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1、典型高考数学试题解读与变式2018版 考点 40 圆锥曲线中的范围与最值问题 【考纲要求】 应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系会判断已知直线与曲线的位置关系(或 交点个数 )，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值 【命题规律】 圆锥曲线中的范围与最值问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大. 【典型高考试题变式】 （一）离心率的范围 例 1.【2017 课标卷】若1a，则双曲线 2 2 2 1 x y a 的离心率的取值范围是（） A. (2,) B. ( 2,2) C. (1, 2)D. (1,2) 【答案】 C 【解析】由题意 22 2 222
2、 11 1 ca e aaa ，因为1a，所以 2 1 112 a ，则1 2e ，故选 C. 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 , ,a b c的方程或不 等式，再根据 , ,a b c的关系消掉b得到 ,a c 的关系式，而建立关于 , ,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆 和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 【变式 1】 【 2016 湖南长沙市月考】设 12 ,F F是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的两个焦点，P在双曲 线上，若 1212 0,| | 2PF PFPFPFac(c为半焦距 )，则双曲线的离心率为（）
3、 A 31 2 B 31 2 C 2 D 51 2 【答案】 D 【解析】由题意得， 12 PF F是直角三角形，由勾股定理得 2 2222 121212 |244|2|cPFPFPFPFPFPFaac， 22 0caca， 2 10ee，1e， 51 2 e故选 D 【变式 2】已知椭圆 x2 a2 y 2 b 21( ab0) 的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使 a sin PF1F2 c sin PF2F1 ，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A (0，21) B.)1 , 2 2 (C.) 2 2 ,0(D(21,1) 【答案】 D 【解析】根据正弦定
4、理得 |PF2| sin PF1F2 |PF1| sin PF2F1， 所以由 a sin PF1F2 c sin PF2F1 可得 a |PF2| c |PF1| ，即 |PF1| |PF2| c ae ， 所以 |PF1|e|PF2|，又 |PF1|PF2|e|PF2|PF2| |PF2| (e1) 2a，则 |PF2| 2a e 1， 因为acb0) 的离心率为 2 2 , 椭圆C截直线y=1 所得线段的长度为2 2. （1）求椭圆C的方程； （2）动直线l:y=kx+m(m 0) 交椭圆C于A,B两点 ,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点 ,N的 半径 为|NO|. 设D为AB的中点
5、 ,DE,DF与N分别相切于点E,F,求EDF的最小值 . 【解析】（1）由椭圆的离心率为 2 2 ，得 222 2()aab， 又当1y时， 2 22 2 a xa b ，得 2 2 2 2 a a b ， 所以 22 4,2ab，因此椭圆方程为 22 1 42 xy . （2）设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，联立方程 22 24 ykxm xy ， 得 222 (21)4240kxkmxm， 由0得 22 42mk .（ *） 且 122 4 21 km xx k ，因此 122 2 21 m yy k ， 所以 22 2 (,) 21 21 kmm D kk ， 又(0
6、,)Nm，所以 2 22 22 2 ()() 2121 kmm NDm kk ，整理得 224 2 22 4(1 3) (21) mkk ND k ， 因为NFm，所以 2 422 22222 4(31)83 1 (21)(21) ND kkk kk NF . 令 2 83,3tkt，故 2 1 21 4 t k， 所以 2 22 1616 11 1 (1) 2 ND t t NF t t . 令 1 yt t ，所以 2 1 1y t . 当3t时，0y,从而 1 yt t 在3,)上单调递增， 因此 110 3 t t ，等号当且仅当3t时成立，此时0k， 所以 2 2 134 ND NF
7、 ，由（ *）得22m且0m.故 1 2 NF ND ， 设2EDF，则 1 sin 2 NF ND ，所以的最小值为 6 ， 从而EDF的最小值为 3 ，此时直线l的斜率是0. 综上所述：当0k，(2,0)(0,2)m时，EDF取到最小值 3 . 【数学思想】 数形结合思想 分类讨论思想 转化与化归思想. 【温馨提示】 对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化的原因，谁是自变量，定义域是什 么，这实际是函数问题，要学会用函数的观点分析这类问题. 【典例试题演练】 1. 已知双曲线 x2 a2 y2 b 21 与直线 y 2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A (1
8、，5) B(1，5 C(5，) D5，) 【答案】 C 【解析】双曲线的一条渐近线方程为y b ax，则由题意得 b a 2， e c a 1 b a 2 145. 2.【2016 新高考调研卷】已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的中心为 O，右焦点为 F、右顶点为 A，直线 2 a x c 与x轴的交点为K，则 | | FA OK 的最大值为（） A 1 2 B 1 3 C 1 4 D1 【答案】 C 【解析】 2 22 22 |111 () |244 FAacacc eee OKaa c .故选 C. 3.【2016 湖南长沙市模拟】抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F
9、，已知点,A B为抛物线上的两个动 点，且 满足 0 120AFB. 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 | | MN AB 的最大值为 ( ) A 3 3 B1 C 2 3 3 D2 【答案】 A 【解析】设,AFa BFb，由余弦定理得 22 2222 2cos120ABabababababab 2 2 2 ab ab 23 4 ab， 2233 2 43 MN abAFBFMNABMN AB . 4.【2016 洛阳市模拟】已知点P在双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右支上， 12 ,F F分别为双曲线的 左、右焦点，若 22 2 12 12PF
10、PFa，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A3,)B(2, 4C(2,3D(1,3 【答案】 D 【解析】因为 12 | 2PFPFa，所以 1212 | 6 ,| 4 ,|2PFPFa PFa PFa， 又 2 |PFac，所以213aace，选 D. 5.【2016 湖南省郴州市检测】已知椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,点A是椭 圆M与圆 2 224 :22 9 C xybm在第一象限的交点, 且点A到 2 F的距离等于 1 3 m.若椭圆M上一动 点到点 1 F与到点C的距离之差的最大值为2am,则椭圆M的离心率为（） A 1 3 B
11、 1 2 C 2 2 D 3 2 【答案】 B 【解析】设点P为椭圆M上的动点，则 122 | 2| 2(|)PFPCaPFPCaPFPC 当 2 , ,C P F三点共线时， 1 |PFPC取得最大值2am，此时 2 |CFm 又 2 |CAAFm，所以点A是线段 2 CF上靠近 2 F的一个三等分点，所以 22 2 (,) 33 Acb， 代入椭圆方程，得 22 22 222 ()() 33 1 cb ab ，即 2 2 48 1 99 c a ，解得 1 2 c a ，即 1 2 e，故选 B 6. 设函数 32 1yxxx在点1,4M处的切线为l，双曲线 22 1 82 xy 的两条渐
12、近线与l围成的封闭 图形的区域为P（包括边界） ，点A为区域P内的任一点，已知B4,5，O为坐标原点，则OA OB的最 大值为（） A 23 12 B3 C2 D 26 11 【答案】 D 【解析】因为 2 321yxx，所以 46(1),620lyxxy：； 双曲线 22 1 82 xy 的两条渐近线为 2 x y ，交点为 4242 M(,), N(,) 11 111313 ， OA OB的最大值为向量OA在向量OB方向上的投影最大， 此时为 4226 4+5. 111111 OM OB选 D. 7.【2016 湖南六校联考】已知,A B分别为椭圆 22 22 :1(0) xy Cab a
13、b 的左、右顶点，不同两点,P Q 在 椭圆C上，且关于 x轴对称，设直线,AP BQ的斜率分别为 ,m n，则当 21 lnln 2 ba mn abmn 取最 小值时，椭圆C的离心率为（） A 3 3 B 2 3 C 1 2 D 2 2 【答案】 D 【解析】设点 00 (,)P x y则 22 00 22 1 xy ab ， 2 2 b mn a ， 从而 21 lnln 2 ba mn abmn 22 22 2 ln 2 baab abba ， 设 2 2 b x a ，令 1 ( )ln(01) 2 f xxx x ，则 max2 211 ( ),( )( ) 22 x f xfxf
14、 x 即 2 2 1 2 b a ， 2 2 2 ba ab ， 当且仅当 2ba ab 即 2 2 1 2 b a 取等号，取等号的条件一致，此时 2 2 2 1 1 2 b e a ， 2 2 e故选 D 8. 已知点M(3,2) 是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则 |MQ|QF|的最小值是 _ 【答案】 5 2 【解析】抛物线的准线方程为x 1 2，当 MQx轴时， |MQ|QF|取得最小值， 此时点Q的纵坐标y2，代入抛物线方程y 22x 得Q的横坐标x2， 则|QM| |QF|23|2 1 2 5 2 . 9.【20117广西柳州市模拟】设双
15、曲线 22 1 96 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过 1 F的直线l交双曲线左 支于A、B两点，则 22 |AFBF的最小值等于 【答案】 16 【解析】 2 2211 22 6 |2| 2|4| 44316 3 b AFBFaAFaBFaABa a . 10. 【2016 河南省豫北重点中学联考】已知直线2830mxym和圆 22 (3)(6)25xy相交于 ,A B两点，当弦AB最短时，m的值为 . 【答案】 1 6 【解析】2830mxym化为2430m xy，故直线过定点4, 3M， 这个点在圆内.圆心为 3, 6O ，3 OM k，故当弦AB最短时，直线的斜率为 1
16、3 ， 即 11 2, 36 mm. 11. 【2016 安徽合肥质检】存在实数，使得圆面 22 4xy恰好覆盖函数sin()yx k 图象的最 高点或最低点共三个，则正数k的取值范围是 _ 【答案】 3 (, 3 2 【解析】由题意，知函数sin()yx k 图象的最高点或最低一定在直线1y上， 则由 22 1 4 y xy ，得33x又由题意，得 2 2Tk k ，2 32TT， 解得正数k的取值范围为 3 (,3 2 12.【2016 浙江省效实中学期中】已知 12 FF、分别是双曲线 22 22 1 xy ab 的左、 右焦点， 过 2 F且垂直于x轴 的直线与双曲线交于AB、两点，若
17、 1 ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是 【答案】(1, 21) 【解析】在双曲线 22 22 1 xy ab 中，当cx时, 2 a b y所以 A,B 两点的纵坐标分别为, 2 a b , 2 a b 因为 2 ABF是锐角三角形，所以， 4 12F AF,1 4 tan 2 tan 2 12 c a b FAF，所以1 2 22 ac ac 所以, 012, 02 222 eeaacc解得2121e， 又因为1e，所以e(1, 21). 13.【2017 广东佛山市检测】已知双曲线 22 22 :10 xy Cba ab 的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直 线l过点F交
18、双曲线C的右支于A，B两点，使0OA OB，则双曲线离心率的取值范围是 【答案】 15 3 2 e 【解析】设 1122 (,),(,)A x yB xy，直线l的方程为xmyc (0) a m b ， 联立双曲线方程，消去x，得 22222 ()2b mayb mcy 4 0b， 所以 2 12222 2b mc yy b ma ， 4 12222 b y y b ma 因为OA OB 1212 0x xy y，即 22 121212 ()0m y ymc yycy y， 代入整理，得 42222222 2b mb m cc b m 224 0a cb， 4222 2 2242 0 ba c
19、a m b cbb 由 422 0ba b，得 22 22 2 ()0caac， 即 42 24 30ca ca， 42 310ee，解得 15 2 e； 由 4222 2242 ba ca b cbb ，得 4422 0baa c，即 222422 ()0caaa c， 422 30ca c， 所以3 c a 综上所述， 15 ,3) 2 e 14. 【2017 河北唐山市期末】已知抛物线 2 :20C xpy p，圆 22 :1O xy. （1）若抛物线C的焦点F在圆上，且A为C和圆O的一个交点，求 AF ； （2）若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点,M N，求MN的最小值及相应p的值
20、【解析】（1）由题意得F(1，0)，从而有C：x24y 解方程组 x24y， x2y21 ，得yA52，所以 |AF|51 （2）设M(x0，y0)，则切线l：y x0 p (xx0)y0， 整理得x0xpypy00 由|ON|1 得 |py0|x2 0p 2 2py0p2， 所以p 2y0 y2 01 且y 2 0 10， 所以 |MN|2|OM|2 1x20y 2 01 2py0y 2 01 4y 2 0 y201 y2014 4 y201 (y 2 01) 8， 当且仅当y03时等号成立， 所以 |MN|的最小值为22，此时p3 15.【2017 四川凉山州检测】设椭圆E： 22 22
21、1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，E上一点P到右焦点距离 的最小值为1 （1）求椭圆E的方程； （2）过点(0,2)的直线交椭圆E于不同的两点A，B，求OA OB的取值范围 【解析】（1）由题意得 1 2 c a ，且1ac，2a，1c， 故 222 3bac， 椭圆的方程为 22 1 43 xy （2）当k不存在时，(0,3)A，(0, 3)B， (0,3) (0, 3)3OA OB； 当k存在时，设直线方程为2ykx，则有 22 2, 1, 43 ykx xy 整理得 22 (34)1640kxkx， 122 16 34 k xx k ， 122 4 34 x x k ， （i） 又 12121212 (2)(2)OA OBx xy yx xkxkx 2 1212 (1)2 ()4kx xk xx 2 22 1322424 14 3434 k kk 2 25 3 34k ， （ii） 22 25616(43)0kk，从而 21 4 k， （iii ） （iii ）代入（ ii ）中 2513 3 314 OA OB， 13 (, 4 OA OB