湖北省2013届高三高考押题数学理试题.pdf

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1、- 1 - 湖北省 2013 届高三高考预测金卷数学理试题 本试卷共 22 题，其中第 15、16 题为选考题 .满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 . 1集合 3 x MyyR ， 1,0,1N ，则下列结论正确的是（） A0,1MNB(0,)MN C() (,0)C MN R D () 1, 0C MN R 2下列命题错误的是（） A命题“若 22 0xy ，则 0xy ”的逆否命题为“若 ,x y 中至少有一个不为0，则 22 0xy ” B若命题 p ： 2 00

2、0 ,10xxxR ，则 p ： 2 ,10xxxR C ABC 中， sinsinAB是A B的充要条件 D若 pq 为假命题，则 p 、 q 均为假命题 3甲、乙两名运动员在某项测试中的6 次成绩如茎叶图所示， 12 ,xx 分别表示甲乙两名运动员这项测试成 绩的平均数， 12 ,ss 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（） A 12 xx ， 12 ss B 12 xx ， 12 ss C 12 xx ， 12 ss D 12 xx ， 12 ss 4设实数 12 ,x aay 成等差数列，实数 12 ,x bby 成等比数列，则 2 12 12 ()aa bb 的取值范围

3、是( ) A 4,) B (,04,) C 0, 4 D (, 4)(4,) 5函数 ( )3sin() (0)f xx 的部分图象如图所示，若 2 AB BCAB ，则等于 ( ) - 2 - A 6 B 4 C 3 D 12 6如图，设 D是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域， E是D内位于函数 1 (0)yx x 图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点 M取自E内的概率为（） A ln 2 2 B 1ln 2 2 C 1ln 2 2 D 2ln 2 2 7过抛物线 2 2(0)ypx p 的焦点 F ，斜率为 4 3 的直线交抛物线于 ,A B 两点，若 (1)AFF

4、B ， 则的值为（） A4 B5 C 4 3 D 5 2 8已知直角三角形ABC，其三边分为a,b,c,（abc） 。分别以三角形的a 边， b 边， c 边所在直线为轴，其 余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为S1，S2， S3和 V1,V2,V3.则它们的 关系为( ) A.S1S2S3, V 1V2 V3 B.S1S2S3, V 1=V2 =V3 D. S 1S2 S3, V 1 =V2=V3 9若双曲线 222 (0)xyaa 的左、右顶点分别为 ,AB ，点 P是第一象限内双曲线上的点若直线 ,PA PB 的倾斜角分别为 , ，且 (1)kk ，那么的值是（）

5、 A 21k B 2k C 21k D 22k 10已知 ( )f x 是定义在 , a b 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件： ( )f x 的值域为 G ，且 , Ga b ；对任意不同的 , , x ya b ，都有 ( )( )f xf yxy 那么，关于 x的方程 ( )fxx 在 , a b 上根的情况是（） A没有实数根B有且只有一个实数根 C恰有两个不同的实数根D 有无数个不同的实数根 二、填空题： 本大题共6 小题，考生共需作答5 小题，每小题 5 分，共 25 分 请将答案填在题中横线上答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分. - 3 - （一）必考题（

6、1114 题） 11已知复数 1 2 z i （ i为虚数单位） ，则复数 2 1 z z 的共轭复数的虚部为_ 12已知 b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 6 1 ()bx x 的展 开式中的常数项是_ （用数字作答） 13下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 _ 14由曲线 22 2| 2|xyxy 围成的图形的面积为_。 （二）选考题（请考生在第15、 16 两题中任选一题作答.如果全选，则按第15 题作答结果计分） 15 （选修 41：几何证明选讲） 如图， ABC 内接于圆 O ， ABAC ，直线 MN 切圆 O 于点 C ， BEMN 交 AC

7、 于 点E 若 6AB ， 4BC ， 则 AE 的 长 为 _ 16 （选修 44：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆 1 C 的方程为 4 2 cos() 4 ，以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立 平面直角坐标系，圆 2 C 的参数方程为 1cos , 1sin xa ya （为参数），若圆 1 C 与圆 2 C 外切，则实数 a _ 三、解答题：本大题共6 小题，共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（本小题满分12 分）已知向量 ( 3sin 21,cos )mxx ， 1 (,cos) 2 nx ， 设函数 ( )1f xm n （1） 求函数 ( )f

8、x 的最小正周期及在区间 0, 2 上的最大值； （2）已知在 ABC 中，内角 ,A B C 的对边分 - 4 - 别为 , ,a b c ，其中 ,A B 为锐角， 8 () 65 f A ， 10 ()1 21210 B f ，又 21ab ，求 , ,a b c 的值 18 （本小题满分12 分）已知等比数列 n a 满足： 231 32aaa ，且 2 3 a 是 42 aa , 的等差中项 （1） 求数列 n a 的通项公式；（2）若 2 1 lo g nn n ba a ， nn bbbS 31 ， 求使 2602 1 nSn n 成 立的正整数 n的最小值 19 （本小题满分1

9、2 分）如图甲，在等腰 ABC 中， ,D E F 分别是 AB ， AC ， BC 边的中点， 120ACB ，现将 ABC 沿CD翻折成直二面角 ADCB ，如图乙 （1）试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由；（ 2）求二面角 EDFC 的余弦值；（3） 在线段 BC上是否存在一点P，使APDE ？证明你的结论 20 （本小题满分12 分）我省某示范性高中为推进新课程改革，满足不同层次学生的要求，决定从高一年 级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导 讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，

10、也可以放弃任何一门科 目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学 科讲座各天的满座概率如下表： （1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； （2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望 图 甲 图 乙 - 5 - 21 （本小题满分13 分）如图，已知 2 (,)M m m 、 2 ( ,)N n n 是抛物线 C： 2 yx 上的两个不同的点，且 22 1mn ， 0mn ， 直 线 l 是 线 段 MN 的 垂 直 平 分 线 设 椭 圆 E 的 方 程 为 22 102 2 (,) xy aa a （1）当

11、M 、 N 在 C 上移动时，求直线 l 的斜率 k 的取值范围； （2）已知直线 l与抛物线C交于A、B两点，与椭圆E交于P、Q两点， 设 线段AB的中点为R，线段 QP 的中点为 S，若0OR OS ，求椭圆E的离心率的取值范围 22（本小题满分14 分）已知函数 1f xaxxa( )ln()R ， 1 ( ) x g xxe （e为自然对数的底数） （1） 求函数 ( )g x 在区间 0( , e 上的值域； （ 2）是否存在实数 a，对任意给定的 0 0( , xe ，在区间 1 , e 上都存在两个不同的 1 2(, ) i xi ，使得 0 ()() i f xg x 成立？若

12、存在，求出 a的取值范围；若不存在，请说明理由； （ 3）给出如下定义：对于函数 ( )yF x 图象上任意不同的两点 1122 (,),(,)A xyB xy ，如果对于函数 ( )yF x 图象上的点 00 (,)M xy （其中 12 0 2 xx x ）总能使得 12012 ()()()()F xF xF xxx 成立， 则称函数具备性质“L” ，试判断函数 ( )f x 是否具备性质“L” ，并说明理由 2013 湖北省高考预测卷理科数学答案 1D 【解析】：由已知条件可得(0,)M，则(,0C M R ， () 1, 0C MN R 故选 D 2D 【解析】：由原命题与逆否命题的关

13、系可知 A 正确；由特称命题的否定可知B正确；由正弦定 理和三角形边角关系可知C正确；若 pq为假命题，则p、q有可能一真一假，未必均为假 命题，由此可知 D 错误故选 D 3C 【解析】：由题意可知 1 1 (91415151621)15 6 x， 2 1 (81315151722)15 6 x； 222 1 1 (915)(14 15) 6 s 2 (15 15) - 6 - 22237 (15 15)(1615)(2115) 3 ， 222 2 1 (815)(13 15) 6 s 2 (15 15) 222 53 (15 15)(1715)(2215) 3 ，则 12 xx ， 12

14、ss 故选 C 4B 【解析】： 由于实数 12 ,x aay成等差数列，则 12 xyaa ； 由于实数 12 ,x bby成等比数列， 则 12 xybb ，所以 2 12 12 ()aa bb 2 ()xy xy 2222 2 22 xyxyxyxy xyxyyx ，利用基本不等 式 易 得 ， 当 , x y 同 号 时 ， 2 12 12 ()aa bb 2224 xy yx ； 当, x y异 号 时 ， 2 12 12 ()aa bb 2220 xy yx 故选 B 5A 【解析】： 2 AB BCAB ， 2 c o sA BB CA B CA B， 2 A B B C， 1

15、c o s 2 ABC， 120ABC 过B作BEx轴， 垂足为E 3BE， 3AE， 12T， 6 故 选 A 6C 【 解 析 】： 将 1 y x 与2y图 象 交 点 记 为A， 则 1 (, 2 ) 2 A， 阴 影 部 分E的 面 积 1 1 2 11 21ln 2 2 Sdx x ，而D的面积为1 22，所求概率 1ln 2 2 P故选 C 7A 【解析】：据题意设 1122 (,),(,)A x yB xy 由 AFFB 1122 (,)(,) 22 pp xyxy，则 1 12 2 y yy y 联立 2 4 (), 32 2, p yx ypx 消去x得 223 0 2 y

16、pyp，则 2 1212 3 , 2 yyp y yp 2 1212 1221 ()9 2 4 yyyy y yyy ， 即 19 2 4 ， 即 2 41 74 0， 解得4或 1 4 （舍 去） 故选 A 8B - 7 - 【解析】： a a bc Vcb a S 2 11 3 1 , bc 2 2 2 2 3 1 ,cbVccaS cbVbbaS 2 3 2 3 3 1 , 则选 B 9D 【解析】：双曲线的方程为 222 xya ， 22 22 1 xy aa ，双曲线的左顶点为(,0)Aa，右顶点 为( ,0)B a 设(,)P m n， 得直 线PA的斜率 PA n k ma ，直

17、线PB的斜率 PB n k ma ， 2 22PAPB n kk ma (, )P m n是双曲线 222 xya 上的点， 222 mna，得 222 nma， 代人式得1 PAPB kk直线,PA PB的倾斜角分别为,，所以 tan, tan PAPB kk， ta nta n1 P是第一象限内双曲线上的点， 易知,均为锐角，(1) 2 k， 解得 22k 故选 D 10B 【解析】：令( )( ), , g xf xx xa b， 则( )( )0,( )( )0g af aag bf bb，所以( )( )0g ag b 又因为, , x ya b，都有 ( )( ) 1 f xf y

18、 xy ，则( )1fx，所以( )( )10g xfx，所以函数( )g x在 , a b上单调递减，故函数( )g x在 , a b上只有一个零点，即方程( )fxx在 , a b上有且只有一个实数 根故选B 二、填空题： 11 21 25 【解析】： 2 1 z z 2 1345321 22 (2)252525 i iii i ，故其共轭复数为 5321 2525 i，则复数 2 1 z z 的共轭复数的虚部为 21 25 12540 【解析】：第 1 次循环：3,2ba；第 2 次循环：5,3ba；第 3 次循环：7,4ba； 第 4 次 循 环 ：9,54ba， 不 满 足 条 件

19、“ 4a ” ，故 跳 出 循 环 ，输 出 9b - 8 - 61 ()bx x 61 (3)x x ，其 通 项 为 6 16 1 (3)() rrr r TCx x 63 6 ( 1)3 rrrr Cx （0,1,2,3,4,5,6r） ，令3 0r ，得 3r ，故常数项为 33 463 540TC 1322 【解析】：由三视图可知几何体为组合体，上方是一个卧式直三棱柱，三棱柱的底面是其中一 边长为2 ，该边上的高为2的三角形，侧棱长为2 ；下方是一个圆柱，其底面半径为1， 母线长为 2，故其体积 21 (22)21222 2 V 1484 【解析】：围成的图形如图，面积为84 15

20、10 3 【解析】：由题知，BCMBAC，BCMEBC，得BACEBC，又ACB是公共 角，所以ABCBEC，所以 ACBC BCEC ，又=AB AC，6AB，4BC，所以 2 8 3 BC EC AC ， 所以 810 6 33 AEACEC 162 【解析】： 将圆 1 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， 由4 2 cos() 4 得4cos4sin， 所以 2 4cos4 sin，即 22 44xyxy ，即 22 (2)(2)8xy，其圆心为 1(2,2) C， 半径 1 2 2r将圆 2 C 的参数方程化为普通方程得 222 (1)(1)xya ，其圆心为 2( 1, 1) C，

21、半径 2 ra 因为两圆外切，所以 12 2 23 2aC C，解得2a - 9 - 三、解答题： 17 （1）函数( )1f xm n 231 sin 2cos1 22 xxsin(2)1 6 x 22 2 T（3 分） 0 2 x， 7 2 666 x， 1 sin(2)1 26 x，即 1 sin(2)12 26 x 函数( )f x在区间0, 2 上的最大值为 2（6分） （2） 8 ()sin(2)1cos21 625 f AAA， 3 cos2 5 A， 21cos21 sin 25 A A， A为锐角， 5 sin 5 A， 2 5 cos 5 A 又 10 ()1 21210

22、B f， 10 sin 10 B B为锐角， 3 10 cos 10 B（9 分） 由正弦定理得 sinsin ab AB ，2a b 又21ab，2,1ab（10 分） 而 2 sinsin()sincoscossin 2 CABABAB， 由正弦定理得 sinsin ac AC ，5c（12 分） 18 （1）设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q， 依题意，有 2 13211 32 243 11 23,(2)3, 2(2) ()24. aaaaqa q aaa a qqa q 由及0 1 a，得1023 2 qqq或2q 当1q时，式不成立；当2q时，符合题意 把2q代入得2 1

23、a，所以 nn n a222 1 （6 分） - 10 - （2） 22 11 log2log2 2 nn nn n n ban a ， n n nS2232221 32 ， 2341 21 22 232(1)22 nn n Snn -得 132 22222 nn n nS 1 2 21 212n n n )( 222 11nn n （10 分） 由2602 1 nSn n 成立，得nn n 602 1 ，即602 1n 又当4n时，603222 51n ； 当5n时，606422 61n 故使2602 1 nSn n 成立的正整数 n的最小值为 5 （12 分） 19 （1）如题图乙，在AB

24、C中，由于点E、F分别是AC，BC的中点， EF AB ，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF （4 分） （2）由题意易知 DA、DB、DC两两互相垂直，以点D为坐标原点，分别以直线DB、DC、 DA为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设CDa，则2 ,3ACBCa ADDBa， 则(0,0,0)D，(0,0,3 )Aa ，(3 ,0,0)Ba，(0,0)Ca， 3 (0,) 22 a Ea， 3 (,0) 22 a Fa （5 分） 取平面CDF的一个法向量为(0,0,1)m 设平面EDF的一个法向量为( , , )nx y z， 又 33 (,0),(

25、0,) 2222 aa DFaDEa， 则 0, 0, DFn DE n 即 30, 30, xy yz 令3y，得 3, 3. x z ( 3,3,3)n （6 分） - 11 - 5 cos, 5 m n m n mn ， （7 分） 即二面角 EDFC的余弦值为 5 5 （8 分） （3）假设在线段BC上存在一点P，使APDE 不妨设 00 (,0)P xy，由 0 03x a , 0 0ya (9 分) 由（2）得 00 (,3 )APxya ， 3 (0,) 22 a DEa APDE，0AP DE，即 2 0 3 0 22 a ya，解得 0 3ya （11 分） 3a a，在线段

26、BC上不存在一点P，使APDE （12 分） 20 （ 1 ） 设 数 学 辅 导 讲 座 在 周 一 、 周 三 、 周 五 都 不 满 座 为 事 件A， 则 1221 ()( 1) ( 1) ( 1) 2331 8 P A （4 分） （2）的所有可能取值为0,1,2,3,4,5 4121 (0)(1)(1) 2348 P； （5 分） 134 4 112121 (1)(1)(1)(1) 223238 PC； （6 分） 22213 44 1121127 (2)()(1)(1)() (1) 22322324 PCC； （7 分） 33222 44 1121121 (3)()(1) (1)

27、()(1) 2232233 PCC； （8 分） 433 4 121123 (4)()(1)( )(1) 2322316 PC； （9 分） 4121 (5)() 2324 P （10 分） 所以，随机变量的分布列如下： （11分） 故 1171318 012345 48824316243 E （12 分） 21 （1）由题意知，直线MN的斜率为 22 MN mn kmn mn ， 又lMN，0mn，直线l的斜率为 1 k mn （2 分） - 12 - 22 1mn，由 22 2mnmn，得 222 2()()mnmn，即 2 2()mn （当mn时，等号成 立） ，2mn M、N是不同的两

28、点，即 mn ， 02mn， 2 2 k， 即 2 2 k或 2 2 k 直线l的斜率k的取值范围为 22 22 (,)(,)（4 分） （2）由题意易得，线段MN的中点坐标为 22 22 (,) mn mn 直线l是线段MN的垂直平分线， 直线 l的方程为 22 22 () mnmn yk x，（5 分） 又 22 1mn， 1 k mn ，即 1 mn k ， 直线l的方程为1ykx（6 分） 将直线l的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得， 2 10xkx， 22 24220()akxkxa 易知方程的判别式 2 1 40k， 方程的判别式 2 2 821()aka， 由（1）易知

29、21 2 k，又0a， 2 210kaa， 2 0恒成立 设(,),(,),(,),(,) AABBPPQQ A xyB xyP xyQ xy，则 2 1122,() ABABABAB xxkyykxkxk xxk， 线段 AB的中点R的坐标为 2 1 22 (,) kk ， 又 22 42 112 22 ,() PQPQPQPQ ka xxyykxkxk xx akak ， 线段QP的中点S的坐标为 22 2 22 (,) ka akak （9 分） - 13 - 2 1 22 (,) k k OR， 22 2 22 ka OS akak (,)，由0OR OS得， 2 2 2 1 2 0

30、2 () k ka ak ，即 2 2 10 2 () k ka， 2 2 2 2 k a k （10分） 21 2 k， 2 2 2 222 2 25 1 k a k k ， 2 22 24 22 22 k a kk ， 2 2 5 a由题易知，椭圆E的离心率 2 2 a e， 2 22ae， 22 222 5 e， 24 0 5 e， 2 5 0 5 e 故椭圆 E的离心率的取值范围为 2 5 0 5 ( ,)（13 分） 22 （1） 111 1 xxx g xexeex( )() ， ( )g x在 区 间0 1( , )上 单 调 递 增 ， 在 区 间1( , )e上 单 调 递

31、减 ， 且0011( ),( )gg， 22 01( )() ee g eee， 函数( )g x在区间0( , e上的值域为0 1( , （3 分） （2）令 0 ()mg x，则由（1）可知0 1( , m，原问题等价于：对任意的0 1( , m，( )fxm在 1 , e上总有两个不同的实根，故( )f x在1 , e上不可能是单调函数 1 1( )()fxaxe x ， 11 1, xe ， 当 1a 时，0( )fx，( )fx在区间1 , e上单调递增，不合题意； 当 1 a e 时，0( )fx，( )f x在区间1 , e上单调递减，不合题意； 当 1 1a e 时，( )f

32、x在区间 1 1 ,) a 上单调递减，在区间 1 (, e a 上单调递增 注意到此时111( )fa，1( )f eae，故只需( )fx的最小值小于等于0 即可而由 1 20 min ( )()lnf xfa a 解得 2 1 a e ，这与 1 1a e 矛盾 综上，满足条件的a不存在（8 分） （3）设函数( )fx具备性质“ L” ，即在点M 处的切线斜率等于 AB k，不妨设 12 0xx ，则 - 14 - 12121212 121212 ()(lnln)lnln AB yya xxxxxx ka xxxxxx ， 而( )f x在点M处的切线斜率为 12 0 12 2 2 ()() xx fxfa xx ， 故有 12 1212 2lnlnxx xxxx ， 即 1 1122 1 212 2 21 2 1 () () ln x xxxx x xxx x （10 分） 令 1 2 0 1( , ) x t x ，则上式化为 4 20 1 lnt t 令 4 201 1 ( )ln()F ttt t ，则由 2 14 1 ( ) () Ft tt 2 2 1 0 1 t t t () () 可知( )F t在0 1( , )上单调 递增，故10( )( )F tF，即方程 4 20 1 lnt t 无解 函数( )f x不具备性质“L” （14 分）