用二分法可求所有函数零点的近似值 B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D只能用二分法求函数的零点 【答案】 B 【解析】 用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D 错误故选B. 练习 1.已知函数，设，且( )F x的零点均在区间( ,

6、)a b 内，其中a,bZ，ab，则( )0F x的最小整数解为（） A1B0C5D4 【答案】 D 考点：函数图象平移与零点. 【思路点晴】 本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数 F x 的 图像是有函数fx的图像向左平移4个单位所得 .由于F x零点都在某个区间上，所以函数fx的零点 也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，且 0fx函 数递增，有唯一零点在区间1,0，左移4个单位就是5, 4. （三）分段函数的零点； 例 3.已知函数，若关于x的方程有 8 个不等 的实数根 ，则a的取值范围是 A 1 0, 4 B 1 ,3 3 C1,2D （2, 9 4 ）

7、 【答案】 D 【解析】 函数，的图象如图： 关 于x的方程有 8 个不等的实数根，fx必须有两个不相等的实数根， 由 函 数fx图 象 可 知1 2fx（ ）（，）， 令tfx（ ）， 方 程化 为 ： ， 2 3att， 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 ： 3 2 t， 可 知 ：a的 最 大 值 为 ： ，a的最小值为2， 9 2 4 a （ ，故选 D. 练习 1函数的零点个数为（） A3 B2 C1 D0 【答案】 B 【解析】 由得零点个数为2,选 B. （四）零点范围问题； 例 4【哈六中 2019模拟】设函数， 若方程恰好有三个根， 且 ，则的取值范围是（） ABCD 【答

8、案】 B 【解析】 由题意,则， 画出函数的大致图象： 由图得 ,当时,方程 f(x)=a 恰好有三个根 , 由得,由得， 由图知 ,点与点关于直线对称， 点与点关于直线对称， ,则， 即的取值范围是,)， 练习 1.已知函数， 且存在不同的实数 123 ,x xx， 使得， 则 123 x xx 的取值范围是（） A0,3B1,2 C0,2D1,3 【答案】 A 【解析】 函数，画出xf的图象如图所示，作出直线ty，当21t时， 直线与xf图象有三个交点， 横坐标由小到大， 设为 1 x， 2 x， 3 x， 令， 即， 则有1 21 txx，令t x2 2，得到，即有， 令，2, 1t，0

9、1t，t越大其值越大；，t越大其值越大，则有 ，故选 A （五）零点个数问题； 例 5 【湖北2019 模拟】定义在R 上的奇函数fx满足， 0,1x时，则函数的零点个数是（） A2 B4 C6 D8 【答案】 C 【解析】 由可知 ,f(x)是周期为 2 的奇函数 ,又 x0,1时 ,， 可得函数f(x)在 R 上的图象如图， 由图可知 ,函数 y=f(x)- log3|x|的零点个数为 6 个， 本题选择C 选项 . 点睛：函数零点的求解与判断： (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且

10、f(a) f(b)0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点 (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点 练习 1.关于x的方程有三个不同实数解，则实数 a的取值范围是（ ） A2,B3,C(0, 3 ) D,3 【答案】 B 【解析】 ,即为 2 2 ax x ， 设,导数， 当1x时,在(1,+ )递增； 当0,x或01x时,在(- ,0),(0,1)递减。 可得fx在1x处取得极小值3， 作出yfx的图象，由题意可得当p3 时， 直线ya与yfx有 3 个交点。 即 有原方程

11、有三个不同实数解,则a的范围是3,. 练 习2 已 知 函 数， 用min,m n表 示,m n中 最 小 值 ， ，则函数h x的零点个数为（） A1 B2 C3 D4 【答案】 C 【解析】由题意 ，作出 h x 的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个： 1 ,e,3 e ；故选 C. （六）零点与参数； 6 【 2019 南昌模拟】曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范 围是 ABCD 【答案】 A 【解析】可化为 x 2+（y 1）2=4，y1 ，所以曲线为以（ 0，1）为圆心， 2 为半径的圆y1的部分直线y=k（ x2）+4 过定点 p（2，4） ，由图知，当直线经过A（ 2，

12、1）点时恰 与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个 且 kAP= 3 4 ，由直线与圆相切得d=2，解得 k= 5 12 ， 则实数 k 的取值范围为 53 , 12 4 ， 故选 B 点睛：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k 的取值范围 练习 1已知fx，又0,， 若满足的有四个， 则fx的取值范围为( ) A0,B10aC0fxD 1 1 x a 【答案】 A 点睛：本题考查复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系； 练习 2若方程有大于 2的根，则实数的取值范围是（） ABCD 【答案】 C 【解析】问题等价于方程在有解，

13、而函数在上递增，值域为 ，所以 k 的取值范围是，故选 C. 练习 3方程在区间1,5上有根，则实数a的取值范围为（） A 23 , 5 B1,C 23 ,1 5 D 23 , 5 【答案】 C 【解析】 由于方程有解，设它的两个解分别为x1， x2，则 x1?x2=-20 ， m=1.5,f(1.5)=0.250,满足条件f(m)f(x1)0.05 ，不合精确度要求。 n=2,m=1.25,f(1.25)=-0.43750.05 ，不合精确度要求。 n=3,m=1.375,f(1.375)=-0.1090.05 ，不合精确度要求。 n=4,m=1.375,f(1.4375)=0.0660.

14、满足条件f(m)f(x1)0.05 ，符合精确度要 求。 n=5,m=1.4375,f(1.40625)=0.0660， ， 3 2 k， k 的取值范围是 3 2 k且 k 1. k可取的最大整数值为0. 故选 B. 点睛：解一元二次方程时，首先要求二次项的系数不能为0， 其次根据判别式和0 的关系可得方程根的个数， 当0时，方程有两个相等实根；当0，时方程无解；当0时，方程有两个不等实根. （九）抽象函数零点问题； 例 9 【2019 河南名校模拟】 已知函数，当(0,1x时， 2 ( )f xx，若在区间( 1,1 内，有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（） A(0,)B 1 (0,

15、) 2 C 1 ,0) 2 D 1 (0, 2 【答案】 D 【解析】 由题意可知函数fx在1,1上的解析式为由 可得，所以要使方程由两个不同的零点，即fx得图象与直线 1yt x有两个不同的交点，作出它们的图象，可知斜率 1 (0, 2 t，故选 D. 考点：根的存在性与根个数的判断. 【方法点睛】本题主要考查了函数的零点及方程根个数的判断，考查了数形结合的数学思想，属于中档题. 本题解答时，首先根据fx在(0,1x上的解析式，求出fx在1,1上的解析式，从而作出分段函数 fx的图象，把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的交点个数问题，结合参数t的几何意义求得其 范围 . 练习 1.已知函

16、数fx满足：定义域为R； xR，都有；当1,1x时， ，则方程在区间3,5内解的个数是（） A5 B6 C7 D8 【答案】 A 【解析】 画出函数图象如下图所示，由图可知，共有5个解 . 考点：函数的图象与性质. （十）复合函数零点问题； 例10. 【 广 西2019模 拟 】 设 定 义 域 为的 函 数若 关 于的 方 程 有 7 个不同的实数解，则（ ） A6 B4 或 6 C6 或 2 D2 【答案】 D 【解析】 试题分析： 由图可知方程有两个不等实根，其中一根为4， 另一根在； 由，又当时，另一根为1，满足题意；当时，另 一根为 9，不满足题意；所以选D. 考点：函数与方程 【方

17、法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值 )问题求解 . (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 练习 1.函数的定义域为实数集，对于任意都有， 若在区间内函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（） ABCD 【答案】 D 练习 2.已知函数，方程，则方程的根的个数是（） A2 B3 C4 D5 【答案】 D 【解析】 因为，所以或，作函数的图象如图， 结合图象可知，有两个不同的根，有三个不同的根，且个根都不相同，故 方程的根的个数是，故选 D 考点：分段函数图象与性

18、质 【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以或，作 函数的图象， 根据图象可知有两个不同的根，有三个 不同的根，合起来就一共有个不同的实根对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时 候也转化为两个函数交点来求解 （十一）函数零点与导数； 例 11.已知yfx为 R 上的连续可导函数，当 x0 时，则函数的零 点个数为（） A1 B2 C0 D0 或 2 【答案】 C 【解析】试题分析：当x0时，要求关于x 的方程 的 根 的 个 数 可 转 化 成的 根 的 个 数 ， 令当0x时 ， 即0Fx（ ）， F（x）在（ 0， +）上单调递增；当x0 时， 即0Fx（

19、），F x（ ）在（ - ，0）上单调递减而yf x（ ）为 R 上的连续可导的函数无 实数根，故选C 考点： 1.导数的运算； 2.根的存在性及根的个数判断 练 习1 若 函 数( )f x为 定 义 在R上 的 连 续 奇 函 数 且对0x恒 成 立 ， 则 方 程 的实根个数为（） A0 B 1 C2 D3 【答案】 A 【解析】0x时，对两边乘以 2 x得，即单调递 增，由于函数为奇函数，所以 3 x fx为偶函数，图象关于y轴对称，所以当0x时，函数 3 x fx是单 调递减，且 0x 时，函数值为 0，由此可知 3 0x fx，故没有实数根 . 练习2.定义在R上的可导函数fx，且

20、fx图像连续，当0x时，则函数 的零点的个数为（） A.1B.0 C.2D.0或2 【答案】 B 【解析】 由于函数，可得0x，因而g x的零点跟xg x的非零零点是完全一样的， 所 以转 化为 函数的 零点，由于 当0x时 ， （ 1）当0x时 ， ，所以在区间(0,)上，函数xg x单调递增函数，当 0x时，1fx，所以在(0,)上，函数恒成立，因此在(0,)上，函数 xg x没有零点； （2） 当0x时， 所以函数在区间(0,) 上，函数 xg x 单调递减函数，恒成立，因此在(0,)上，函数 xg x 没有零点， （十二）零点有关的创新试题 例 12. 【 2019 天门模拟】 定义：

21、如果 函数在上存在，满足， ，则称函数是上的 “ 双中值函数 ” ，已知函数是上的 “ 双中 值函数 ” ，则实数a 的取值范围是 ABCD 【答案】 C 【解析】 由题得：是上的 “ 双中值函数 ” ，等价于 在上有两个不同的实数解，令则解之得 故选 C 点睛：首先要读懂新定义“ 双中值函数 ” ，根据新定义可得问题等价于在上有两 个不同的实数解是解题关键 练 习1.已 知fx是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 满 足, 且 当0,1x时 ， ,则函数在区间6,6上的零点个数是 A4B5C6D7 【答案】 B 【解析】 由，令1x，则10f， ， fx的图像关于点1,0对称， 又fx

22、是定义在R上的奇函数， fx是周期为2 的函数 . 当0,1x时，为增函数， 画出fx及 1 3 yx在0,6上的图像如图所示， 经计算，结合图像易知，函数fx的图像与直线 1 3 yx 在0,6上有 3 个不同的交点，由函数的奇偶性可知， 函数在区间6,6上的零点个数是5. 练习 2已知；设函数 ， 且函数( )F x的零点均在区间, a b（ab，a，bZ） 内，则ba 的最小值为（） A 8 B9 C10 D 11 【答案】 C 【解析】 ，当( 1,0)x时， ，函数( )f x在区间( 1,0)上单调递增，故函数( )f x有唯一零点( 1,0)x； ，当 (1,2)x时，函数( )

23、g x在区间(1,2)上单调递减，故函数( )g x有唯一零点 (1,2)x；(3)f x的零点在( 4,3)内，(4)g x的零点在(5,6)内， ，且函数( )F x的零点均在区间,a b（ab，a，bZ）内，因此 的零点均在区间 4,6 内，ba的最小值为10.故选 C 考点： 1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和； 3、函数零点存在性定理 【思路点睛】利用导数分别求出函数( )f x、( )g x的零点所在的区间，然后要求 的零点所在区间，即求(3)f x的零点和(4)g x的零点所在区间， 根据图象平移即可求得结果本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问 题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力属于中档 题 练习 3.已知当,xR x表示不超过x的最大整数，称yx为取整函数，例如，若 fxx，且偶函数，则方程的所有解之和为（） A1 B-2 C53D53 【答案】 D