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1、 最值问题一、填空题1在半O中，点C是半圆弧AB的中点，D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB10，则PCPD的最小值是_5_.,第1题图),第2题图)2(2015株洲)如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB30，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与O交于G，H两点，若O的半径为7，则GEFH的最大值为_3(2015莆田)如图，在反比例函数y上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线yx上有一动点P，当P点的坐标为_(，)_时，PAPB有最小值点拨：设A点关于直线yx的对称点为A，连接AB，交直线yx为P点，此时PAPB有最小值，A点关于直线y
2、x的对称点为A，A(3，2)，A(2，3)，设直线AB的直线解析式为ykxb，解得k，b2，直线AB的直线解析式为yx2，联立解得x，y，即P点坐标(，)，故答案为(，)二、解答题4已知点M(3，2)，N(1，1)，点P在y轴上，求使得PMN的周长最小的点P的坐标解：作出M关于y轴的对称点M，连接NM，与y轴相交于点P，则P点即为所求，设过NM两点的直线解析式为ykxb(k0)，则解得k，b，故此一次函数的解析式为yx，因为b，所以P点坐标为(0，)5(2015宁德)如图，AB是O的直径，AB8，点M在O上，MAB20，N是弧MB的中点，P是直径AB 上的一动点若MN1，则PMN周长的最小值为
3、多少解：作N关于AB的对称点N，连接MN，NN， ON，OM，ON，N关于AB的对称点N， MN与AB的交点P即为PMN 周长最小时的点，N是弧MB的中点， ANOBMON20，MON60， MON为等边三角形，MNOM4, PMN周长的最小值为4156(2015永州模拟)如图，已知抛物线yax2bxc经过A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求PBC周长的最小值解：(1)把A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入yax2bxc中，解得即抛物线的解析式是yx22x3(2
4、)如图，PBC的周长PBPCBC，BC是定值，当PBPC最小时，PBC的周长最小A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求，APBP，PBC的最小周长PBPCBCACBC，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3，BC，PBC的最小周长37小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得APBP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B，(b)连接AB与直线m交于点P，则点P为所求请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图2，在等边ABC中，
5、AB2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得BPPE的值最小，并求出最小值；(2)如图3，在矩形ABCD中，AB4，BC6，G为边AD上的中点，若E，F为AB边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值解：(1)如图2，作点E 关于AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边ABC中， AB2，点E是AB 的中点，AD是高，F是AC的中点，BFAC于点F, BPPE的
6、最小值BF(2)如图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF1，连接CF，则E，F为所求，AB4，BC6, G为边AD上的中点，DGGAAM3，AEDH，MAEMDH，AE1，在RtGAE，RtCBF，RtCDG中，分别由勾股定理解得，GE，CF2，CG5, 四边形GEFC的周长的最小值GEEFFCCG125 63 8(2015大庆)如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点PCM是以CM为底的等腰三角形(1)求点P的坐标；(2)当a为多少时，四
7、边形PMEF周长最小. 解：(1)yx24x5与y轴交于点C，点C的坐标为(0，5)又M(0，1)，PCM是以点P为顶点的等腰三角形，点P的纵坐标为3，令yx24x53，解得x2，点P在第一象限，P(2，3)(2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要MEPF最小，则PMEF的周长将取得最小值， 将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，1)，连接PM2，与x轴交于F点，此时MEPFPM2最小，设直线PM2的解析式为ymxn，将P(2，3)，M2(1，1)代入得：，解得：，yx，当y0时，解得x.F(，0)，F(a1，0)，a，a时，四边形PMEF周长最小