湖北省2013届高三高考预测金卷数学文试题.pdf

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1、湖北省 2013 届高三高考预测金卷数学文试题 本试卷共 22 题，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1.设全集 2 ,21 ,ln 1 x x UAxBx yxR ，则如图所示阴影部分表 示的集合为（） .1Ax x.12Bxx.01Cxx.1Dx x 2.下列四个命题中真命题的个数是（） “ 1x ”是“ 2 320xx ”的充分不必要条件； 命题“ 2 ,0xxxR ”的否定是“ 2 ,0xxxR ” ； “若 22 ambm ，则 ab”的逆命题为真； 命题

2、 :0,1 ,21 x px ，命题 2 :,10qxxxR ，则 pq 为真 . .0A.1B.2C.3D 3.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5 次数学测试的成绩，如图所示 . 他 们 在 分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平 均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为（） .9A.6B.3C.0D 4.已知函数 ln1x fxex x （其中 e为自然对数的底数） ，则函数 1yfx 的大致图象为 （） 5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 x值是（ ） - 2 - .3A.4B.6C.8D 6.已知变量 ,x y 满足 240, 2, 20, xy

3、x xy 则 3 2 xy x 的取值范围是（） 5 .2 , 2 A 5 5 ., 4 2 B 4 5 ., 5 2 C 5 .,2 4 D 7.如图，正五边形 ABCDE 的边长为2，甲同学在 ABC 中用余弦定理解得 88cos108AC ，乙同学在 Rt ACH 中解得 1 cos72 AC ，据此可得 cos72 的值所在区间为（） . 0. 1, 0. 2A. 0. 2 , 0. 3B. 0. 3, 0. 4C. 0.4,0.5D 8.如图，矩形 ABCD 中，点E为边CD的中点， 点F为边 AD 的中点， AE和 BF 相交于点 O ， 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q

4、， 则点 Q 取 自 ABO 内部的概率等于（） 1 . 10 A 1 . 8 B 1 . 5 C 1 . 4 D 9.已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 右支上的一点 00 ,P xy 到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且 到两渐近线的距离之积为 16 5 ，则双曲线的离心率为（） 5 . 2 A 5 . 2 B 6 . 2 C 5 . 4 D 10. 在 ABC 中 ， 1 6 ,7 , c o s 5 A CB CA ， O 是 ABC 的 内 心 ， 若 OPxOAyOB , 其 中 01, 01xy ，动点 P的轨迹所覆盖的面积为（ ） 1 06 . 3 A 5 6

5、. 3 B 10 . 3 C 20 . 3 D 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，共 35 分请将答案填在题中横线上 - 3 - 11. 已 知 复 数 12 1,1zi zbi （ i 是 虚 数 单 位 ）， 若 1 2 z z 为 纯 虚 数 ， 则 实 数 b 的 值 是 _. 12. 已知函数 x exF满足xhxgxF，且xg，xh分别是R上的偶函数和奇函数，若 2, 1x使得不等式02xahxg恒成立，则实数a的取值范围是 13.已知直线 1:4 360lxy 和直线 2 :0lx ， 抛物线 2 4yx 上 一 动 点 P 到直线 1 l 和直线 2 l 的距离之和的

6、最小值是_. 14.如图为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形，侧视图是 半径为1 的半圆，则该几何体的表面积是_. （第 13 题图） 15.记 123 kkk k S k n ，当 1,2,3,k , 时，观察下列等式： （第 14 题图） 2 1 32 2 432 3 543 4 6542 5 11 , 22 111 , 326 111 , 424 1111 , 52330 15 , 212 Snn Snnn Snnn Snnnn SAnnnBn , 可以推测AB _. 16.已知不等式 2342xxa . （1）若 1a ，则不等式的解集为_; （2）若不等式的解集不是

7、空集，则实数 a的取值范围为 _. 17.已知函数 1, 0, x fx xCR Q Q 则 （1） ffx _; （2）下列三个命题中，所有真命题的序号是_. 函数 fx 是偶函数； - 4 - 任取一个不为零的有理数 T , fxTfx 对任意的 xR恒成立； 存在三个点 112233 ,A xfxB xfxC xfx ，使得 ABC 为等边三角形. 三、解答题：本大题共5 小题，共65 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.（本小题满分12 分） 已知 cossin ,2cos,cossin ,sinmxxxnxxx . （ 1）求 fxm n 的最小正周期和单调递减区间； （

8、 2）将函数 yfx 的图象向右平移 8 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 yg x 的 图 象 . 在 ABC 中 ， 角 ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 若 2 0,2 22 A fg Bb ，求 a的值 . 19. （本小题满分12 分） 已知等差数列 n a 的公差 d 大于 0，且 35 ,a a 是方程 2 14450xx 的两根，数列 n b 的前n项和 为 1 , 2 n nn b SSnN . （1）求数列 , nn ab 的通项公式； （2）记 nnn cab ，求证： 1nn cc

9、； （3）求数列 n c 的前n项和 n T . 20. （本小题满分13 分） 如图， 1 AA 、 1 BB 为圆柱 1 OO 的母线， BC 是底面圆 O的直径， D、E分别是 1 AA 、 1 CB 的中点， 1 DECBB平面 . （1）证明： / /DEABC平面 ； （2）求四棱锥 11 CABB A 与圆柱 1 OO 的体积比； （3）若 1 BBBC ，求直线 1 CA 与平面 1 BBC 所成角的正弦值. 21. （本小题满分14 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，离心率 2 2 e ，且其中一个焦点与抛物线 21 4 yx 的焦点重合 . - 5 - （1）求椭圆 C

10、 的方程； （ 2）过点 1 ,0 3 S 的动直线 l 交椭圆 C 于 ,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得 无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由. 22. （本小题满分14 分） 已知函数 2 2lnfxxx . （1）求函数 fx 的最大值； （2）若函数 fx 与 a g xx x 有相同极值点， 求实数 a的值； 若对于 12 1 ,3x x e （e为自然对数的底数） ，不等式 12 1 1 fxg x k恒成立，求实数k的取 值范围 . 2013 湖北省高考预测卷文科数学答案 1. B 【

11、解析】：对于 2 21 x x ，等价于20x x，解得02x，所以0,2A集合B表示函数 ln 1yx 的定义域，由10x，得1x，故,1 ,1,BC B R ，则阴影部分表示 1,2AC B R . 故选B. 2.D 【解析】： 命题中， 1x x是不等式 2 320xx的解集12x xx或的真子集， “1x” 是“ 2 320xx”的充分不必要条件，正确 . 命题显然正确 . 命题中，当0m时， 其逆命题不成立，故错 . 命题中，p为真，q为假，所以pq为真，故正确 . 综上所述， 真命题的个数为 3. 故选D. - 6 - 3. D 【解析】：本题考查茎叶图、平均数 . 甲的平均分为

12、99100101102103 101 5 ，设看不清楚 的数字为x，则乙的平均分为 939497110110+ 101 5 x ，解得1x，因为0x，xN， 所以0x，看不清楚的数字为0. 故选D. 4.A 【解析】据已知关系式可得 ln ln 1 01 , 11 1 , x x exxx x fx exx xx 作出其图象，再将所得图象向 左平移 1 个单位即得函数1gfx的图象 . 故选A. 5. D 【解析】：第一次循环结束时，4,2Sk；第二次循环结束时，22,3Sk；第三次循环结 束时，103,4Sk，此时103100，不满足100S，则输出8x. 故选D. 6.B 【解析】：根据题

13、意作出不等式组所表示的可行域如 图 阴 影部分所示，即 ABC的边界及其内部，又因为 31 1 22 xyy xx ，而 1 2 y x 表示可行域内一点, x y 和 点2, 1P连 线 的 斜 率 ， 由 图 可 知 1 2 PBPC y kk x ，根据原不等式组解得2,0 ,0,2BC,所以 01121113 22202422 yy xx 535 422 xy x . 故选B. 7.C 【解析】：因为 1 88cos108 cos72 ，令cos72t，则 1 88t t ，所以 32 8810tt. 令 32 881f ttt，则当0t时， 2 24160fttt，所以 32 881

14、f ttt在 0,上单 调递增 . 又因为0.30.40ff，所以 32 881f ttt在 0.3,0.4 上有唯一零点，所以 cos 72的值所在区间为0.3,0.4 . 故选C. 8. C 【解析】：设矩形ABCD的长ABx，宽BCy，涉及相 关 图 形的 面积问题，那么矩形 ABCD的面积为 ABCD Sxy 矩形 . 如图所 示 ，过 - 7 - O点作OG/AB交AD于点G，则有 OGAG DEAD , 即 1 2 OGAG y x ， 亦即 2 OGAG xy . 又 OGFG ABFA , 即 1 2 1 2 yAG OG x y ， 可 得 1 2 1 2 2 yA G AG

15、 y y ， 解 得 2 5 A Gy. 那 么ABO的 面 积 为 121 255 ABO Sxyxy. 由几何概型的概率公式，得所求的概率为 1 1 5 5 ABO ABCD xy S P Sxy 矩形 . 故选C. 9. A 【解析】： 因为双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 右支上的一点 00 ,P xy 0 xa 到左焦点的距离与 到右焦点的距离之差为8，所以28,4aa，又因为点 00 ,P xy 0 xa 到两条渐近线的距离 之积为 16 5 ，双曲线的两渐近线方程分别为0 xy ab 和0 xy ab ，所以根据距离公式得 22 00 0000 22 2222 22

16、22 1 1111 1111 xy xyxy ab abab abab abab 2 22 22 16 5 a bab abc ，所以 4 5 ab c ，即 5 5 c b， 又因为 2 222 16 5 c cab，所以2 5c，离心率 5 2 c e a . 故选A. 10. A 【解析】：根据向量加法的平行四边形法则得动点P的轨迹是以,OA OB为邻边的平行四边形， 其面积为 AOB的面积的 2 倍. 在ABC中，由余弦定理可得 222 2cosabcbcA， 代入数据 解得 5c ，设 ABC的内切圆的半径为r，则 11 sin 22 bcAabc r，解得 2 6 3 r，所以 1

17、1265 6 5 2233 AOB SABr，故动点P的轨迹所覆盖的面积为 106 2 3 AOB S. 故选 A. 二、填空题 11.1 - 8 - 【解析】： 1 2 2 1111 1 1111 ibibb i zi zbibibib ， 因为 1 2 z z 为纯虚数，则1 0b 且1 0b ， 解得1b. 12. 22a. 【解析】： x exhxgxF，得 x exhxgxF， 即 x exhxgxF， 解 得 2 xx ee xg， 2 xx ee xh，02xahxg即 得 0 22 22xxxx ee a ee ， 参 数 分 离 得 xx xx xx xx xx xx ee

18、ee ee ee ee ee a 22 2 22 ， 因 为 22 2 xx xx ee ee （当且仅当 xx xx ee ee 2 ，即2 xx ee时取等号，x的解满足2, 1） ， 所以22a. 13.1 【解析】：如图所示，作抛物线 2 4yx的准线1x，延长PE交 准 线于点N，由抛物线的定义可得 11PMPEPMPNPMPF1 F d（ F d 表示焦点F到 直线 1 l 的距离） 2 2 406 1211 43 . 14. 22 3 【解析】：由三视图知，该几何体由两个共底面的半圆锥构成（如图所示），两个半圆锥侧面积 的和为2，四边形ABCD由两个等边三角形构成，其面积为 3

19、242 3 4 ，故该几何体的 表面积为 22 3 . 15. 1 4 【解析】：本题考查归纳推理问题 . 根据各式的规律，显然 1 6 A. 令1n，则 5 5 11S，代入 得 5 1151 1 621212 SBB，所以 111 6124 AB . 16. （1） 8 4 3 xx（2） 1 , 2 - 9 - 【解析】： （1）当1a时， 2342xx. 若4x，则3102,4xx，舍去；若 34x，则22x，34x；若3x，则 8 1032,3 3 xx. 综上，不等式的解 集为 8 4 3 xx. （ 2 ） 设234fxxx， 则 31 04, 234,1 1 033, xx f

20、xxxfx x x ， 若 不 等 式 2342xxa 的解集不是空集，则 1 21, 2 aa，即a的取值范围为 1 , 2 . 17. （1）1（2） 【解析】：（1） 依题意可知，当xQ时，11ffxf； 当 x CQ R 时，01ffxf. 因此 1ffx. （2）对于，当xQ时，xQ，此时1fxfx ；当 xC Q R 时，xC Q R ，此时 0fxfx ，因此对任意的xR，都有 fxfx ，所以函数 fx 是偶函数，正 确. 对于，任取一个不为零的有理数T，当xQ时，xTQ,1fxTfx ；当 xC Q R 时，,0xTC Q fxTfx R ，因此对任意的xR，都有 fxTfx

21、 ， 正确 . 对于，取点 33 0,1 ,0,0 33 ABC，易知点,A B C均在函数 fx 的图象上， 且ABC是等边三角形，正确 . 综上所述，所有真命题的序号是. 三、解答题 18. （1） cossincossin2sincosfxm nxxxxxx 22 cossinsin 2xxxcos2sin 2xx 3 2sin22 sin 2 44 xx. 所以 fx的最小正周期T. （3 分） 又由 33 222 242 kxkkZ， 得 3 88 kxkkZ， 故fx的单调递减区间是 3 , 88 kkkZ. （6 分） - 10 - （2）由0 2 A f ，得 3 2 sin0

22、 4 A ，所以 3 4 AkkZ，因为0A，所以 4 A，将函数yfx 的图象向右平移 8 个单位，得到 3 2sin 22sin 22cos2 842 yxxx 的图象， 再将所得图象上各点的横坐标 伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数2 cosyg xx的图象，因为 2 2 g B，所 以 2 2 cos 2 B，即 1 cos 2 B，又0B，所以 3 B，由正弦定理 sinsin ab AB ，得 2sin sin2 6 4 sin3 sin 3 bA a B . （12 分） 19.（1） 因为 35 ,a a 是方程 2 14450xx的两根，且数列 n a的公差0d， 所

23、以 35 5,9aa， 公差 53 2 53 aa d. 所以 5 521 n aandn. （2 分） 又当1n时，有 1 11 1 2 b bS，所以 1 1 3 b. 当 2n 时，有 11 1 2 nnnnn bSSbb，所以 1 1 2 3 n n b n b . 所以数列 n b是首项为 1 3 ，公比为 1 3 的等比数列， 所以 1 111 333 n nn b . （4 分） （2）由（ 1）知 1 1 2121 , 33 nnnn nn nn cabc， 所以 111 4 12121 0 333 nnnnn nnn cc， 所以 1nn cc . （8 分） （3）因为 2

24、1 3 nnn n n cab， 则 123 135 333 n T 21 3 n n ， 234 1135 3333 n T 1 2321 33 nn nn ， - 11 - 由- ，得 23 2122 3333 n T 1 221 33 nn n 231 1 3 11121 2 3333 nn n ， 整理，得 1 1 3 nn n T. （12 分） 20. （1）如图，连接.EOAOOE、分别为 1 CBBC、的中点，EO是 1 BBC 的中位线， 1 / /EOBB 且1 1 2 EOBB. 又 111 / /,DABB AABB , 故 1 1 , 2 DABBEODA/EO且DA

25、EO， 四边形AOED是平行四边形，即/ /DEOA, 又,/ /DEABC OAABCDEABC平面平面平面. （4 分） （2）如图，连接 CA. 由题知 1 DECBB平面, 且由（ 1）知/ /DEOA， 1, AOCBBAOBC平面, 2ACABOA. BC是 底 面 圆O的 直 径 ，C AA B. 又 1 AA 是 圆 柱 的 母 线 ， 1 AAABC平面， 11 ,AACAAAABA又, 11 CAAAB B平面, 即CA为四棱锥 11 CABBA 的高. （7 分） 设圆柱高为 h, 底面半径为r，则 11 22 12 =,22 33 CABB A Vr h Vhrrhr

26、圆柱 ， 11 2 2 2 2 3 : 3 CABB A hr VV r h 圆柱 . （9 分） （3） 如图， 作过C的母线 1 CC , 连接 11 B C , 则 11 BC 是上底面圆 1 O 的直径， 连接 11 AO , 则 11/ / AOAO, 又 111111 ,AOCBBCAOCBBC平面平面, 连接 1 CO , 则 11 ACO 为直线 1 CA 与平面 1 BBC 所成的 角. （11 分） 2 2 22 1111 226 ,ACACAArrr AOr， 在 11 Rt AO C 中， 11 11 1 6 sin 6 AO ACO AC . 直线 1 CA 与平面

27、1 BBC 所成角的正弦值为 6 6 . （13 分） 21. （1）依题意可设椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ba ， - 12 - 离心率 22 , 22 c e a ， 又抛物线 21 4 yx的焦点为0,1 ， 所以1,2,1cab， 椭圆 C的方程是 2 2 1 2 y x. （5分） （2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是 22 1xy，若直线l垂直于x轴，则以AB为 直径的圆是 2 2 116 39 xy . 由 22 2 2 1, 116 , 39 xy xy 解得 1, 0. x y 即两圆相切于点1,0 . 因此所求的点 T如果存在，只能是1,0 . （

28、7 分） 事实上，点1,0T就是所求的点 . 证明如下： 当直线l垂直于 x轴时，以AB为直径的圆过点1,0T. 当直线l不垂直于x轴时，可设直线 1 : 3 lykx. 由 2 2 1 , 3 1, 2 ykx y x 消去 y得 222221 220 39 kxk xk. 设 1122,A x yB xy ，则 2 12 2 2 12 2 2 3 , 2 1 2 9 . 2 k xx k k x x k （10 分） 又因为 1122 1,1,TAxyTBxy， 1212 11TA TBxxy y - 13 - 2 1212 222 1212 22 222 22 11 11 33 11 1

29、11 39 12 2 11 93 111 2329 0, xxkxx kx xkxxk kk kkk kk TATB, 即以AB为直径的圆恒过点1,0T. 故在坐标平面上存在一个定点1,0T满足条件 . （14分） 22. （1） 211 2 20 xx fxxx xx ，（1 分） 由 0, 0 fx x 得01x；由 0, 0 fx x 得1x. fx 在 0,1 上为增函数，在1,上为减函数 . （3 分） 函数 fx 的最大值为 11f. （4 分） （2） 2 ,1 aa g xxgx xx . 由（ 1）知，1x是函数 fx 的极值点， 又函数 fx 与 a g xx x 有相同极

30、值点， 1x 是函数 g x 的极值点， 110ga，解得1a. （7 分） 经验证，当1a时，函数 g x 在1x时取到极小值，符合题意 . （8分） 2 11 2,11,392ln 3fff ee ， 易知 2 1 92ln 321 e ，即 1 31fff e . 111 minmax 1 ,3 ,392ln 3,11xfxffxf e . （9 分） 由知 2 11 ,1g xxgx xx . - 14 - 当 1 ,1x e 时，0gx；当1,3x时，0gx. 故 g x 在 1 ,1 e 上为减函数，在1,3 上为增函数 . 11110 ,12,33 33 gegg ee ， 而

31、1101 2,13 3 eggg ee . 222 minmax 110 ,3 ,12,3 3 xg xgg xg e . （10 分） 1当 10k， 即1k时 ， 对 于 12 1 ,3x x e ， 不 等 式 12 1 1 fxg x k 恒 成 立 12 max 1kfxg x 12 max 1kfxg x. 1211123fxg xfg ， 3 12,1,1kkk又. （12 分） 2当 10k， 即1k时 ， 对 于 12 1 ,3x x e ， 不 等 式 12 1 1 fxg x k 恒 成 立 12 min 1kfxg x 12 min 1kfxg x . 12 1037 3392ln 32ln 3 33 fxg xfg， 3434 2ln 3,1,2ln 3 33 kkk又. 综上，所求实数 k的取值范围为 34 ,2ln 31, 3 . （14 分）